中考一轮复习数学几何专题：三角形压轴训练（一）

中考一轮复习数学几何专题：三角形压轴训练（一）1．如图1，△ABC中，∠ABC＝α，0°＜α＜90°，分别以AB、BC为边在△ABC外部作△ABD和△BCE，且BD⊥BC，BE⊥AB，点F为AC边中点，连接DE、BF．（1）如图2，当α＝30°，AD＝BD，BE＝CE时，写出DE与BF之间的数量关系，并说明理由；（2）如图3，当α＝45°，AD＝BD，BE＝CE时，写出DE与BF之间的数量关系，并说明理由；（3）当BD＝，AB＝4，BE＝，BC＝4，cosα＝时，直接写出AC和BF的长．2．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）如图1，点D、E都在△ABC外部，连结BD和CE相交于点F．①判断BD与CE的位置关系和数量关系，并说明理由；②若AB＝2，AD＝，求BF2+CF2+DF2+EF2的值．（2）如图2，当点D在△ABC内部，点E在△ABC外部时，连结BE、CD，当AB＝3，AD＝时，求BE2+CD2的值．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝14，过点A作AD⊥BC于点D，E为腰AC上一动点，连接DE，以DE为斜边向左上方作等腰直角△DEF，连接AF．（1）如图1，当点F落在线段AD上时，求证：AF＝EF；（2）如图2，当点F落在线段AD左侧时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）在点E的运动过程中，若AF＝，求线段CE的长．4．如图1，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是AB上一点，且AC＝8，∠DCA＝45°，AE⊥BC于点E，交CD于点F．（1）如图1，若AB＝2AC，求AE的长；（2）如图2，若∠B＝30°，求△CEF的面积；（3）如图3，点P是BA延长线上一点，且AP＝BD，连接PF，求证：PF+AF＝BC5．（1）问题提出：如图1，已知等边△ABC的边长为2，D为BC的中点，P是AD上一动点，则BP+AP的最小值为．（2）问题探究：如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AC＝，在三角形内有一点P满足∠APB＝∠BPC＝120°，求PA+PB+PC的值．（3）问题解决：如图3，某地在脱贫攻坚乡村振兴中因地制宜建造了3个特色农产品种植基地A，B，C．现需根据产品中转点P修建通往种植基地A，B，C的道路PA，PB，PC，方便农产品的储藏运输，根据地质设计，PB路段每米造价是PA的倍，PC路段每米造价是PA的2倍．已知AB＝BC＝2000米，∠ABC＝30°，要使修建3条道路费用最小，即求PA+PB+2PC的最小值．6．如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D为BC边上一点．（1）如图1，若AD＝AM，∠DAM＝120°．①求证：BD＝CM；②若∠CMD＝90°，求的值；（2）如图2，点E为线段CD上一点，且CE＝1，AB＝2，∠DAE＝60°，求DE的长．7．如图△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，D、E分别为AB、AC边上的点，连接DE，以DE为直角边向上作等腰直角三角形DEF，连接BE、BF．（1）如图1，当CE＝AD时，求证：BF⊥BD；（2）如图2，H为BE的中点，过点D作DG⊥BC于点G，连接GH．求证：BF＝2HG；（3）如图3，BE与DF交于点R，延长BF交AC于点P，∠APB的角平分线交BE于点Q．若点E为AC上靠近点A的三等分点，且tan∠AED＝，请直接写出的值．8．如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方向旋转90°得到AG，连接GC，HB．（1）证明：△AHB≌△AGC；（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q．①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°；②若AB＝AC＝4，当EH的长度为多少时△AQG为等腰三角形？9．在△ABC中，AB＝AC，点D平面内一点，M是BD中点，连接AM，作ME⊥AM．（1）如图1，若点E在CD的垂直平分线上，∠BAC＝m°，则求∠DEC的度数（用含m的式子表示）；（2）如图2，当点D在CA延长线上，且DE⊥BC，若tan∠ABC＝k，则求的值（用含k的式子表示）．10．【知识再现】学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称‘HL’定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．【简单应用】如图（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AC、AB上．若CE＝BD，则线段AE和线段AD的数量关系是．【拓展延伸】在△ABC中，∠BAC＝α（90°＜α＜180°），AB＝AC＝m，点D在边AC上．（1）若点E在边AB上，且CE＝BD，如图（2）所示，则线段AE与线段AD相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由．（2）若点E在BA的延长线上，且CE＝BD．试探究线段AE与线段AD的数量关系（用含有a、m的式子表示），并说明理由．11．问题探究：（1）如图①，已知在△ABC中，BC＝4，∠BAC＝45°，则AB的最大值是．（2）如图②，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D为△ABC内一点，且AD＝2，BD＝2，CD＝6，请求出∠ADB的度数．问题解决：（3）如图③，某户外拓展基地计划在一处空地上修建一个新的拓展游戏区△ABC，且AB＝AC．∠BAC＝120°，点A、B、C分别是三个任务点，点P是△ABC内一个打卡点．按照设计要求，CP＝30米，打卡点P对任务点A、B的张角为120°，即∠APB＝120°．为保证游戏效果，需要A、P的距离与B、P的距离和尽可能大，试求出AP+BP的最大值．12．已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．（1）如图1．当PB＝3AP时，△BPC的面积为；（2）直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B′．①如图2，当PB＝5时，若直线l∥AC，求BB′的长度；②如图3，当PB＝6时，在直线l变化过程中．请直接写出△ACB′面积的最大值．13．如图，点P从O出发沿y轴负方向运动，过P作y轴的垂线分别交OA、OB于点M，N，已知A（a，﹣6），B（2，b），a，b满足，AB与y轴交点为C．（1）求A，B两点坐标．（2）计算△AOB的面积，并求：当P为OC中点时点P的坐标．（3）若y轴负半轴平分∠AOB，Q为直线BA与NM的延长线的交点，探究∠Q、∠OAB、∠OBA之间的数量关系，并证明．14．已知：平面直角坐标系中，A（a，3）、B（b，6）、C（c，1），a、b、c都为实数，并且满足3b﹣4c＝﹣a﹣12，2b+3c＝5a+26．（1）请直接用含a的代数式表示b和c．（2）当实数a变化时，判断△ABC的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围．（3）当实数a变化时，若线段AB与y轴相交，线段OB与线段AC交于点P，且S△PAB＞S△PBC，求实数a的取值范围．15．等腰Rt△BAC中，AB＝AC，点D为AC边上一点，连接BD并延长至点F，连接AF，作CE⊥BF于点E.（1）如图1，若AB＝