【优化方案】高考数学总复习 第6章第2课时一元二次不等式及其解法精品课件 文 新人教A

第2课时一元二次不等式及其解法第2课时

一元二次不等式及其解法考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考温故夯基·面对高考温故夯基·面对高考1．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝

没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集_________________________________ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集_________________{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}{x|x∈R}{x|x1<x<x2}∅∅思考感悟当a<0时，ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0的解集如何？提示：当a<0时，可利用不等式的性质将二次项系数化为正数，注意不等号的变化，而后求得方程两根，再利用“大于号取两边，小于号取中间”求解．2．用程序框图来描述一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的求解的算法过程为：考点探究·挑战高考一元二次不等式的解法考点一考点突破解一元二次不等式的一般步骤(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2＋bx＋c>0(a>0)，ax2＋bx＋c<0(a>0)．(2)计算相应的判别式．(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．例1

解下列不等式．(1)2x2＋4x＋3>0；(2)－3x2－2x＋8≥0；(3)12x2－ax>a2(a∈R)．【思路分析】首先将二次项系数转化为正数，再看二次三项式能否因式分解，若能，则可得方程的两根，大于号取两边，小于号取中间；若不能，则再看“Δ”，利用求根公式求解方程的根，而后写出解集，(3)小题中对a要分类讨论．【解】

(1)

∵Δ＝42－4×2×3<0，∴方程2x2＋4x＋3＝0没有实根，二次函数y＝2x2＋4x＋3的图象开口向上，与x轴没有交点，即2x2＋4x＋3>0恒成立，所以不等式2x2＋4x＋3>0的解集为R.(2)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0，∵Δ＝100>0，【规律方法】解含参数的一元二次不等式的步骤：(1)二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．互动探究本例中(3)若变为ax2－(2a＋1)x＋2<0，试解该不不等式．一元二次不等式恒成立问题考点二(1)解决恒成立立问题一定定要搞清谁谁是自变量量，谁是参参数，一般般地，知道道谁的范围围，谁就是是变量，求求谁的范围围，谁就是是参数．(2)对于于二二次次不不等等式式恒恒成成立立问问题题，，恒恒大大于于0就是是相相应应的的二二次次函函数数的的图图象象在在给给定定的的区区间间上上全全部部在在x轴上上方方，，恒恒小小于于0就是是相相应应的的二二次次函函数数的的图图象象在在给给定定的的区区间间上上全全部部在在x轴下下方方．．例2设函函数数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对对于于一一切切实实数数x，f(x)<0恒成成立立，，求求m的取取值值范范围围；；(2)若对对于于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成成立立，，求求m的取取值值范范围围．．【思路路分分析析】本题题(1)可讨讨论论m的取取值值，，利利用用判判别别式式来来解解决决．．对对于于(2)含参参数数的的一一元元二二次次不不等等式式在在某某区区间间内内恒恒成成立立问问题题，，常常有有两两种种处处理理方方法法：：法法一一是是利利用用二二次次函函数数区区间间上上的的最最值值来来处处理理．．法法二二是是先先分分离离出出参参数数，，再再去去求求函函数数的的最最值值来来处处理理，，一一般般法法二二比比较较简简单单．．【误区警示示】本题中易易出现漏漏“m＝0”的情况，，原因是是对于二二次项系系数为参参数的函函数直觉觉上认定定其为二二次函数数．一元二次不等式的实际应用考点三实际应用用问题是是新课标标中考查查的重点点，突出出了对应应用能力力的考查查，在不不等式应应用题中中常以函函数模型型出现．．解题时时要理清清题意，，准确找找出其中中的不等等关系再再利用不不等式的的解法求求解．例3某产品按按质量可可分成6种不同的的档次，，若工时时不变，，每天可可生产最最低档次次的产品品40件，如果果每提高高一个档档次，每每件利润润可增加加1元，但每每天要少少生产2件产品．．(1)若最低档档次的产产品每件件利润为为16元，则生生产哪种种档次的的产品所所得到的的利润最最大？(2)若最低档档次的产产品每件件利润为为22元，则生生产哪种种档次的的产品所所得到的的利润最最大？【思路分析析】生产第x档次产品品时，产产品的利利润＝生生产数量量×每件利润润，表示示出产品品利润后后求利润润最大时时对应的的x值．【解】(1)设生产第第x档次产品品时，所所获利润润最大，，则生产产第x档次产品品时，每每件利润润为16＋(x－1)×1(元)，生产第x档次产品品时，每每天生产产[40－2(x－1)]件，所以生产产第x档次产品品时，每每天所获获利润为为：y＝[40－2(x－1)][16＋(x－1)]＝－2(x－3)2＋648(元)．当x＝3时，y最大，即即生产第第三档次次产品利利润最大大．(2)若最低档档次产品品每件利利润为22元，则生产第第x档次产品品时，每每天所获获利润为为：y＝[40－2(x－1)][22＋(x－1)]＝－2x2＋882.因为x[1,6]，且xN，所以当x＝1时，y最大，即即生产第第一档次次产品利利润最大大．【规律方法法】不等式应应用题一一般可按按如下四四步进行行：(1)认真审题题、把握握关键量量，找准准不等关关系；(2)引进数学学符号，，用不等等式表示示不等关关系；(3)解不等式式；(4)回归实际际问题．．方法感悟方法技巧巧1．解一元元二次不不等式时时，首先先要将一一元二次次不等式式化成标标准型，，即ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0的形式，，其中a>0.(如例1(2))．2．一元二二次不等等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)与一元二二次方程程ax2＋bx＋c＝0的关系．．(1)知道一元元二次方方程ax2＋bx＋c＝0的根可以以写出对对应不等等式的解解集；(2)知道一元元二次不不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0的解集也也可以写写出对应应方程的的根．3．数形结结合：利利用二次次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可可以一目目了然地地写出一一元二次次不等式式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0的解集集．失误防防范1．一元元二次次不等等式的的界定定．对对于貌貌似一一元二二次不不等式式的形形式要要认真真鉴别别．如如：解解不等等式(x－a)(ax－1)>0，如果果a＝0它实际际上是是一个个一元元一次次不等等式；；只有当当a≠0时它才才是一一个一一元二二次不不等式式．2．当判判别式式Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集集为R；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集集为∅∅.二者不不要混混为一一谈．．考向瞭望·把脉高考考情分析从近几几年高高考试试题分分析，，不等等式的的解法法是每每年高高考的的必考考内容容，特特别是是一元元二次次不等等式，，它与与一元元二次次方程程、二二次函函数相相联系系，三三者构构成一一个统统一的的整体体，贯贯穿于于高中中数学学的始始终．．解不不等式式的题题目，，有时时会单单独出出现在在选择择题或或填空空题中中，以以求定定义域域或考考查集集合间间关系系或直直接求求解不不等式式的形形式出出现，，难度度不大大，属属于中中低档档题，，有时时会与与函数数、三三角、、解析几几何、、向量量等知知识相相交汇汇，作作为解解题工工具出出现在在解答答题中中．预测2012年广东东高考考，不不等式式仍将将与其其他知知识交交汇进进行考考查，，重点点考查查学生生的计计算能能力．．真题透析例(2009年高考考山东东卷)在R上定义义运算算⊙：：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满满足x⊙(x－2)<0的实数数x的取值值范围围为()A．(0,2)B．(－2,1)C．(－∞，，－2)∪(1，＋∞∞)D．(－1,2)【解析】∵x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2<0，∴x2＋x－2<0.∴－2<x<1.【答案】B【名师点点评】对于这这类问问题，，应紧紧抓““定义义”，，转化化为一一般关关系式式，从从而进进行求求解．．名师预测1．若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x∈N*|x≤5}，则A∩B是()A．{1,2,3}B．{1,2}C．{4,5}D．