八年级数学上册几何添辅助线专题

全等三形题中常的助线的法(答案)

7.度为3度，可从角一总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相

殊直角三角形，等，构造二个角之间的相等

等的二条边或二【三角辅助线做法

8.算值图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系角三角形，或现。这样可以得到在角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试造边、角之间的看。常见辅助线的作线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试之间的相等，二验。1)遇到等腰三三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中维模式是全线。2)遇到三角形1.等腰三角形“三线合一法遇到等腰三角形，可作底边上的高，利三角形用“三线合一”的性质解题3)遇到角平分2.长线长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形向角的两边3.平线三添助所考知识点4.直分联线两线上的一点5.“长”“短：到有二条线段长之和等于第三条线段形）可的长，二点，然后6.形全：一个角60度或120度的把角添线后构成等边三角角形。形4)过图形上某全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法体做是在某条线段上截取一条线段与特定线段相

EG<BG+BE故：EF<BE+FC等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等

例3、如图，△的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分

解：延长AE至等类的题目．

显然DG＝AC，6)已知某线段的垂直平分线么可在垂直平分线上的某点向该线段的

由于DC=AC故两个端点作连线，出一对全等三角形。

在△ADB与A特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角

BD＝AC=DG，A形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答

∠ADB=∠ADC+∠一、倍长中线（线段）造全等

故△ADB≌△AD例杯试题）已知，如图△ABC中，AB=5，则中线AD的取值范围是________.

二、截长补短1、如图，解：延长至E使，连BE，由三角形性质知

解长法）AB-BE<2AD<AB+BE

故的取值范围是1<AD<4

△ADB是腰三例、如图，△ABC，分别在AB上，DE⊥DF是中点，试比

DF⊥AB，故∠A较BE+CF与大小解(倍中线,等腰三角“三线合一”法)延长FDG使＝2EF，连BG，EG,

△ADF≌△ADC显然BG＝FC，

A

∠ACD＝∠AFD＝在EFG中，注意到⊥DF，由等腰三角形的三线合一知E

2图EG＝EF在BEG中，由三角形性质知

B

D

FC

解E△A

AEFAEF∠ADE＝∠AFE，

求证：∠ADE+∠BCE＝180°

解短法）△BDF≌△BDCA

故∠DFB＝∠DC又＝CDB∠AFE+∠BFE故ECB∠EFB

＝180°

P

Q

故在等腰△∠DFB＝∠DAFeq\o\ac(△,≌)FBE△CBE）

故有∠故有BF＝BC从;AB＝AD+BC

C

5、如图在eq\o\ac(△,AB)＞PB-PC3、如图，已知eq\o\ac(△,在)ABC内，

，40

，P，Q分别在BC，CA

解短法）上，并且，BQ别是BAC，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP解短法计算数值法）延长ABD使BD＝BP连DP

△ABP≌△AFP故＝PF在等腰△中可得∠＝40°

由三角形性质知从而∠＝∠ACP

PB－PC＝PFeq\o\ac(△,≌)ADP△ACP）

应用：故＝AC

分析：此题又QBC＝40°＝∠QCB

故BQ＝QC

用已知条件和等BD＝BP

解：有

BC从而BQ+AQ=AB+BP

连接AC

，过4、如图，在四边形，BC＞BA,AD，BD平分

，

则可证为

即，

FCE，，∴

120

A

从而

P

=BE+CEB又∵

AD

，

例2图，在∴120又∵DEC

B

E

F

C

证明：取BC中∴

AEDFEC在与中EADEFAED∴∴

FCEAD

∵BD=CE,∴

BCAE

∴DM=EM,∴△DMN≌E点评：此题的解法比较新颖，把梯形的问题转成等边三角形的问题，

∴DN=AE,同理BN=CA.然后利用全等三角形的性质解决。

延长ND交AB相加得BN+BP+三、平移变换

各减去DP,B∴AB+AC>AD+例1AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN一点，△ABC

四、借助角平分周长记为P，△EBC周记为.求证＞.AA

1图知解面反射）延长BAF，AF＝AC，连FE

求证：OE=ODAD为△角平分线,MN

证明(角平分线则∠BAC+∠BC知FAE∠CAE

AD,CE为角平则∠OAC+∠O故有

∠AOC=12eq\o\ac(△,≌)FAE△CAE）

E

O

在AC上又AO.故＝CE

∠AOF=∠AOE在BEF中有：BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC

则∠COF=∠，，又CO=CO;∠OCD=故⊿OCD≌ΔOCF(SAS),

FE与OD=OF;CD=CF.

（2）图OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.

不变2如图eq\o\ac(△,，)ABC中AD平分∠BACDG⊥BC且平BCDE⊥ABDF⊥AC

明；于

O解）F（1）明BE=CF理由如果

，AC=

，求AE、BE的长.

图①（）答：解：(垂直平线联结线段两端接BD，DC

A

证法一：如DG垂直平分BC，故BD＝DC由于AD平分∠BACEF，

B

E

F

故

∵∴

有

∴

ED＝DF

∵

60故eq\o\ac(△,RT)DBE≌RT△DFC（HL

∴

故有BE＝CF。

∴

＝2AE

∴

＝）/2

∵

及

∴

应用：

∴

FG1、如图①，OP是∠的分线，请你用该图形画一对以OP所在直线

∴

FE为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解

证法二：如答下列问题：

∵

60）如图②，△ABC中，∠是直角，∠=60°，、CE分别是

∴可得

∠BAC、∠BCA的平分线，、相交于点。请你判断并写出

∴

GEF又∵

HDF

∴2∴∠∴

GEF

即∠∴N∴可证

DHF

∵A∴∠∴

FEFD

有腰角时用辅线

又∵∠B∴∠∴∠⑴作顶的平分线，边中线底边高线

∴E例：已知，如图，AB=AC，BD⊥AC于D，

∴E求证：∠BAC=2∠DBC

⑷常过腰上的证明方法一）作BAC的平

分线AE，交BC

例：已知，如图1于E，则∠1=∠2=∠BAC2A

延长线上，求证：DF=证明证法又∵AB=AC

∠NDE=∠∴AE⊥BC

∵A∴∠2＋∠ACB=90

o

∴∠∵BD⊥AC∴∠DBC＋∠ACB=90

o

F

∴∠B=∠∴BD=DN∴∠2=∠DBC∴∠BAC=2∠DBC

E

又∵BD=∴DN=EC（方法二）过A作AE⊥BC于E（过程略）

D

在△DNF和（方法三取中点E结（过程略）⑵有底中点时，常底边中

1

F

2

M

∠1=∠2∠NDF=∠例：已知，如图，△ABC，AB=AC，D中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

DN=EC∴△DNF≌求证：DE=DF

∴D证明：连结AD.

（证∵D为BC中点，

=∠B（过∴BD=CD

⑸常过腰上的又∵AB=AC

例：已知，如∴AD平分∠BAC

长线上，∵DE⊥AB，DF⊥AC

求证：D∴DE=DF

证明证⑶将腰长一倍，构直角三形解题

∠例：已知，如图，△ABC中，AB=，在BA延长线和AC上各取一点、F，

∠使AE=AF，

∵求证：EF⊥BC

∴证明：延长BE到N，AN=AB,连结CN,则AB=AN=AC

∴∴∠B=∠ACB,∠ACN=∠ANC

∵∵∠B＋∠ACB＋∠ACN＋∠ANC=180o

∴o又∵∠＋∠＋∠ADE=180o∴2∠AEF＋2∠AED=90即∠FED=90o

A

＋∠

解法二：以AC为∴DE⊥FE又∵EF∥BC

B

P

C

解法三：以BC为EB=∴DE⊥BC

E

∵EB（证法二）过点D作DN∥BC交CA的延

∴E在长线于N过程略）

同理A（证法三）过点A作AM∥BC交DEM过程略）

∴EA所⑹常将腰三角形转成特殊等腰三角形------边三角形

∴EA⊥例：已知，如图，△ABC中，AB=AC，=80o,P为形内一点，若∠PBC=10

o

=30

o

求∠PAB的度数.

∠AEB解法一：以AB为一边作等边三角形，连结则∠BAE=∠ABE=60

o

由解法AE=AB=BE

∴∠A∵AB=AC

∵∠A∴AE=AC∠ABC=∠ACB

∴△A∴∠AEC=∠ACE

∴AB∵∠EAC=∠BAC－∠BAE

∵∠A=80

o

－60

o

=20

o11∴∠ACE=(180o－∠EAC)=∵∠ACB=(180o－∠BAC)=22

∴∠P70o50o∴∠BCE=∠ACE－∠ACB

1.图，求=80o－50∵∠PCB=30o

o

=30

o

解：连结CD∴∠PCB=∠BCE∵∠ABC=∠ACB=50

o

,∠ABE=60

o

∵∠ECD＋∠∴∠EBC=∠ABE－∠ABC=60o－50o=10∵∠PBC=10o

o

=180°－∠∴∠PBC=∠EBC在△PBC和△EBC中

∴∠A∠PBC=∠EBCBC=BC

=∠A＋∠EC∠PCB=∠BCE∴△PBC≌△EBC

=∠A＋（∴BP=BE∵AB=BE

=∠A＋∠AC∴AB=BP∴∠BAP=∠BPA

=180°∵∠ABP=∠ABC－∠PBC=50

o

－10

o

=40

o

2.图延长BE交于F。求证：AF=EF。

∵BE平∠解：延长至G，使DG=AD连结BG

∴CE=

CF∵BD=DC∠BDG=∠ADC

又∵AB=AC∴△BGD△CAD

∠ACF=∠AB∴BG=AC=BE，∠G=∠CAD

∴△ACF≌△∴∠G=∠BEG=∠AEF

∴CE=

∴∠AEF=∠CAD∴AF=EF3.知是正方形ABCD边CD上的点，点FBC上，且∠DAE=∠