复数的概念【新教材】2022年人教A版高中数学必修同步讲义

第七章复数第七章复数§.复数的概念77知识索引知识索引索引1：复数的概念索引1：复数的概念1）概念：形如(a，b∈R)的数叫做复数，其中叫做虚数单位，全体复数所成的集合叫做复数集。复数通常用字母表示，即(a，b∈R)2）虚数单位的性质叫做虚数单位，并规定：①可与实数进行四则运算；②；这样方程就有解了，解为或对于复数的定义要注意以下几点：①(a，b∈R)被称为复数的代数形式，其中表示与虚数单位相乘②复数的实部和虚部都是实数，否则不是代数形式（2）分类：满足条件(a，b为实数)复数的分类a＋bi为实数?b＝0a＋bi为虚数?b≠0a＋bi为纯虚数?a＝0且b≠0索引2：复数的分类索引2：复数的分类对于复数【a，b】，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=c=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数，当a＝0且b≠0时，它叫做纯虚数.

显然，实数集R,是复数集C的真子集，即.

正余弦定理的综合应用正余弦定理的综合应用正余弦定理的综合应用主要体现在实现边角互化.解答此类问题的一般思路是如果遇到的式子含角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理;如果遇到的式子含角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理，通过转化可以与三角恒等变换等知识结合起来，达到解题目的.索引3：复数的几何意义复数与复平面内的点及平面向量是一一对应关系（复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量）相等的向量表示同一个复数索引4：复数的模索引4：复数的模向量的模叫做复数的模，记作或，表示点到原点的距离，即，若，，则表示到的距离，即77精例探究精例探究精例1.复数i(2-i)的虚部为（

）A.-2i

B.

2i

C.

-2

D.

2【答案】D【考点】复数的基本概念【解析】【解答】因为i(2-i)=1+2i，所以虚部为2。故答案为：D

【分析】利用复数的乘法运算法则，进而求出复数z，再利用复数的虚部的定义，进而求出复数的虚部。精例2已知复数z=cosθ+isinθ（A.

1

B.

2

C.

2

D.

4【答案】C【考点】复数求模【解析】【解答】由题意知：|z-1|=|cos∴当cosθ=-1时，|z-1|故答案为：C【分析】求出z-1，得到其模长，再结合余弦函数的性质即可求解结论．精例3.若iz=-3+2i(其中i为虚数单位)，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（

）A.第一象限

B.

第二象限

C.

第三象限

D.

第四象限【答案】D【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】【解答】解析：由iz=-3+2i可得z=-3+2i所以z的的共轭复数z=2-3i，根据复数的几何意义可知，z在复平面内对应的点为(2,-3)故答案为：D

【分析】根据题意由复数的运算性质化简整理再由共轭复数的定义结合复数的几何意义即可得出答案。77课堂反馈课堂反馈练习1已知复数z满足z-z=2i，则z

-1

B.

1

C.

-i

D.

i练习2.若复数z对应的点是(-1,1)，则1z+1A.

i

B.

-i

C.

-1

D.

1练习3.设(-1+2i)x=y-1-6i，x,y∈R，则|x-yi|=（

）A.

6

B.

5

C.

4

D.

3练习4（1）已知z∈C，解关于z的方程(z-3i)⋅z（2）已知3+2i是关于x的方程2x练习5.已知m∈R，复数z=(m-2)+(m（1）若z对应的点在第一象限，求m的取值范围；（2）若z的共轭复数z与复数8m+5i7参考答案7参考答案练习1【答案】A【考点】复数的基本概念【解析】【解答】设z=a+bi(a,b∈R)，因为z-z=2i，可得z则-2b=2，可得b=-1，所以复数z的虚部是-1.故答案为：A

【分析】根据题意由共轭复数的定义整理化简再由复数的定义即可得出答案。练习2.【答案】B【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】【解答】由题得z=-1+i,∴1故答案为：B

【分析】首先由复数的几何意义结合点的坐标再由复数的运算性质整理即可得出答案。练习3.【答案】B【考点】复数相等的充要条件【解析】【解答】因为(-1+2i)x=y-1-6i，所以{2x=-6-x=y-1，解得所以|x-yi|=|故答案为：B.

【分析】推导出-x+2xi=y-1-6i，利用复数相等的定义列出方程组，求出x=-3，y=4，由此能求出|x-yi|．练习4【答案】（1）解：设z=a+bi，则(a+bi-3i)(a-bi)=1+3i，即a2∴{a2+b2-3b=1-3a=3，解得{

（2）解：由题知方程在复数集内另一根为3-2i，故{-即a=-12,b=26.【考点】相等向量与相反向量，复数的基本概念【解析】【分析】（1）设z=a+bi,z=a-bi，代入(z-3i)⋅z=1+3i，化简后利用向量相等的知识列方程组，解方程组求得a,b的值，由此求得练习5【答案】（1）解：由题意得{m-2>0m2所以m的取值范围是m>3；

（2）解：因为z=(m-2)+(m2-9)i因为z与复数8m+5i相等，所以{【考点】复数的基本概念，复