第一讲插值法

航海数学NauticalMathematicsSeptember7,2015武汉理工大学航运学院刘文第一章航海数值内插法

插值法是一种古老的数学方法，早在一千多年前的隋唐时期定制历法时就广泛应用了二次插值。刘焯将等距节点的二次插值应用于天文计算。插值理论却是在17世纪微积分产生后才逐步发展起来的，Newton插值公式理论是当时的重要成果。由于计算机的使用以及航空、造船、精密仪器的加工，插值法在理论和实践上都得到进一步发展，获得了广泛的应用。在航海数值计算中，经常要用到一些专用表册，如：航海表、吃水差表等等，这些表册都是按一定的函数关系编排的，如：

数值内插在航海工程中的意义根据已知的x值，查表可求得y值，但是表内不可能一一列出全部y值，当所求的函数值y正好在两表列数值之间，利用表列数据间的引数求y值的方法称为内插法。内插法：利用函数表册，根据任意居间引数查取相应函数的方法。内插分类：a：按使用目的：正内插－已知引数求函数；反内插－已知函数求引数。b：按引数的个数：单内插、双内插、三内插c：按函数的性质：线性内插、变率内插、高次内插第一节比例内插(ProportionalInterpolation)一．比例单内插(proportionalsingleinterpolation)1．比例正内插已知

求。

比例内插公式：Ox0y0x1y1xyf(x)xyabced

比例内插的几何意义：用表列引数两点的直线代替曲线进行内插，即以弦代替曲线进行内插。结论：1）f(x)为线性函数，求得的y值没有误差2)f(x)为非线性函数，求得的y值有df误差Ox0y0x1y1xyf(x)xyabcedf②：对非线性函数，表间距越小，利用线性内插求得的函数值的误差越小。但是表的篇幅会增大。Ox0y0x1y1xyf(x)xyabcedf①：只要在误差允许的范围内，均可采用线性内插。例2－1－1：设物标高h，垂直角α，水平距离D＝hctgα，利用该式编表如下：

（1）求α＝4′，h＝13.4m时的D*？

（2）求α＝5′，h＝13.4m时的D**？

2.比例反内插(inverseproportionalinterpolation)内插的逆运算，，已知求？内插的逆运算，，已知求？比例内插公式

比例反内插公式

二.比例双内插(proportionaldoubleinterpolation)当函数有两个自变量时，用比例双内插求近似解。比例双内插是比例单内插的自然推广。比例单内插是比例双内插的特殊情形。比例双内插可按照比例单内插的计算方式进行计算。例2－1－2：由例2－1－1的计算结果，求h＝13.4m，α＝4.4时的D？

例2－1－2：由例2－1－1的计算结果，求h＝13.4m，α＝4.4时的D？

例2－1－2：由例2－1－1的计算结果，求h＝13.4m，α＝4.4时的D？

例2－1－3：由例2－1－1的计算结果，求h＝13.5m，α＝3.5时的D？

第二节变率内插(InterpolationbyRateofChange)当函数是非线性函数时，如果用比例内插计算将会导致一定的计算误差为了尽量减小该误差，则引进了变率内插。当函数是非线性函数时，如果用比例内插计算将会导致一定的计算误差为了尽量减小该误差，则引进了变率内插。一.变率单内插(singleinterpolationbyrateofchange)利用表中给出的函数变化率进行内插。

变率比例区别：比例内插只依赖于两点间连线的斜率；变率内插依两点间局部斜率的变化而变化。（1）

用比例内插y＝5.5（2）

用x＝2变率内插y＝4＋4（2.3－2）＝5.2（3）

用x＝3变率内插y＝9＋6（2.3－3）＝4.8（4）

用y＝x2直接计算y＝5.294684916234yxdydx例2－2－1：用y＝x2造表，求x＝2.3时的y？分析：

①比例内插误差大；

②x＝2的变率内插较准。结论：使用变率内插时，为减小误差，应使用最接近实际引数的表列引数所对应的函数为基准。yxof(x)x0y0x1y1xyypyx0yx1变率内插的几何意义：准确值y按x0变率内插，为yx0按x1变率内插，为yx1yx0

最接近准确值y。按比例内插，为yp二.变率双内插(doubleinterpolationbyrateofchange)

令函数的表达形式为在点处的泰勒展开为

即

例2－2－2：求h＝13.4m，α＝4.4时的D？

总结查算由非线性函数造的函数表，不论用比例内插还是变率内插都会导致一定的误差。在精度允许的情况下可采