圆柱圆锥圆台球的表面积和体积【新教材】2022年人教A版高中数学必修练习

圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积练习一、单选题已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为(

)A.16π B.20π C.24π D.32π已知正方体、等边圆柱(轴截面是正方形)、球的体积相等，它们的表面积分别为S正，S柱，S球，则下列不正确的是

(

A.S正<S球<S柱 B.若一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比为(

)A.1 B.12 C.32 一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，则圆柱的全面积与球的表面积之比(    )A.2:3 B.2:1 C.1:2 D.3:2用与球心距离为1的平面去截球，截面面积为π，则球的体积为(    )A.32π3 B.8π3 C.82祖暅是南北朝时代的伟大数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为(    )A.①② B.①③ C.②④ D.①④已知某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形ABCD是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从A到C的路径中，最短路径的长度为(

)A.210 B.25 C.3 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的半圆的直径为2，则该几何体的表面积为A.3π+2

B.4π+2

C.3π+3

D.4π+3如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径6cm，高8cm(不含杯脚)，已知水的高度是4cm，现往杯子中放入一种直径为1cm的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变.如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠(    A.98颗 B.106颗 C.120颗 D.126颗若将气球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积扩大到原来的(    )A.2倍 B.4倍 C.8倍 D.16倍如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1的侧面展开图中，B，C是线段AD的三等分点，且AD=33.若该三棱柱的外接球A.2

B.2

C.5

D.2将一个圆柱形钢锭切割成一个棱长为4的正方体零件，则所需圆柱形钢锭的表面积最小值为(    )A.16π B.(16+162)π C.16 二、单空题已知四棱锥P−ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是边长为2的正方形，且PA⊥面ABCD，若四棱锥的体积为163，则该球的体积为______．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D−ABC体积的最大值为

．已知圆锥的母线长为2，高为3，则该圆锥的外接球的表面积是______．将一钢球放入底面半径为3 cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高了4 cm，则钢球的半径是________．三、解答题如图(1)，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=22，AD=2，求四边形ABCD绕AD边所在的直线旋转一周所成几何体的表面积和体积．

如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．

．某种儿童型防蚊液储存在一个容器中，该容器由两个半球和一个圆柱组成，(其中上半球是容器的盖子，防蚊液储存在下半球及圆柱中)，容器轴截面如图所示，两头是半圆形，中间区域是矩形ABCD，其外周长为100毫米.防蚊液所占的体积为圆柱体积和一个半球体积之和.假设AD的长为2x毫米.(注：Vk=43πR3,V(1)求容器中防蚊液的体积y关于x的函数关系式；(2)如何设计AD与AB的长度，使得y最大？

答案和解析1.【答案】A

【解答】

解：正四棱锥的高为3，体积为6，

∴底面积为6，正方形边长为6，正方形的对角线为62+62=23，

设球的半径为R，则R2=3−R2+32，

∴R=2，

∴球的表面积为4πR2=4π×4=16π．

2.【答案】C

【解答】

解：正方体的棱长为a，体积V=a3，S正=6a2=63V2【解答】解：轴截面，圆柱为矩形，圆锥为三角形，且高相等，

所以它们的底面圆的半径之比为圆柱：圆锥=1：2；

所以圆柱与圆锥的底面积之比为1：4，

所以圆柱与圆锥的体积之比为3：4，

4.【答案】D【解答】解：设球的半径为R，

则球的表面积S球=4πR2，

所以圆柱的底面半径为R，高为2R，

则圆柱的全面积S柱=2×πR2+2πR×2R=6π5.【答案】D【解答】解：设截面圆半径为r，截面面积为π，所以，又与球心距离d=1，所以球的半径R=r2+d2=2.，

所以根据球的体积公式知V球=4πR33=82π3，

6.【答案】D

【解答】

解：设截面与底面的距离为h，

则①中截面内圆半径为h，则截面圆环的面积为π(R2−ℎ2);

②中截面圆的半径为R−ℎ，则截面圆的面积为π(R−ℎ)【解答】解：圆柱的侧面展开图如图，

圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为12，宽为2，

则在此圆柱侧面上从A到C的最短路径为线段AC，

AC=22+62=210【解析】【解答】

解：

由三视图可知，这个几何体是由一个底面半径为1且高为1的半圆柱，和一个半径为1的半球的前半部分组成．

所以它的下底面为半圆，面积为π2，后表面为一个矩形加半圆，面积为2×1+π2，

前表面为半个圆柱侧面加14个球面，面积为π×1×1+14×4π×1=2π．

所以其表面积为3π+2．

9.【答案】D

【解答】

解：作出在轴截面图如图，

由题意，OP=8，O1P=4，OA=3，

设O1A1=x，则48=x3，即x=10.【答案】C

【解答】

解：设气球原来的半径为r，体积为V，则V=4的半径扩大到原来的2倍后，其体积变为43π(2r)3=8×43πr3．

11.【答案】D

【解答】

解：由展开图可知，直三棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为3的等边三角形，其外接圆的半径满足2r=3sin60∘=2，所以r=1．

由4πR2=12π得R=3．

由球的性质可知，球心O到底面ABC的距离为d=【解析】解：设此球半径为R，

因底面ABCD是边长为2的正方形，且PA⊥面ABCD，若四棱锥的体积为163，

则13×2×2×PA=163，∴PA=4，

可以把四棱锥P−ABCD补成一个以ABCD为底、PA为侧棱的长方体，

则这个长方体的外接球就是四棱锥P−ABCD的外接球，球心O就是PC的中点，

∴(2R)2=PC2【解答】解：设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，

△ABC为等边三角形且其面积为93，

∴12×AB2×sin60°=93，解得AB=6，

球心为O，三角形ABC的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：

O′C=23×32×6=23，OO′=4

15.【答案】16【解析】解：∵圆锥的母线长为2，高为3，

∴该圆锥的底面半径为r=4−3=1，

由题意，圆锥轴截面的顶角为60°，

设该圆锥的底面圆心为O′，球O的半径为R，

由勾股定理可得R2=(3−R)2+12，

解得R=233，

∴球O的表面积为4πR2=4π×(233)2=163π．

16.【答案】3 cm

【解答】解：设钢球的半径为r，则36π=43πr3，解得r=3 cm．

17.【答案】解：如图，∵∠ADC=135°，∴∠CDE=45°，又CD=22，

∴DE=CE=2，又AB=5，AD=2，

∴BC=