第15讲隐函数的求导法

第三节（5）本节内容:一、一个方程的情形二、方程组的情形隐函数的求导公式

第五章

问题：1.方程（组）满足何条件才能确定隐函数；

前面讨论了如果一个二元方程确定了一个隐函数，可以不对这个隐函数显式化而直接求其导数的问题．2.方程（组）确定的隐函数如何求导（偏导）.一、一个方程时的情形１．一个二元方程任何一个二元方程在任何条件下都可以确定一个隐函数吗？考虑方程在点（1,0）附近的情况，在点（0,1）附近呢？讨论：函数是x和y是两个变量，D是一个给定的数集，若对于

，变量y按照确定的法则总有唯一确定的数值和它对应，则称y是x的函数.答：方程

在点（1,0）附近，对于任意的x

，都有y的两个值

与之对应，因此，在点（1,0）附近该方程不能确定一个函数

．

事实上，对任意一个给定的方程，要由它确定一个隐函数是需要一些条件的，为此有隐函数存在定理.但在点(0,1)附近就不同了，在这点附近，对于任意的x

都有y的唯一的一个值与之对应．因此，在点（0,1）附近该方程能确定一个函数

．定理1.

设函数则方程单值连续函数,并有连续(隐函数求导公式)①的某邻域内可唯一确定一个②③满足条件机动目录上页下页返回结束导数由定理的条件与结论来看，条件中的意义何在？在点的某一邻域内具有连续偏导数；满足由于及连续，因此存在的一个邻域，在这个邻域内，这个结论是由哪个条件保证的呢？关于隐函数存在性的证明省略，我们仅在隐函数存在的前提下，借助多元复合函数求导的链式法则来说明的正确性．

将由方程所确定的隐函数代入该方程中，得将方程的两端分别对x求导，左端利用链式法则得于是得看到定理条件中偏导数连续的意义了吗？若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,二阶导数:则还有机动目录上页下页返回结束例1.验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数解:

令连续,由定理1可知,①导的隐函数则②③在x=0

的某邻域内方程存在单值可且机动目录上页下页返回结束并求机动目录上页下页返回结束两边对x求导两边再对x求导令x=0,注意此时导数的另一求法—利用复合函数求导机动目录上页下页返回结束定理2.若函数的某邻域内具有连续偏导数,则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数z=f(x,y),定理证明从略,仅就求导公式推导如下:满足①在点满足:②③某一邻域内可唯一确机动目录上页下页返回结束增加方程中变量的个数2．三元或三元以上的方程两边对x求偏导同样可得则机动目录上页下页返回结束解法1

利用公式设则两边对x求偏导机动目录上页下页返回结束例2.设例2.设解法2利用复合函数求导机动目录上页下页返回结束再对x

求导例3.设例4.设隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.由F、G

的偏导数组成的行列式称为F、G的雅可比(Jacobi)行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即雅可比目录上页下页返回结束二、方程组确定的隐函数情形定理3.的某一邻域内具有连续偏设函数则方程组③的单值连续函数且有偏导数公式:①在点②的某一邻域内可唯一确定一组满足条件满足:导数；机动目录上页下页返回结束有隐函数组则两边对x求导得设方程组在点P

的某邻域内公式目录上页下页返回结束故得系数行列式同样可得机动目录上页下页返回结束例5.

设解:方程组两边对x求导，并移项得求练习:

求机动目录上页下页返回结束答案:由题设故有例6.

设其中f与F分别具解法1

方程两边对x

求导,得有一阶导数或偏导数,

求(99考研)解法2方程两边求微分,得化简消去即可得内容小结1.