第一章线性系统分析-2013

信息光学杨卫平云南师范大学物理与电子信息学院yangwpkm@126.co133988563962023/2/11QQ：553655747参考文献J.W.Goodman.IntroductiontoFourierOptics[M].RobertsandCompanyPublishers,ThirdEdition2.吕乃光.傅里叶光学[M].北京:机械工业出版社,2007,第二版.5.宋菲君.近代光学信息处理[M].北京:北京大学出版社,1998.3.陈家壁等.光学信息技术原理及应用[M].北京:高等教育出版社,2002.4.谢敬辉等.物理光学教程[M].北京:北京理工大学出版社,2005.2023/2/12作业P321.4用宽度为a的狭缝，对平面上光强分布扫描，在狭缝后用光电探测器，求输出强度分布。补充题2023/2/13前言

光学是一门较早发展的学科，它在科学(量子论、相对论）与技术的发展史上占有重要地位。近几十年来，由于光学自身的发展以及和其它科学技术（如电子技术、计算机技术等）的广泛结合与相互渗透，传统的光学在理论方法和实际应用(如信息的存贮,光纤通信)上都有了许多重大的突破和进展，形成了许多新的分支学科或边缘学科。2023/2/14光学的研究范围2023/2/15光波传播规律的科学（天文，显微，视光学，自然奇观）光波与物质的相互作用（光合，照片胶卷，辐射与生物，光电子）2023/2/16中国墨子小孔成像古希腊欧几里德《反射光学》古代的光学2023/2/171608，望远镜，荷兰，李普塞1612，显微镜，荷兰，姜森1860，光谱分析仪，德国，基尔霍夫光学仪器2023/2/18哈勃望远镜2023/2/1919世纪末期世界科学几大发现相对论量子力学麦克斯韦方程组门捷列夫的元素周期表1935年F.Zernike相衬原理的提出;1948年D.Gabor全息照相术的发明;1955年H.H.Hopkins光学传递函数理论的建立（评价镜头）;1960年T.H.Maiman红宝石激光器的诞生。1961年，中国的第一台激光器（长春光机所）

它们是现代光学发展中的几件大事，连同60年代以后由于各种激光器的研制成功而迅速发展起来的非线性光学、纤维光学、集成光学等诸方面，使现代光学广泛地活跃在现代科学技术的许多部门。2023/2/110现代光学的几大发展2023/2/1111961年，我国第一台激光器2023/2/112光学照相的发展I（振幅，光强），1792，黑白照相λ（波长，频率），1908，彩色照片Φ（位相），1935，相衬显微镜I，λ，Φ，全息照相CT计算机技术，1979诺贝尔医学奖2023/2/113近代光学与信息科学90%的信息通过视觉古代烽火台光波，承载，传播，记录，萃取，显示信息光纤通信技术光驱外设，光盘存储技术空间光学与航空技术

表征现代光学重大进展的另一件大事，是P.M.Duffieux1946年把傅里叶变换的概念引入光学领域，由此发展成现代光学的一个重要分支——傅里叶光学（信息光学）。它应用线性系统理论和空间频谱的概念，分析光的传播、衍射和成像等问题。

它用改变频谱的方法处理相干处理系统中的光信息；用频谱被改变的观点评价非相干成像系统的像质。信息光学促进了图像科学、应用光学和光电子学的发展。可以认为它是光学、光电子学、信息论和通讯理论的交叉学科。2023/2/114

光学薄膜和光学晶体是现代科学技术中不可缺少的重要器件，用途非常广泛。研究光在光学薄膜中的反射、折射、偏振及光谱特性，以及晶体对光波的双折射和偏振效应，分别构成了薄膜光学和晶体光学的重要内容，也是现代光学的重要组成部分。

当今社会是信息社会,信息技术正在改变着人类社会。在各种各样的信息技术中,光信息技术的地位越来越重要,作用也越来越突出。在信息的产生、采集、显示、传输、存贮以及处理的各个环节中，光信息技术都扮演着重要的角色。光信息科学与技术是光学和信息科学相结合的一门学科。2023/2/1152023/2/116信息光学的研究傅里叶光学（傅里叶级数）线性系统理论引入现代光学光的传播，衍射，成像从空域到频域光学信息处理应用，高密度存储光学测量技术光信息科学与技术与应用介绍一、光信息科学基础

1、线性系统理论

2、光学变换理论

3、光传播理论

4、光成像理论基础篇二、光信息技术基础

1、激光技术

2、空间光调制器2023/2/117基本技术篇一、光信息的采集和显示技术光信息的采集

1、光电信息变换法：光电信息有直接对应关系，如数码相机。

2、光信息编码法----按一定的规律把图像的信息映射到某一空间，再把映射信息转化为电信息或光信息。这里的电信息（光信息）对应的不是图像本身的信息，而是映射信息，因此在重现过程中直接重现的往往不是图像本身，而是其映射的结果。如果需要重现图像的话，就必须通过一定的重建方法来实现。这种方法常用于光学信息处理。比如，通过傅里叶变换，空间信息变为频域信息。2023/2/118光信息显示1、CRT——阴极射线显示器（电子束扫描），传统的电视机，电脑显示器。2、液晶显示器

结构简单，在两片敷有透明导电电极的平板玻璃夹层中装入一种具有液体性质而光学上具有晶体性质的物体（液晶），在透明电极上加上几伏至几十伏的电压，电极之间的透光率、色彩、反射率就会发变化。液晶显示器的突出优点是电压低，功率小，可与集成电路配套使用，体积小。此外，在明亮的条件下能得到使人满意的对比度、色彩。但它的工作温度范围小，一般在0~50度，目前制作大面积的平板显示器有一定的困难。2023/2/1193、等离子显示板

在两块平板玻璃中封入电离发光的气体，在透明电极上加上几百伏的电压，电极之间电场使气体电离发光。它最适用于组装成大屏幕显示屏，多用于体育场、军事指挥中心。二、光信息的传输技术1、光纤通信技术2、无源导波器件光纤连接器、光分路耦合器、波分复用器件、光隔离器、光开关。2023/2/120三、光信息存贮技术1、光盘的存贮原理只读存贮光盘、可擦重写相变光盘、直接重写相变光盘、可擦重写磁光光盘。2、相变光盘的结构及制备3、光盘存贮器设备中的光学系统2023/2/1212023/2/122人民日报全文数据库（1993）2023/2/123激光体全息高密度存储实验系统2023/2/124激光全息防伪人民币（建国50周年纪念币）2023/2/125四、光信息的加工及其处理技术1、空间滤波2、照相图像的恢复3、假彩色编码--用黑白胶片保存彩色像4、图像增强五、光学图像特征识别2023/2/126空间滤波的应用2023/2/127相干光学信息处理实验图像相减的实验结果微分滤波（边缘增强）的实验结果2023/2/128

调制实验的彩照其它应用技术篇一、光学计量技术1、全息干涉计量2、全息散斑计量二、全息术1、白光再现全息图2、计算全息3、模压全息技术三、层析成像技术1、投影数据和拉冬变换2、图像的重建3、图像的光学模拟重现2023/2/1292023/2/130奥迪轿车车身在线三维测量系统2023/2/131激光测距与激光雷达（1）2023/2/132激光测距与激光雷达（2）2023/2/133长度测量四、条形码技术条形码系统是按照特定格式组合起来的一组宽度不同的平行线条，其线条和间隔代表了某些数字符号，用以表示某些信息。这种代码非常容易使用简便的阅读器装置进行识别，经过阅读设备的光电转换的信号只需经过简单的接口电路即能输送到微型机等数据处理装置，进行信息的处理。2023/2/134五、红外技术红外技术一开始主要用于军事方面，近年来随着红外技术的发展，特别是一些新型的红外探测器和成像器件的陆续问世及其成本的不断下降，使得红外技术的应用范围大大扩展。在一些技术发达的国家，红外技术不仅用于军事、科学研究、工农生产、医学等方面，而已进入人们的日常生活中。六、高速激光印刷系统2023/2/135进展篇一、光纤通信新技术1、光纤接入网2、相干光通信3、光复用技术4、全光传输5、光孤子通信二、光信息存储新进展

1、新型光信息存贮2、全息信息存贮2023/2/136四、二元光学又称衍射光学，光学元器件的大小在微米的量级，可以构成大量光学器件阵列。三、光计算1、模拟光计算2、数字光计算2023/2/13716相位级CdTe（铬锑）微透镜阵列电子扫描显微图2023/2/138第一章线性系统分析

一个光学系统可以用一个有输入和输出的方框图来表示。光学系统对输入信号的作用可以是线性的，也可以是非线性的。对于非线性系统，目前还没有通用的技术来求解。虽然任何一个光学系统都不是严格线性的，但在一定的条件下，许多光学系统可以作为线性系统来处理。另外，由于光学系统几乎都是用二维空间变量来描述，所以我们首先介绍二维线性系统的一些基本知识。系统h(x,y)输入输出2023/2/139g(x,y)=f(x,y)*h(x,y)1.1光学中常用的几种初等函数

一、矩形函数矩形函数的定义为函数图像如下图所示01位移量2023/2/140高度为1，中心位于x=x0，宽度和面积都等于a缩放量二维矩形函数可表示成一维矩形函数的乘积式中a>0,b>0,它在xy平面上，以原点为中心的ab矩形范围内，函数值为1，其它地方为零。物理应用：光学上常用矩形函数表示不透明屏上的矩形孔、狭缝的透过率。它与其它函数相乘时，可限制函数自变量的取值范围，起到截取函数的作用，故又称为“门函数”。如表示一个只出现在区间2023/2/141当有因子时，它的0点出现在x0na。当没有因子时，0点出现在x0na。因此，有因子时确定零点的位置更方便。

二、sinc函数（Bracewell）

一维sinc函数的定义为式中a>0,函数在x=x0处有最大值1。对于x0=0,该函数在原点处有最大值1。二个第一级零值之间的宽度为2a,函数图像如图所示零点位于2023/2/142二维sinc函数的定义为物理应用：sinc函数常用来描述矩孔或单缝的夫琅和费衍射图样，且与rect函数互为傅里叶变换。2023/2/143

三、阶跃函数阶跃函数的定义为10阶跃函数与某函数相乘时，如x>0，则积等于原函数，在x<0的部分，其积为零。因而阶跃函数的作用如同一个开关，可开启或关闭另一函数。2023/2/144

四、符号函数符号函数的定义为10-1符号函数与某函数相乘，可以使该函数在某点的极性（正负号）发生翻转。2023/2/145

五、三角函数一维三角函数的定义为10式中a>0,函数图形是底边宽为2a，高为1的三角形。物理应用：三角形函数可表示光瞳为矩形的非相干成像系统的光学传递函数。2023/2/146六、圆域函数圆域函数的定义为函数图形呈圆柱形，底半径为a，高度为1。极坐标下的形式为物理应用：圆域函数常用来描述无限大不透明屏上圆孔的透过率2023/2/147七、高斯函数高斯函数的定义为二维高斯函数的形式是曲面下的体积为aba>0。当x0=0时，函数在原点处有最大值1。高斯图形中曲线下的面积为a。式中2023/2/148性质：①是一个光滑的函数，即它的一切导数都是连续的。②一个高斯函数的傅里叶变换是另一个高斯函数。曲面下的体积为aba=1,b=1时极坐标下物理应用：高斯函数在统计领域中经常用到。高斯函数在光学中常用来描述激光器发出的高斯光束，有时也用于光学信息处理中的切趾术。2023/2/1492023/2/150高斯光束1.2函数

在物理学和工程技术中常用狄拉克提出的函数描述某种极限状态和高度集中的物理量。例如，在电学中常用函数表示点电荷，而在光学中，函数表示的是点光源。函数不是普通函数，是广义函数，它不像普通函数那样完全由数值对应关系确定，其属性完全由它在积分中的作用表现出来。从应用的角度看，也可以把函数与普通函数联系起来，用普通函数描述它的性质。下面介绍三种最基本的函数定义。一、函数定义2023/2/151定义A定义B定义A对函数给出了类似普通函数形式的定义，然而定义式描述的图像并不普通，它是一个在原点以外处处为零，而在原点处出现无穷大的函数。2023/2/152定义B是把函数看作一些普通函数构成的序列的极限。下图给出了一维矩形函数序列和高斯函数序列的例子，随着N的增大，所取的矩形函数和高斯函数对应的曲线将变得越来越窄，峰值却越来越高，而曲线下的面积始终保持为1。当N时，它们的函数曲线趋近于定义A中的“脉冲”。gn(x,y)的具体形式是多种多样的，常用的有矩形函数，高斯函数和sinc(x,y)函数。2023/2/153back2023/2/154定义C

中f(x,y)在原点处连续。该式表明函数在积分域中的作用就是赋与函数在x=0,y=0处的数值f(0,0)。这是广义函数的定义方式，具有普遍意义。不同形式的函数，只要它们在积分中的作用和上式相同，就可认为它们与函数相等，这一性质在理论推导中经常用到。定义C2023/2/155广义函数与检验函数

广义函数不便于像普通函数那样做加、减、乘、除，的运算，只有积分时才能得到定值，总要经过积分式才能作用与另一函数。(x，y)在积分中也和普通函数不同。普通积分遇到函数值为时就不可积，积分限为-0到+0时积分值为0。但用函数，积分中可得f(0，0)

。2023/2/156

设有两个广义函数f1(x，y)和f2(x，y)，在同时满足下面两式时

即f1(x，y)对(x，y)的作用和f2(x，y)对(x，y)的作用都得到同一个数N时，就认为f1(x，y)=f2(x，y)。

即这时，(x，y)是用来检验广义函数的效果的，叫做“检验函数”。检验函数应满足：（1）是连续的，并处处可微；（2）当x,y时，(x，y)下降足够快。大于某一值时，(x，y)和它的一切导数都等于0，或至少比收敛得快。N为任意整数。就是说，(x，y)在一段（x,y）的有限范围以外基本上都等于0。2023/2/157二、函数的表示和性质112、筛选性质1、函数和其它函数的乘积3、坐标缩放性质2023/2/1584、可分离变量性质5、函数是偶函数三、梳状函数光学上，单位光通量间隔为1个单位的点光源线阵的亮度，可用一个一维梳状函数表示：n为整数梳状函数也是广义函数，其性质可由函数的性质推出。2023/2/159利用坐标缩放性质，可以把间隔为x0的等间距脉冲序列表示为梳状函数与普通函数的乘积是因此，可以利用梳状函数对普通函数作等间距抽样。在x和y方向间隔分别为a和b的二维脉冲序列表示为2023/2/160ab2023/2/1611.3二维傅里叶变换1、二维傅里叶变换的定义含有两个变量x,y的函数f(x,y)，其二维傅里叶变换定义为{}在此定义中，本身也是两个自变量的函数。变换F2023/2/162振幅谱相位谱功率谱类似地，函数f(x,y)也可以用其频谱函数表示，即：上式称为F（，）的二维傅里叶逆变换。正变换和逆变换在形式上非常相似，只是被积函数中指数因子的符号和积分变量不同而已。我们可以用傅里叶变换对偶式来表示两种变换之间的关系式。=-1{}F-1（）FF()2023/2/163二、傅里叶变换存在的条件（1）函数f(x,y)必须对整个XY平面绝对可积，即（2）函数f(x,y)必须在XY平面上的每一个有限区域内局部连续，即仅存在有限个不连续点和有限个极大和极小点。（3）函数f(x,y)必须没有无穷大间断点。2023/2/164

上述三个存在条件是从数学的角度提出的，我们不证明它。这是因为，从应用的角度看，作为时间或空间函数而实际存在的物理量，其傅里叶变换总是存在的。但需说明的，为了物理学上描述方便起见，我们往往又用理想化的数学函数来表示实际的物理图形，对这些有用的函数而言，上面的三个条件中的一个或多个可能均不成立。例如阶跃函数，函数等就不满足存在条件。

因此，为了在傅里叶分析中能有更多的函数来描述物理图形，有必要对傅里叶变换的定义作一些推广。2023/2/165三、广义傅里叶变换

对于不严格满足存在条件的函数，首先把它定义为某一个序列的极限，该序列中的每一成分都具有通常的傅里叶变换，然后求出该序列各成分的傅里叶变换，从而得到一个相应的变换序列。如果后一序列极限存在，就称它为所考虑函数的广义傅里叶变换。所以广义傅里叶变换就是极限意义下的傅里叶变换。2023/2/1662023/2/167设f(x)是一个无法确定狭义傅氏变换的函数，如f(x)和一个函数序列fn(x)(n=1,2,…)具有如下关系并且对函数序列中的每一个函数fn(x)来说，它的狭义傅氏变换都存在，且当n时，函数序列F()也有确定的极限，则称该极限为函数在极限意义下的傅氏变换。2023/2/168例题：求函数f(x,y)=1的傅里叶变换解：上述函数显然不符合傅里叶变换存在的条件，现在我们把它定义为矩形函数序列的极限。01先求矩形函数的傅里叶变换{rect(y)}{rect(x)}FF请同学业们动手推导2023/2/169rect函数和sinc函数是一对Fourier变换对在广义下的傅氏变换，允许交换几分运算和求极限运算的次序2023/2/170f(x,y)=1所以1的傅里叶变换是函数。函数定义问题：函数的逆傅里叶变换等于1吗？-1F物理图像f(x,y)=1请同学业们动手推导2023/2/171函数定义所以：2023/2/172对任一常数来说，如果不借助函数，其极限意义下的傅氏变换难以确定。这是因为：尽管可以用适当定义的函数序列极限描写任一函数，并且构成该函数序列的主函数都存在傅氏变换，但相应的傅氏变换序列的极限，在通常以一下并不存在。例：对常数1来说，可以看成是F{rect(x/N)}=，当N时，矩形高度始终等于1，

曲线高度也。2023/2/173这就是说，所得的傅氏变换序列不存在通常意义下的确定的极限。从而，对常数1来说，难于确定其极限意义下的傅氏变换。如果引入函数概念，则由构成上述傅氏变换序列，随着，而以()为极限，即，可将常数1的极限意义下的傅氏变换确定为()。例子：求梳状函数comb(x/a)的傅里叶变换因为梳函数是周期性函数，可将其展开为傅里叶级数其中2023/2/174所以，梳函数的傅里叶变换为F其间隔为?2023/2/1752023/2/176[1]赵军芳.傅里叶变换在数字图像处理中的应用[J].国外电子测量技术,2004,(6):17-20.[2]熊元新,陈允平.离散傅里叶变换的定义研究[J].武汉大学学报(工学版),2006,39(1):89-91+142.[3]张宪超,武继刚,蒋增荣等.离散傅里叶变换的算术傅里叶变换算法[J].电子学报,2000,28(5):107-107.[4]朱,王富东.利用MATLAB实现二维图像傅立叶变换算法[J].计算机应用与软件,2006,23(12):Readings1.4卷积与相关（ConvolutionandCorrelation）一、卷积的定义h(x,y)一个线性系统的由输入与系统脉冲响应的卷积给出。于是，在理论上，如果知道了系统的脉冲响应，则仅仅实行一个卷积，就能够对任何输入来计算系统的输出。2023/2/178两个函数f(x,y)和h(x,y)的卷积的定义为：它是包含两个参量的二重无穷积分，这里的参变量x,y和积分变量，均为实数，但函数f(x,y)和h(x,y)可以是实数，也可以是复数。“”号表示卷积运算。1、卷积的定义2、卷积运算的例子例：如图，已知两个函数f(x)和h(x),求其卷积2023/2/179求卷积的图解方法：（1）变元：将f(x)和h(x)变为f()和h()，并画出相应的曲线（2）镜像：将h()h(-)，只要将h()曲线相对纵轴折叠便得到其镜像h(-)曲线。2023/2/180（3）对任一x(-,+)，只要将曲线h(-)沿x轴平移x便得到h(x-)x>0右移，x<0,左移（4）计算所对应的曲线下的面积2023/2/181（5）选择新的x值，重复（4）。为了得到卷积，需对-,+的每一个x值求其卷积值。2023/2/182综合上面的结果可得两函数的卷积2023/2/183上述卷积的图解方法，概括起来有四个步骤：折叠、位移、相乘和积分。图解方法在系统分析中是很有用的，它使我们能直观理解许多抽象的关系。在直接计算卷积积分时，图解方法也有助于确定积分限。为了加深印象，再看一个例子。例：如图，已知两个函数f(x)和h(x),求其求卷积2023/2/184解：（1）、将f(x)和h(x)变为f()和h()，并画出相应的曲线（2）、将h()h(-)只要将h()曲线相对纵轴折叠便得到其镜像h(-)曲线。2023/2/185（3）、将曲线h(-)沿x轴平移x便得到h(x-)，因此g(x)=02023/2/186例：求两个矩形函数的卷积，参阅教材P12页，下面给出结论3、卷积运算的两个效应（1）展宽效应：假设函数只在一个有限区间不为零，这个区间可称为函数的宽度。一般说来，卷积函数的宽度等于被卷函数的和。最常见的效果就是一个函数“加宽”了另一个函数。（2）平滑效应：被卷积的函数经过卷积运算，其细微结构在一定程度上被消除，函数本身的起伏振荡变得平缓圆滑。2023/2/1872023/2/188作为一级近似，常将光栅看成由宽度无限小的刻度组成的线族，因而透射函数可以用一族函数来表示。如果把每条刻线换成宽度有限的，并有确定的透射轮廓的刻线，则总的透射可看作这族函数和表征一条缝的宽化的函数卷积的结果。例1.衍射光栅例2.衍射光栅一个点光源照在手上，在屏上可以看见清晰的像。如果两个点光源照在手上，则屏上的像会出现重影。这就是两个点光源与手的卷积效果。例3.光电探测器记录光强的过程用矩形函数表示狭缝的透过率h(x),并对光强的空间分布f(x)扫描，在狭缝后面用光电探测器记录光强分布g(x)。这一扫描记录过程包含了平移、相乘、积分几个环节，由于h(x)是偶函数，折叠不发生变化。因而这是一个卷积运算过程。当狭缝很窄，g(x)越接近于f(x)。当狭缝越宽，平滑效应就越严重，g(x)中已失去f(x)的细节。2023/2/1892023/2/190设f(x)是一个变化很剧烈的函数，h(x)是宽度为a的矩形函数，则，是以某区段内的积分值来表示卷积函数在某点x的值。这样，卷积的结果将比原来函数f(x)本身的起伏变得平缓，但是经过卷积运算后，函数的细微结果在一定程度上被消除了。4、卷积运算的基本性质（1）分配律（2）交换律（3）结合律（4）平移不变性已知则2023/2/191令5、函数f(x,y)与函数的卷积2023/2/192说明：任意函数f(x,y)与（x,y)函数的卷积等于函数本身.任意函数f(x,y)与（x-x0,y-y0)函数的卷积等于函数被平移到脉冲所在的空间位置上（x0,y0）处。==2023/2/193函数f(x,y)与多个脉冲函数的卷积可在每个脉冲位置上产生f(x,y)的波形。这一性质有助于我们描述各种重复性的结构，例如，双缝、多缝、光栅等衍射屏的透过率函数。=2023/2/1942023/2/195思考题卷积的物理意义是什么？/~signals/convolve/index.html自行演算1.rect函数的傅氏变换2.三角函数的傅氏变换3.高斯函数的傅氏变换4.指数衰减函数的傅氏变换（可以得到一个含参量广义积分的结果）二、相关1、互相关的定义（有限能量函数的相关）两个函数f(x,y)和g(x,y)的互相关定义为★式中f﹡是函数f的复共轭，★号表示相关运算。令我们可得互相关定义的另一种形式2023/2/1962、互相关的卷积表达式互相关与卷积是不同的两种运算，参与互相关的两个函数都不翻转，但是我们可以把它表示成卷积的形式。若f(x,y)是实偶函数，则★2023/2/1972、互相关的性质（1）证明：令2023/2/198（2）证明：引用许瓦兹不等式其中和一般为复数，其中等号当且仅当=k时才成立，k是复常数。令2023/2/199模在原点最大则由许瓦兹不等式得因为2023/2/1100原点的移动并不改变积分的数值2、自相关1、定义：时互相关成为自相关★当2023/2/1101（3）归一化互相关函数和自相关函数=归一化自相关函数2023/2/1102关于互相关和自相关的说明互相关是两个信号之间存在多少相似性的量度。两个完全不同的、毫无关系的信号，对所有位置，它们互相关的值应为零。假如两个信号由于某种物理上的联系在一些部位存在相似性，在相应的位置上就存在非零的互相关。在x0处由于信号相似程度大，因而出现相关峰值。★2023/2/1103自相关是自变量相差x时，函数值间相关的量度。在表征不规则函数的性质时特别有用。当x=0,y=0，f(,)f*(-x,-y)就等于|f(,)|2。对于每个(,)点，这值总是正的，自相关最大。当信号相对本身有平移时，就改变了位移为零时具有的逐点相似性，自相关的模减小。但是只要信号本身在不同位置存在相似结构，相应部位还会产生不为零的自相关值，当位移足够大时，自相关值可能趋于零。★2023/2/11041-5傅里叶变换的基本性质和有关定理一、傅里叶变换的基本性质1、线性性质设a,b为常数，则即两个函数的线性组合的傅里叶变换等于各函数的傅里叶变换的相应组合。FFF2023/2/11052、迭次傅里叶变换对二元函数作二次傅里叶变换，可得其倒立像3、坐标缩放性质4、位移定理FFFFFF2023/2/1106函数空域的位移，带来频域中的线性相移，另一方面函数在空域中的相移，会导致频域位移。相移位移ffffff2023/2/1107相移位移相移频移5、体积对应关系2023/2/11086、复共轭傅里叶变换若f(x,y)为实函数，显然有称具有厄米对称性二、傅里叶变换的基本定理1、卷积定理FF2023/2/1109说明：空域两个函数的卷积，在频域等于其变换的乘积。这一定理有重要的意义，当一个复杂函数可以表示成简单函数的乘积或卷积时，利用卷积定理可由简单函数的傅里叶变换来确定复杂函数的傅里叶变换。而且定理为获得两个函数的卷积提供了另一途径，即将两函数的变换式相乘，再对乘积作逆变换。2、相关定理（维纳-辛钦定理）（1）互相关定理★FFFFF2023/2/1110f(x)与g(x)的互谱能量密度2023/2/1111因此，互相关定理表明，两个函数的互相关函数与它们的互能密度构成傅氏变换对。（2）自相关定理★称为信号f(x,y)的能谱密度F因此，自相关定理表明，一个函数的自相关函数与能量谱密度构成傅氏变换对。2023/2/1112例：求指数函数的自相关函数。

解：当0时，积分区间为[,)，所以当0时，积分区间为[0,)，所以可见，当-<<时，自相关函数可合写为：能量谱密度为：表示某种能量表示某种能量2023/2/11133、巴塞伐定理和广义巴塞伐定理在应用中上述积分都可以表示某种能量。本定理表明对能量的计算，既可以在空域进行，也可以在频域进行。从物理上看，这是能量守恒的体现，故也称为能量积分定理。G*(,)不是g(x,y)的傅氏变换，是G(,)共轭2023/2/1114巴塞伐定理可以用来计算较复杂的积分，例如：4、傅里叶积分定理5、导数定理设则有-1FF=-1FFFFF2023/2/1115证明：F-1F2023/2/1116F2023/2/11175、矩定理2023/2/1118给定一个函数f(x)和它的傅氏变换F()，利用导数定理，令=0，并用(-j2)m除这个方程的两边，得到称为f(x)dem阶矩。f(x)的m阶矩正比于它的傅里叶变换的m阶导数在原点的值2023/2/1119由导数定理可得下面的零阶、一阶和二阶矩定理（1）零阶矩定理函数f(x)的零阶矩就是函数f(x)对应曲线下的面积。该定理提供了计算某些函数对应的面积的简便方法。例如，J0(2x)覆盖的面积2023/2/1120（2）一阶矩定理函数f(x)的一阶矩可以有各种具体意义。例如：在力学里它可以表示力矩；在概率论中，当f(x)表示随机变量的概率密度时，其一阶矩就是该随机变量的统计均值（数学期望）。（3）二阶矩定理2023/2/1121二阶矩在力学中可表示惯性矩或转动惯量。在概率论中表示均方值。2023/2/1122例题：？例题：求矩形函数的傅里叶变换FF2023/2/1123例题：求高斯函数的傅里叶变换FF2023/2/1124例题：求余弦函数的傅里叶变换FF2023/2/1125例题：求三角函数的傅里叶变换利用卷积定理FFFFF2023/2/1126下面利用卷积定理的图解方法求三角函数的傅里叶变换。这种方法，用图形表示出函数在空间域和频率域的对应关系，分析思路直观且便于记忆。*0-112023/2/1127例：求极坐标内的二维傅里叶变换。同理上面极坐标下的傅里叶变换的形式是相当复杂的，但是当g具有圆对称性时，极坐标显得比较方便。2023/2/1128傅里叶-贝塞尔变换设g(r,)具有圆对称性，即g与无关，于是可以写成g(r,)=g(r)利用贝塞尔函数关系式式中是第一类零阶贝塞尔函数上式表明，圆对称函数的傅里叶变换仍是圆对称的类似地可得其傅里叶逆变换2023/2/1129在极坐下，圆对称函数的傅里叶变换和逆变换的运算是相同的。我们把这种特殊形式的傅里叶变换称为傅里叶-贝塞尔变换。在研究圆孔的衍射时我们要用到上面的变换。例题：求圆域函数的傅里叶变换利用傅里叶-贝塞尔变换。令并利用恒等式F2023/2/11301.6线性系统分析一、用数学符号表示系统从数学上来讲，很多现象都有可以抽象为使函数f通过一定的变换，形成函数g的运算过程。这种实现函数变换的运算过程称为系统。这种意义下的系统，既可以是特定功能的元器件组合，例如，电子线路、光学透镜组等，也可以是与实际器件无关的物理现象，例如光波通过自由空间的传播过程等。这样定义的系统的作用可由算符L{}来表征。若函数f(x,y)表示一个系统的输入，g(x,y)表示与之相应的输出，系统的作用则可用下式表示LL{}2023/2/1131具体地指出算符的形式和性质是有困难的，因为这取决于系统的物理性质。我们主要讨论系统中一种重要的类型，即线性系统。由于它具有线性性质，从而可以对它作出更深刻的讨论，而得出有确切含义的输入和输出关系式。2023/2/11322023/2/1133对于光学系统来说，输入和输出可能是二维的实值函数——随空间变化的光强分布；也可能是二维的复值函数——随空间位置变化的复振幅分布。究竟是以强度还是以复振幅作为系统的变量，与系统的空间相干性有关。与经典光学的方法不同，在傅氏光学中，通常是以线性系统理论为基础去分析各种光学问题的。在一定的限制条件下，光波的传播、衍射、成像等现象都可以看作是线性的，空间不变的。对于它们的讨论就可以采用线性系统分析的典型方法，特别是傅氏分析法（频谱分析法）。这不仅简化问题的讨论，而且能更清晰地揭示出这些现象的物理实质。二、线性系统定义一个系统对输入f1和f2的输出响应为g1、g2，则有若对于任意复常数a1和a2，当输入函数为a1f1(x,y)+a2f2(x,y)时，输出为则此系统为线性系统。LLL2023/2/1134由线性系统的定义可知，线性系统具有叠加性质，即系统对几个输入的线性组合的整体响应就等于各单个输入产生的响应的线性组合。2023/2/1135

利用线性系统的叠加性质，可以方便地求出系统对于任意复杂输入的响应。方法是：首先，我们把复杂的输入分解成许多更加基本的函数，即“基元”函数的线性组合。而基元函数的响应是较容易单独确定的。这些基元函数的响应再经线性组合，就可以得到复杂输入所对应的输出，这是线性系统的最大好处。基元函数通常是指不能再分解的基本函数。在线性分析系统中，常用的基元函数有函数、余弦函数、和复指数函数。2023/2/11360102032023/2/1137三、脉冲响应以函数作为基元函数，研究输入与输出的关系利用函数的筛选性质，任何输入函数都可以分解为函数的线性组合这个积分可以看成是x,y平面上无穷多个不同位置（，）处的以权重为系数的线性叠加函数2023/2/11382023/2/1139L的意义是：输入平面上位于x=,y=处的单位脉冲（点光源）通过系统后在输出平面上得到的分布。所以它是脉冲响应或点扩散函数。对于给定的光学系统，点扩散函数一般与输入点脉冲的位置（,）有关。令脉冲响应式（*）通常称为叠加积分，它描述了线性系统输入和输出的变换LLL2023/2/1140显然，线性系统的性质完全由它对单位脉冲的响应表征。只要知道系统对位于输入平面上所有可能的点上的脉冲的响应，就可以通过叠加积分而完全确定系统的输出。另外，如果系统的输入和输出之间满足叠加积所描述的关系，就可以认为这是一个线性系统。令脉冲响应式（*）通常称为叠加积分，它描述了线性系统输入和输出的变换L2023/2/11412023/2/1142对于光学成像系统，若物平面上各点的光振动是完全相干的，则系统对物、像面上光振动的复振幅满足线性叠加关系。如果物平面上发光点发出的光波完全不相干时，系统对物、像平面光强度分布满足线性叠加。为了更好地理解叠加积分的物理意义，我们以线性光学成像系统为例加以说明：一辐输入图像可看成是一个点物的集合，只要能确定所有点物的像，就可以完备地描述这一成像系统的效应。但要注意的是，一定要把所有物点的像叠加起来，才能得到输出图像。即完全确定一个线性系统的性质，需要知道系统对于输入平面上所有可能位置上的函数输入的脉冲响应。2023/2/1143显然，要做到这一点，是相当困难的。不过对于线性系统的一个重要子类——线性不变系统，分析才变得十分简单。2023/2/1144称为系统的脉冲响应y1x1y2x2(x1-,y1-)h(x2,y2;,)点斑2023/2/1145表示在输出平面坐标点(x2,y2)上，对输入平面坐标(x1,y1)点上函数的响应。对于一般存在像差且通光孔径有限大的光学成像系统而言，输入平面上的物点（表示成函数），通过系统后，在输出像面上不是形成像点，而是扩散成一像斑，并用脉冲响应h

表示，故又把称为h

扩散函数。可见，只要确定了物场中各点的像h，就可知道光学系统的成像质量。这种方法在镜头的装校中称为“星点检验”表示，故又把称为h扩散函数。2023/2/1146h的波形可能并不相同。其函数形式与输入时刻有关，记为四、线性不变系统一个线性系统的性质可能是随时间（或空间位置）变化的。例如，一个电路系统，不同时刻输入的时间脉冲信号，其响应L若输入脉冲延迟时间，其响应仅仅有相应的时间延迟，而函数形式不变，即L我们称这样的线性系统是时不变系统。这种系统输入与输出之间的变换关系是确定的，不随时间变化。固定电阻、电容、电感的特性在一段时间内，可看作是不随时间变化的，它们组成的电路是时不变的。一个空间脉冲（如单位点光源）在输入平面上位移，线性系统的响应函数形式不变，只是产生相应的位移，即L这样的系统称为空间不变系统或位移不变系统2023/2/1147对于空间不变系统，其输入与输出的变换关系是不随输入空间位置而变化的变的。其唯一的效应是输出发生同样的位移。若L则L2023/2/1148对于线性不变系统，叠加积分式变为式中h(x,y)是坐标原点单位脉冲响应，它可以表征线性空不变系统的性质。上式（**）积分称为卷积积分，其含义仍旧是指：把输入函数f(x,y)分解为无穷多个函数的线性组合，每个脉冲都按其位置加权，然后把系统对于每个脉冲的响应叠加在一起就得对于f(x,y)的整体响应。与（*）式不同的是，不论输入脉冲位置如何，系统脉冲响应的函数的形式是相同的。因而系统的作用可以用一个脉冲响应函数来表征。2023/2/1149说明：对于成像系统而言，物平面上一个点光源（函数），通过成像系统后得到一个弥散像点分布（h函数），这种弥散作用很像日晕、月晕现象。对于线性不变系统，由于像点的形状不随物点空间位置而变，所以又把这种特性称为等晕性。对于实际成像系统，一般不可能是严格的空不变系统，这是由于像差的大小与物点位置有关。然而绝大多数光学系统像差大小随时物点位置的变化是缓慢的，因此，即使是空间不变性不能在整个视场内成立，我们也可把视场分成若干个区域，在每个区域内使空间不变性近似成立。这样划分的区域称为等晕区。对于每个等晕区都有各自的h。因此，对线性不变系统的讨论是具有普遍意义的。2023/2/1150五、线性不变系统的传递函数上式是输入和输出关系在空域表示，利用卷积定理，可以得到频率的关系式。2023/2/1151

输入频谱

输出频谱系统的传递函数或频率响应它决定了输入频谱中各种频率成分通过系统时将发生什么样的变化。说明：对线性平移不变系统，可以采用两种研究方法。一是在空域通过输入函数与脉冲响应函数的卷积求得输出函数；二是在频域求得输入函数与脉冲响应两者各自的频谱函数的乘积。再对该乘积求逆傅里叶变换求得输出函数。2023/2/1152从表面上看，后一种方法比前一种方法复杂，但实际情况并非如此，这是因为利用傅里叶变换的性质和傅里叶变换对偶表，常可以使得傅里叶变换、求积和求逆傅里叶变换这一运算过程远比卷积运算方便。因此从频率域来考察线性平移不变系统，不仅有重要的理论意义，而且有很高的实用价值。下面进一步来讨论传递函数的物理意义：前面我们把线性系统的输入函数f(x,y)分解成函数的线性组合，而对于线性不变系统，可以找到更为合适的基元函数，即复指数函数。逆傅里叶变换提供了对于输入函数进行分解的方法。2023/2/1153在光学中，、

具有长度倒数的量纲，因此具有空间频率的意义。上式表明。空间信号f(x,y)可以分解成具有不同空间频率、的基元函数exp[j2(x+y]的线性组合，F（,）dd就是这一线性组合中对应基元函数的权重因子。这就是除了函数以外的第二种基元函数。这种分解法通常称为傅里叶分解。LL又因为2023/2/1154利用L上式表明，各基元复指数函数在通过线性不变系统后，仍然是同频率的复指数函数。但是可能产生与频率有关的幅值变化和相移，这些变化决定于系统的传递函数。因此传递函数又称为频率响应，它描述了系统的频率域的特性。线性不变系统2023/2/1155L六、线性不变系统的本征函数定义：如果函数f(x,y)满足条件式中a为一复数，叫本征值，则称f(x,y)为算符所表征的系统的也就是说，系统的本征函数是一个特定的输入函数，相应的输出函数等于输入函数与一复常数的乘积。由上面的讨论可知，复指数函数可以形式不变地通过线性不变系统，因此，它正是线性不变系统的本征函数。在分析线性不变系统时，取复指数函数为基元函数是非常方便的。L本征函数L2023/2/11562023/2/1157补充概念对于光学成像系统，若物平面上个点的光振动是完全相干的，则系统对物、像面上光振动的复振幅满足线性叠加关系。如果物平面上发光点发出的光波完全不相干时，系统对物、像平面上光强分布满足线性叠加关系。两种照明系统。①所有物点上的场的相矢量振幅的变化是步调一致的；尽管物的任意两点可有不同的固定相对相位，但它们的绝对相位随时间变化的方式是理想地相互关联的。这种照明称为空间相干的。②物上所有各点的相矢量振幅随时间的变化完全没有关联。这种照明称为空间非相干的。对于非相干处理系统，系统对光强是线性的，这种系统可以把一个实值输入变换成一个实值输出，也是一种常见的系统，这类系统的传递函数是厄米的，即有：令振幅传递函数相位传递函数偶函数奇函数2023/2/1158下面我们来证明余弦函数是这类系统的本征函数令为系统的传递函数，输入函数为因为因此，输入频谱为输出频谱为2023/2/1159函数的筛选性质系统的输出函数为F-1因输入函数的频率是任意的，故上式可写成一般形式2023/2/1160L上式表明，对于具有实值脉冲响应的线性不变系统，余弦输入将产生同频率的余弦输出，但可能产生与频率有关的衰减和相移。这种变化的大小分别决定于传递函数的模和辐角。2023/2/1161（1）衍射孔径比波长大得多；D＞＞对于大多数问题，这两个条件是常常是能满足的。对于高分辨率衍射光栅等不满足上述条件的情况，衍射场的能量分布与光的偏振态密切相关，必须考虑矢量波衍射理论。本课程只讨论光波的标量衍射理论。（2）观察点离衍射孔径不要太近。1.7二维光场分析光是电磁波，完备描述光波，应考虑光波场的矢量性质。然而在光的干涉、衍射等许多现象中，允许把光波近似作为标量波处理。也就是只考虑电磁场的一个横向分量，并假定任何别的分量可以用同样的方法独立处理。而实际上电磁场的各分量是通过Maxwell方程联系在一起的，不能独立处理。不过，研究表明，只要满足如下两个条件。此时，应用标量理论得到的结果（衍射场能量分布）与实际十分相符。2023/2/1162注：Maxwll方程与电磁波动方程前提条件：无源空间，激励电流和自由电荷均为零，且设媒质是各向同性、线性和均匀的。各向同性线性均匀1.7.1单色光波场的复振幅表示2023/2/1163利用由（1）式同理得式（3）、（4）是无源空间中E，H满足的方程，称为电磁波动方程，是研究电磁波问题的基础。标量理论是只考虑电磁场中的一个分量，且认为各分量是独立的。2023/2/1164球面波和平面波是波动方程的基本解，而由波动方程的线性性质，任何复杂的波都能用球面波或平面波的线性组合表示。因此，有必要了解从数学上来描述这些波。1.7.1单色光波场的复振幅表示单色光场中某一点P在时刻t的光振动可表示为式中是光波的时间频率。a(P)和（P）分别是P点的光振动的振幅和初相位。2023/2/1165

一个理想的单色光波对于时间和空间都是无限的。考察实际发光过程，它总是发生在一定时间和一定空间范围内，所以理想单色光波是不存在的。但是在实际存在的光波中，有的光波仅仅包含以某一频率为中心的很窄的频率范围，即窄带光。单色光的结论可以推广到窄带光。对宽带的非单色光，可以将它们分解为单色光。然后再应用单色光的有关结论。所以对单色光的讨论不仅有理论意义，而且还有实际意义。2023/2/1166根据欧拉公式，一个余弦函数可以表示为相应的复指数函数的实部。因此，u(P,t)也可以表示为如下式子式中Re{}表示对括号内复函数取实部。显然，利用复指数函数表示光振动，便于把相位中空间部分（P）和由时间变量决定的部分2t分开来。定义一个新物理量称为单色光场中P点的复振幅，它包含了P点光振动的振幅a(P)和初相位（P）。U（P）2023/2/1167定义一个新物理量称为单色光场中P点的复振幅，它包含了P点光振动它与时间无关，而仅是空间位置的函数。对于单色光波，由于频率恒定，由时间变量确定的相位因子exp(-j2t)对于光场中各点来说均是相同的。光场中光振动的空间分布完全由复振幅U随空间位置的变化所确定。U（P）的振幅a(P)和初相位（P）。2023/2/1168利用复振幅U（P），光振动的表达式可写为在计算干涉、衍射和另一些光学问题时，涉及单色光波的线性运算，可直接利用复振幅进行计算，导出所需结果的复振幅。由复振幅计算光强可按下式进行。例题：利用复振幅求两相干光场的干涉公式S1S2P2023/2/1169这是大家熟悉的双光束干涉公式。如要求光栅的衍射公式，可利用N个复振幅直接相加，得其合复振幅，进而求得光强。比利用余弦函数计算方便得多。2023/2/11701、球面波的复振幅从点光源发出的光，其波面表现为球面波。我们常把一个复杂的光源看做是许多点光源的集合，因此，点光源是一个重要的基本光源，球面波是基本的波面形式。（设点光源初相为零）发散波a0是距光源单位距离处的振幅会聚波2023/2/1171（设点光源初相为零）发散波任一点P处的复振幅为--波数同理，对于会聚球面波，其复振幅为下面讨论球面波在直角坐标系中光场的分布表达式许多问题中，我们所关心的往往是某个确定平面的上的光场分布，所以下面重点讨论某一特定平面上复振幅的数学表达式。2023/2/117202023/2/1173当xy平面上只考虑一个对s点张角不太大的范围，这时有傍轴条件作泰勒级数展开，略去高阶项得上式代入发散球面波复振幅公式得到xy平面上产生的复振幅分布为2023/2/1174在相位因子中包括两项：描述了位相随x,y平面坐标的变化我们称之为球面波的（二次）相位因子，当平面上复振幅分布的表达式中包含有这一因子，就可近似认为距离该平面z处有一点光源