专题：带电粒子在有界磁场中的运动剖析

1、常见的五种有界磁场：单边界磁场、双边界磁场、矩形磁场、圆形磁场、三角形磁场2、有界磁场中运动问题存在（1）求半径和运动时间（2）临界问题（3）多解问题（4）极值问题概述1、本类问题对学问考查全面，涉及到力学、电学、磁学等中学物理的主干学问，对学生的空间想象实力、分析综合实力、应用数学学问解决物理问题实力有较高的要求，是考查学生多项实力的极好的载体，因此成为历年高考的热点。2、从试题的难度上看，多属于中等难度或较难的计算题。缘由有二：一是题目较长，常以科学技术的具体问题为背景，从实际问题中获得、处理信息，把实际问题转化成物理问题。二是涉及数学学问较多（特殊是几何学问）。

带电粒子在匀强磁场中的运动由洛伦兹力供应向心力rmv2qvB=轨道半径：qBmvr=运动周期：vT=2rqB2m=——周期T与R和v无关仅由粒子种类（m、q）确定，和磁感应强度B确定。角速度：频率：动能：

解题的基本过程与方法1找圆心：已知随意两点速度方向：作垂线可找到两条半径，其交点是圆心。已知一点速度方向和另外一点的位置：作速度的垂线得半径，连接两点并作中垂线，交点是圆心。vvOvO3定半径：几何法求半径公式求半径4算时间：先算周期，再用圆心角算时间θθαααθ=2α留意：θ应以弧度制表示2画圆弧：附：电偏转与磁偏转的区分BLvyROθ留意：（1）电偏转是类平抛运动磁偏转是匀速圆周运动（2）这里射出速度的反向延长线与初速度延长线的交点不再是宽度线段的中点。这点与带电粒子在匀强电场中的偏转结论不同！(2)侧移距离yθBdOrrθ(1)偏向角（回旋角）θ(3)时间t留意区分“电偏转”和“磁偏转”yxOvvaB60º练一个质量为m电荷量为q的带电粒子（不计重力）从x轴上的P(a，0)点以速度v，沿与x正方向成60º的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。求匀强磁场的磁感应强度B和射出点的坐标。Bqmvar32==aqmvB23=得射出点坐标为（0，）a3O′解析：练、如图，虚线上方存在磁感应强度为B的磁场，一带正电的粒子质量m、电量q，若它以速度v沿与虚线成300、900、1500、1800角分别射入，1.请作出上述几种状况下粒子的轨迹2.视察入射速度、出射速度与虚线夹角间的关系3.求其在磁场中运动的时间。单边界磁场入射角300时入射角900时入射角1500时入射角1800时对称性有用规律一：过入射点和出射点作始终线，入射速度与直线的夹角等于出射速度与直线的夹角，并且假如把两个速度移到共点时，关于直线轴对称。强调：本规律是在单边界磁场中总结出的，但是适用于任何类型的磁场例如图所示，在y<

0的区域内存在匀强磁场，磁场方向如图，磁感应强度为B。一带正电的粒子以速度v从O点射入磁场，入射方向在xoy平面内，与x轴正向的夹角为θ。若粒子射出磁场的位置与O点的距离为L，求该粒子的比荷q/m。xyopθvθθvθ入射速度与边界夹角=出射速度与边界夹角

①速度较小时，作半圆运动后从原边界飞出；②速度增加为某临界值时，粒子作部分圆周运动其轨迹与另一边界相切；③速度较大时粒子作部分圆周运动后从另一边界飞出SBPSSQPQQ①速度较小时，作圆周运动通过射入点；②速度增加为某临界值时，粒子作圆周运动其轨迹与另一边界相切；③速度较大时粒子作部分圆周运动后从另一边界飞出圆心在过入射点跟速度方向垂直的直线上圆心在过入射点跟边界垂直的直线上圆心在磁场原边界上量变积累到确定程度发生质变，出现临界状态．平行直线边界磁场D例题．如图所示，在边长为2a的等边三角形△ABC内存在垂直纸面对里磁感应强度为B的匀强磁场，有一带电量为q、质量为m的粒子从距A点的D点垂直于AB方向进入磁场。若粒子能从AC间离开磁场，求粒子速率应满足什么条件及粒子从AC间什么范围内射出？答案：要粒子能从ＡＣ间离开磁场，粒子速率应满足粒子从距Ａ点的间射出带电粒子在三角形区域中的运动BvO边界圆从平面几何的角度看，是粒子轨迹圆与磁场边界圆的两圆相交问题。带电粒子在圆形磁场中的运动特殊情形：轨迹圆O′αθθ有用规律二在圆形磁场内,入射速度沿径向,出射速度也必沿径向.θ+α=

π从平面几何的角度看，是粒子轨迹圆与磁场边界圆的两圆相交问题。带电粒子在圆形磁场中的运动一般情形：有用规律三：两圆心连线OO′与两个交点的连线公共弦AB垂直平分。BO边界圆轨迹圆BCAO＇O1Rθ2例如图虚线所围圆形区域内有方向垂直纸面对里的匀强磁场B。电子束沿圆形区域的直径方向以速度v射入磁场，经过磁场区后，电子束运动的方向与原入射方向成θ角。设电子质量为m，电荷量为e，不计电子之间的相互作用力及所受的重力。求：（1）电子在磁场中运动轨迹的半径R；（2）电子在磁场中运动的时间t；（3）圆形磁场区域的半径r。vBOrvθ解：（1）（2）由几何学问得：圆心角：α=

θ（3）由如图所示几何关系可知，所以：BvOBqT=2m2t=θT练、如图虚线所示区域内有方向垂直于纸面的匀强磁场，一束速度大小各不相同的质子正对该区域的圆心O射入这个磁场；结果，这些质子在该磁场中运动的时间有的较长，有的较短，其中运动时间较长的粒子（）A．射入时的速度确定较大B．在该磁场中运动的路程确定较长C．在该磁场中偏转的角度确定较大D．从该磁场中飞出的速度确定较小θ1R1s1θ2R2s2BqmvR=CD练、某离子速度选择器的原理图如图，在半径为R=10cm的圆形筒内有B=1×10－4T的匀强磁场，方向平行于轴线。在圆柱形筒上某始终径两端开有小孔a、b。现有一束比荷为q/m=2×1011C/kg的正离子，以不同角度α入射，其中入射角α=30º，且不经碰撞而干脆从出射孔射出的离子的速度v大小是（）A．4×105m/sB．2×105m/sC．4×106m/sD．2×106m/s解：rmv2qvB=αaObO′rr作入射速度的垂线与ab的垂直平分线交于O′点，O′点即为轨迹圆的圆心。画出离子在磁场中的轨迹如图示：∠a

O′b=2=60º，则r=2R=0.2mC练、一磁场方向垂直于xOy平面，分布在以O为中心的圆形区域内。质量为m、电荷量为q的带电粒子，由原点O起先运动，初速为v，方向沿x正方向。粒子经过y轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30º，P到O的距离为L。不计重力。求磁感强度B和磁场区域的半径R。基本思路：ByxvOPLv30°Rr解析：2）找出有关半径的几何关系：1）作出运动轨迹；L=3r3）结合半径、周期公式解。qvB=Rmv2qLmvB3=LR33=我们学了什么1.带电粒子进入有界磁场,运动轨迹为一段弧线.3.留意圆周运动中的对称性:(1)粒子进入单边磁场时,入射速度与边界夹角等于出射速度与边界的夹角,并且两个速度移到共点时，具有轴对称性。(2)在圆形磁场区域内,沿径向射入的粒子,必沿径向射出.2.解题的基本步骤为：找圆心——画轨迹——定半径4、解题阅历：运动轨迹的半径R往往跟线速度V联系在一起，进而跟磁感应强度B、质荷比q/ml有关。运动轨迹对应的圆心角θ往往跟运动时间t有关。总而言之：几何量用几何方法求。几何量与物理量有关。多解问题1.电性不确定引起的分类探讨问题。2.入射点不确定引起的多解问题。3.出射点不确定引起的多解问题。4.入射速度方向确定、大小不确定，从而使得轨迹多样，并且出射点不确定，引起的多解问题。5.入射速度大小确定，方向不确定，从而引起的多解问题OyxBv60º例、如图，在第I象限范围内有垂直xOy平面的匀强磁场B。质量为m、电量大小为q的带电粒子(不计重力)，在xOy平面里经原点O射入磁场中，初速度为v0，且与x轴成60º角，试分析计算：（1）穿越磁场时运动方向发生的偏转角多大？（2）带电粒子在磁场中运动时间多长？如粒子带正电，则：如粒子带负电，则：一、电性不确定引起的分类探讨60º120º例如下图所示，两块长度均为5d的金属板相距d，平行放置，下板接地，两极间有垂直只面对里的匀强磁场，一束宽为d的电子束从两板左侧垂直磁场方向射入两极间，设电子的质量为m，电量为e，入射速度为v0，要使电子不会从两极间射出，求匀强磁场的磁感应强度B应满足的条件。5dv0d二、入射点不确定引起的多解问题v0思索:1.假设磁场是无界的,各电子的运动轨迹怎样?2.磁场较小时，轨迹半径较大。哪个电子最有可能从右侧飞出?半径相等的圆全部运动轨迹的圆心在一条直线上最上面的电子3.当磁场很大,运动半径较小，哪个电子最有可能从左侧飞出?照旧是最上面的电子综上所述，不管B取什么值，在同一磁场中的电子的运动轨迹的半径都是一样的，只是运动轨迹的位置不同，而且只要最上面的电子不飞出，其他电子都不会飞出。O1O2R1R2①B较大时，R较小，电子恰好从左侧飞出有:②B较小时，R较大，电子恰好从右侧飞出,有:5dd例、如图，长为L的水平不带电极板间有垂直纸面对内的匀强磁场B，板间距离也为L，现有质量为m，电量为q的带正电粒子（不计重力），从左边极板间中点处垂直磁场以速度v平行极板射入磁场，欲使粒子不打在极板上，则入射速度v应满足什么条件？+q,mvLBLO三、出射点不确定引起的多解问题四、速度方向确定，大小不确定引起的多解问题例、如图，若电子的电量e，质量m，斜向上与边界成60º射入磁感应强度B，宽度d的磁场，若要求电子不从右边界穿出，则初速度v0应满足什么条件？斜向下与边界成60º射入时，初速度又应当满足什么条件？deBv0r+rcos60º

=ddeBv0r－rcos60º

=dqaOdbcBv0R1例、如图，一端无限伸长的矩形区域abcd内存在着磁感应强度大小为B，方向垂直纸面对里的匀强磁场。从边ad中点O射入一速率v0、方向与Od夹角θ=30º的正电粒子，粒子质量为m，重力不计，带电量为q，已知ad=L。（1）要使粒子能从ab边射出磁场，求v0的取值范围。（2）取不同v0值，求粒子在磁场中运动时间t的范围？（3）从ab边射出的粒子在磁场中运动时间t的范围。R1+R1sin30º=L/2解：（1）得R1=L/3R2R2－R2cos60º=L/2得：R2=L。（1）≥v0≥例、如图，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于纸面对里，PQ为该磁场的右边界线，磁场中有一点O到PQ的距离为r。现从点O以同一速率将相同的带负电粒子向纸面内各个不同的方向射出，它们均做半径为r的匀速圆周运动，求带电粒子打在边界PQ上的范围（粒子的重力不计）。O2rPQPQOrO2rrQPMN五、速度大小确定，方向不确定引起的多解问题2RR2RMNO2RR2RMNO2R2R2RMNOR2R2RMNOD.A.B.C.MNBOA例、如图，水平放置的平板MN上方有方向垂直于纸面对里的匀强磁场，磁感应强度为B，很多质量为m，带电量为+q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由小孔O射入磁场区域，不计重力，不计粒子间的相互影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中R=mv/qB，哪个图是正确的？（）……以速率v沿纸面各个方向由小孔O射入磁场2RR2RO2RR2RO2R2R2ROR2R2ROD.A.B.C.总结:粒子以相同大小，不同方向的速度进入磁场之后的运动轨迹如何?它们的圆心位置有什么特点?①当同种粒子的射入速度大小确定，而方向不确定时，全部轨迹圆是一样的，半径都为R，只是位置不同。②全部轨迹圆绕入射点，向粒子运动方向旋转。③轨迹分布在一个半径为2R的圆形区域内。④全部轨迹圆的圆心在一个半径为R的圆上。解题阅历1、临界问题，常常是运动轨迹圆与磁场边界相切时为临界状态。2.细致审题，当电荷的正负不确定、或磁场的方向不确定时，会有两个解。3.留意磁偏转与电偏转的不同。电偏转是抛物线，一去不复返，但是磁偏转是圆，可以向前，也可以回头。特殊是在矩形磁场中，既可以从左边飞出，也可以从右边飞出，也就是有两个临界状态。4.对于有多个粒子，或者相当于有多个粒子（如速度大小确定，方向不确定的题型），射入同一磁场时，有界磁场要先假设成无界磁场来探讨，这样会得到更多灵感。也就是说，在画运动轨迹圆草图时，必需画完整的圆。O2r模型1：速度方向确定，大小不确定模型2：速度大小确定，方向不确定三种重要的模型Vv0模型3：速度大小、方向确定，入射点不确定极值问题

dm-qA一条船在静水中的速度为v，河水的流速为V，河宽为d。问船头方向与河岸的夹角为多少时，过河的时间最短？dA题2vxvy河宽确定，欲使过河时间最短，须使vx有最大值。当vx=v时，有过河的最短时间：vdt=v一个垂直纸面对里的有界匀强磁场形态如图所示，磁场宽度为d。在垂直B的平面内的A点，有一个电量为－q、质量为m、速度为v的带电粒子进入磁场，请问其速度方向与磁场边界的夹角为多少时粒子穿过磁场的时间最短？（已知mv/Bq>d）题1dm-qAvOαRd带电粒子的速度方向垂直于边界进入磁场时间最短mvdBqRd=sin=BqmvdBqm

arcsin=vmvdBqR

arcsin=v/R=t=一个垂直纸面对里的有界匀强磁场形态如图所示，磁场宽度为d。在垂直B的平面内的A点，有一个电量为－q、质量为m、速度为v的带电粒子进入磁场，请问其速度方向与磁场边界的夹角为多少时粒子穿过磁场的时间最短？（已知mv/Bq>d）题1——模型识别错误！！！dm-qAvOαRd对象模型：质点过程模型：匀速圆周运动规律：牛顿其次定律+圆周运动公式条件：要求时间最短wa==vst

速度v不变，欲使穿过磁场时间最短，须使s有最小值，则要求弦最短。一个垂直纸面对里的有界匀强磁场形态如图所示，磁场宽度为d。在垂直B的平面内的A点，有一个电量为－q、质量为m、速度为v的带电粒子进入磁场，请问其速度方向与磁场边界的夹角为多少时粒子穿过磁场的时间最短？（已知mv/Bq>d）题1dm-qAvθO中垂线θ与边界的夹角为（90º－θ）BqmvdBqm2arcsinRvt===2qw2qmvdBqRd22/sin==q一个垂直纸面对里的有界匀强磁场形态如图所示，磁场宽度为d。在垂直B的平面内的A点，有一个电量为－q、质量为m、速度为v的带电粒子进入磁场，请问其速度方向与磁场边界的夹角为多少时粒子穿过磁场的时间最短？（已知mv/Bq>d）题1启示：要正确识别物理模型例、如图，半径为r=3×10－2m的圆形区域内有一匀强磁场B=0.2T，一带正电粒子以速度v0=106m/s的从a点处射入磁场，该粒子荷质比为q/m=108C/kg，不计重力。若要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角，其入射时粒子的方向应如何（以v0与ao的夹角表示）？最大偏转角多大？

R=mv/Bq=5×10－2m>rOaBv0bααRr说明：1.本题中，由于是两圆相交，两个交点的连线同时是两个圆的弦。2.轨道圆半径确定时，弦线越长，通过的弧越长，偏转角度也越大。R=mv/Bq=5×10－2m>r解析：OaBv0bααRr得=37º，sin=r/R最大偏转角为2=74º。例、如图，半径为r=3×10－2m的圆形区域内有一匀强磁场B=0.2T，一带正电粒子以速度v0=106m/s的从a点处射入磁场，该粒子荷质比为q/m=108C/kg，不计重力。若要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角，其入射时粒子的方向应如何（以v0与ao的夹角表示）？最大偏转角多大？

例、如图，带电质点质量为m，电量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域。为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径。重力忽视不计。yOaxbv02RBOrrMN解：质点在磁场中圆周运动半径为r=mv/Bq。质点在磁场区域中的轨道是1/4圆周，如图中M、N两点间的圆弧。在通过M、N两点的不同的圆中，最小的一个是以MN连线为直径的圆周。圆形磁场区域的最小半径qBmvMNR221==例、如图，圆形区域内有一垂直纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点。有多数带有同样电荷、具有同样质量的粒子在纸面内沿各个方向以同样的速率通过P点进入磁场。这些粒子射出边界的位置均处于边界的某一段弧上，这段圆弧的弧长是圆周长的1/3。将磁感应强度的大小从原来的B1变为B2，结果相应的弧长变为原来的一半，则B2/B1等于多少？PP3例、如图，环状匀强磁场围成的中空区域内有自由运动的带电粒子，但由于环状磁场的束缚，只要速度不很大，都不会穿出磁场的外边缘。设环状磁场的内半径为R1=0.5m，外半径为R2=1.0m，磁场的磁感应强度B=1.0T，若被缚的带电粒子的荷质比为q/m=4×107C/kg，中空区域中带电粒子具有各个方向的速度。试计算：（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度。（2）全部粒子不能穿越磁场的最大速度。OBR2R1R2rvv答案：（1）1.5×107m/s，（2）1.0×107m/s。磁约束核聚变探讨装置30°OPAv0变式：如图，倾角30º的斜面OA的左侧有一竖直档板，其上有小孔P，质量m=4×10－20kg，带电量q=+2×10－14C的粒子，从小孔以速度v0=3×104m/s水平射向磁感应强度B=0.2T、方向垂直纸面对里的一正三角形区域。该粒子在运动过程中始终不碰及竖直档板，且在飞出磁场区域后能垂直打在OA面上，粒子重力不计。求：（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径；（2）粒子在磁场中运动的时间；（3）正三角形磁场区域的最小边长。abco160°egf解：（1）由得：30°OPAv0abco160°egf（2）画出粒子的运动轨迹如图，可知（3）由数学学问可得：得：例、如图，质量为m、带电量为+q的粒子以速度v从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面对外，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向的夹角为30º，同时进入场强为E、方向沿与与x轴负方向成60º角斜向下的匀强电场中，通过了b点正下方的C点。不计重力，试求：（1）圆形匀强磁场区域的最小面积；（2）C点到b点的距离h。vyxEbO30°60°vhAO2O1vyxEbO30°60°vhAO2O1解：(1)反向延长vb交y轴于O2点，作∠bO2

O的角平分线交x轴于O1，O1即为圆形轨道的圆心，半径为R=OO1=mv/qB，画出圆形轨迹交bO2于A点，如图虚线所示。最小的圆形磁场区域是以OA为直径的圆，如图示：Smin=r23m2v24q2B2=OA=2rqBmv3=hsin30º=vthcos30º=21qEm·t2(2)b到C受电场力作用，做类平抛运动得t=2mv/qE·tan30º例.如图所示，一个带电量为正的粒子，从A点正对着圆心O以速度v射入半径为R的绝缘圆筒中。圆筒内存在垂直纸面对里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。要使带电粒子与圆筒内壁碰撞多次并绕筒一圈后仍从A点射出，求正离子在磁场中运动的时间t.设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失，不计粒子的重力。OABv分析与解：设粒子与圆筒碰（n-1）次有：n（π－θ）＝2πθ＝π－2π/n由几何关系得:tan(θ/2)=R/r正离子在磁场中运动的时间t=n(rθ/v)∴t=(n-2)πRtan(π/n)/v（ｎ≥３）O1θrROABv再变：若将上题中的“并绕筒一圈”五字去掉呢？n（π－θ）＝2kπθ＝π－2kπ/n（0＜θ＜π）tan(θ/2)=R/rt=n(rθ/v)t=(n-2k)πRtan(kπ/n)/v(ｎ＞2kk=1，2，3……）还能变吗？1、筒变成正三角形、矩形？2、原题中的v方向可以变吗？如：不沿半径方向呢？……OABv

ABCPαaObBCDE4．如图所示，一个质量为m、电量为q的正离子，在小孔S处正对着圆心O以速度v射入半径为R的绝缘圆筒中。圆筒内存在垂直纸面对里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。要使带电粒子与圆筒内壁碰撞多次后仍从A点射出，求正离子在磁场中运动的时间t.设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失，不计粒子的重力。OB·RS．解:粒子经过与圆筒发生n（n=2,3,4……）次与圆筒碰撞从原孔射出，其在圆筒磁场中运动的轨迹为n+1段对称分布的圆弧，每段圆弧的圆心角为正离子在磁场中运动的时间O’rrOB·RS．5．如图所示，在半径为R的圆筒内有匀强磁场，质量为m、带电量为q的正离子在小孔S处，以速度v0向着圆心射入，施加的磁感应强度为多大，此粒子才能在最短的时间内从原孔射出？（设相碰时电量和动能均无损失）O’rrOB·RS．解:粒子经过n=2,3,4……次与圆筒碰撞从原孔射出，其运动轨迹具有对称性．当发生最少碰撞次数n=2时OB·RS．O’rr当发生碰撞次数n=3时可见发生碰撞次数越多，所用时间越长，故当n=2时所用时间最短O’rrOB·RS．思索：求碰撞次数n=2时粒子在磁场中运动的时间．当带电粒子从同一边界入射出射时速度与边界夹角相同——对称性带电粒子在直边界磁场中的运动变式：如图所示，一带负电荷的质点，质量为m，带电量为q，从M板旁边由静止起先被电场加速，又从N板的小孔a水平射出，垂直进入半径为R的圆形区域匀强磁场中，磁感应强度为B，入射速度方向与OP成45°角，要使质点在磁场中飞过的距离最大，则两板间的电势差U为多少？结论1：对准圆心射入,必定沿着圆心射出带电粒子在圆形磁场中运动的四个结论结论3：运动半径相同(v相同)时，弧长越长对应时间越长。结论2：对准圆心射入，速度越大，偏转角和圆心角都越小，运动时间越短。结论4：磁场圆的半径与轨迹圆的半径相同时,

“磁会聚”与“磁扩散”假如带电粒子运动轨迹半径等于圆形磁场半径，则依据几何学问可以证明：随意方向射入的粒子出射速度方向与过入射点O圆形磁场边界的切线平行O磁聚焦概括：平行会聚于一点一点发散成平行RRrr区域半径R与运动半径r相等迁移与逆向、对称的物理思想！例、如图，在xOy平面内与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场。在圆的左边放置一带电微粒放射装置，它沿x轴正方向放射出一束具有相同质量m、电荷量q(q＞0)和初速度v的带电微粒。放射时，这束带电微粒分布在0＜y＜2R的区间内。已知重力加速度大小为g。（1）从A点射出的带电微粒平行于x轴从C点进入有磁场区域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开，求电场强度和磁感应强度的大小与方向。（2）请指出这束带电微粒与x轴相交的区域，并说明理由。（3）在这束带电磁微粒初速度变为2v，那么它们与x轴相交的区域又在哪里？并说明理由。xyRO/Ov带点微粒发射装置CxyRO/Ov带点微粒发射装置CPQr图(c)xyRO/OvCAxyRO/vQPORθ图(a)图(b)【答案】（1）；方向垂直于纸面对外（2）数学方法（3）与x同相交的区域范围是x>0.【解析】略【关键】图示练.在平面内有很多电子（质量为m、电量为e），从坐标O不断以相同速率v沿不同方向射入第一象限，现加一个垂直于平面对内、磁感强度为B的匀强磁场，要求这些电子穿过磁场后都能平行于轴向正方向运动，求该条件匀强磁场的最小面积。xyOv0O1O2O3O4O5On解2:设P(x，y)为磁场下边界上的一点，经过该点的电子初速度与x轴夹角为，则由图可知：x=rsin，y=r－rcos，得:x2+(y－r)2=r2。所以磁场区域的下边界也是半径为r，圆心为(0，r)的圆弧应是磁场区域的下边界。磁场上边界如图线1所示。xyOv01θP(x,y)Orr两边界之间图形的面积即为所求。图中的阴影区域面积，即为磁场区域面积：全部电子的轨迹圆半径相等，且均过O点。这些轨迹圆的圆心都在以O为圆心，半径为r的且位于第Ⅳ象限的四分之一圆周上，如图所示。

电子由O点射入第Ⅰ象限做匀速圆周运动解1:xyOv0O1O2O3O4O5On即全部出射点均在以坐标(0，r)为圆心的圆弧abO上，明显，磁场分布的最小面积应是实线1和圆弧abO所围的面积，由几何关系得由图可知，a、b、c、d等点就是各电子离开磁场的出射点，均应满足方程x2+(r－y)2=r2。3．如右图所示，纸面内有宽为L水平向右飞行的带电粒子流，粒子质量为m，电荷量为－q，速率为v0，不考虑粒子的重力及相互间的作用，要使粒子都汇聚到一点，可以在粒子流的右侧虚线框内设计一匀强磁场区域，则磁场区域的形态及对应的磁感应强度可以是(其中，A、C、D选项中曲线均为半径是L的1/4圆弧，B选项中曲线为半径是L/2的圆)()AA1A3A4A230º60ºⅠⅡ2、如图所示，在一个圆形区域内，两个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径A2A4为边界的两个半圆形区域Ⅰ、Ⅱ中，A2A4与A1A3的夹角为60º。一质量为m、带电量为+q的粒子以某一速度从Ⅰ区的边缘点A1处沿与A1A3成30º角的方向射入磁场，随后该粒子以垂直于A2A4的方向经过圆心O进入Ⅱ区，最终再从A4处射出磁场。已知该粒子从射入到射出磁场所用的时间为t，求Ⅰ区和Ⅱ区中磁感应强度的大小（忽视粒子重力）。A1A3A4A230º60ºⅠⅡv解析：设粒子的入射速度为v，已知粒子带正电，故他在磁场中先顺时针做圆周运动，再逆时针做圆周运动，最终从A4射出，如图2所示。用B1、B2、R1、R2、T1、T2分别表示在磁场Ⅰ区和Ⅱ区中磁感应强度、轨道半径和周期，

设圆形区域的半径为r，已知带电粒子过圆心且垂直于A2A4进入Ⅱ区磁场。连接A1A2，为等边三角形，A2为带电粒子在Ⅰ区磁场中运动轨迹的圆心，其轨迹的半径圆心角，带电粒子在Ⅰ区中运动