向量的数乘【新教材】2022年苏教版高中数学必修同步教案（学生版教师版）

编号：003课题:§向量的数乘目标要求1、理解并掌握向量数乘的运算律和向量共线定理．2、理解并掌握向量的线性运算．3、会用已知向量表示未知向量．4、理解并掌握向量共线的应用.学科素养目标向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．重点难点重点：用已知向量表示未知向量；难点：向量共线的应用．教学过程基础知识点1.向量的数乘运算(1)定义向量文字表述一般地,我们规定实数与向量的积是一个_________,这种运算叫作向量的数乘,记作______________.规定长度方向当λ>0时,的方向与的方向_____________;当λ<0时,的方向与的方向______________;当λ=0时,=_______.方向λ>1把向量沿着向量的相同方向放大0<λ<1把向量沿着向量的相同方向缩小-1<λ<0把向量沿着向量的相反方向缩小λ<-1把向量沿着向量的相反方向放大(2)应用:①与向量的加减法综合运算;②用其几何意义研究向量共线问题.2.向量数乘的运算律设λ,μ为实数,则(1);(2);(3).特别地,我们有.3.向量的线性运算(1)定义:向量的_____________、___________、____________统称为向量的线性运算.(2)运算结果:向量线性运算的结果仍是______________.(3)运算律:对于任意向量,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有.4.向量共线定理(1)条件:为非零向量;(2)如果有一个实数λ,使,那么与是共线向量;(3)如果与是共线向量,那么有且只有一个实数λ,使.【思考】(1)两个向量共线的充要条件中的“”是否可以去掉?(2)与非零向量共线的单位向量怎样表示?(3)如果条件是向量b是非零向量,应如何表示呢?【课前基础演练】题1.（多选）下列命题错误的是()A.实数与向量也可以加减,如. B.若,则(λ∈).C.向量的模是向量的模的2倍.D.若,则.题2.(多选题)下列各式计算正确的有 ()A.B.C.D.题3.把下列各小题中的向量表示为实数与向量的积:(1)可表示为________;(2)可表示为________.关键能力·合作学习类型一向量的线性运算(数学运算)【题组训练】题4.等于 ()A. B.C. D.题5.已知向量满足,则=________,=________.(用表示)题6.如图,已知向量与,求作向量.【解题策略】向量线性运算的方法(1)几何意义法依据向量加法、减法和数乘运算的几何意义,直接作图.(2)类比法向量的线性运算类似于整式的运算,例如:去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段同样适用,但是这里的“同类项”“公因式”是指向量,实数看作是向量的“系数”.(3)方程法向量也可以通过列方程来求解,把所求向量当作未知数,利用解方程的方法求解,同时在运算过程中多注意观察,恰当地运用运算律,简化运算.【补偿训练】题7.已知向量,且,则________.类型二用已知向量表示未知向量(逻辑推理、数学运算)【典例】题8.已知在▱ABCD中,M,N分别是DC,BC的中点.若，试用表示.四步内容理解题意条件:.结论:表示思路探求由及为△MAN的中线可求解.书写表达因为M,N分别是DC,BC的中点,所以.因为，所以.又因为AO是△AMN的中线,所以注意书写的规范性:①向量书写正确;②最终结果尽量按先后的顺序.题后反思用已知向量表示未知向量,是向量加减法与数乘运算的综合应用【解题策略】用已知向量表示相关向量(1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时,可以首先利用三角形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系,然后解关于所求向量的方程.【跟踪训练】题9.如图所示,四边形OADB是以向量为邻边的平行四边形.又，试用表示.【补偿训练】题10.设M,N,P是△ABC三边上的点,它们使，若，试用将表示出来.【拓展延伸】两个结论1.在△ABC中,若D是线段BC的中点,则.2.若O是△ABC重心,则.【拓展训练】题11.已知在△ABC中,点M满足若存在实数m使得成立,则m=________.类型三向量共线的应用(逻辑推理、数学运算)角度1判断向量共线或三点共线【典例】题12.已知非零向量不共线.(1)若,判断向量是否共线;(2)若，求证:A,B,D三点共线.【变式探究】题13.已知非零向量不共线.若“”,判断与是否共线?角度2运用向量共线求参数【典例】题14.若是两个不共线的非零向量,与起点相同,则当t为何值时,三向量的终点在同一条直线上.【解题策略】1.判断向量共线或三点共线的方法(1)判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一实数λ,使得.(2)一般来说,要判断A,B,C三点共线,只需看是否存在实数,使得(或等)即可.2.利用向量共线求参数的基本步骤(1)根据向量共线的充要条件建立共线向量之间的等量关系(通常要引入一个参数).(2)依据下述结论列方程组求参数.结论:如果,且与不共线,则实数λ和μ都是0.理由:若λ,μ是两个不同时为零的实数.不妨设λ≠0,则.由两个向量共线的充要条件知,与共线,与已知矛盾.所以实数λ和μ都是0.【题组训练】题15.设是两个不共线的向量,若向量,与向量共线,则λ的值为 () D.题16.设是两个不共线向量,.(1)证明:A,B,D三点共线;(2)若,且B,D,F三点共线,求k的值.【拓展延伸】关于A,B,C三点共线条件的变形式题17.平面上三点A,B,C共线的充要条件是:存在实数,使得,其中,O为平面内任意一点.【拓展训练】题18.已知A,B,P三点共线,O为直线外任意一点,若,求x+y的值.课堂检测·素养达标题19.已知,则()A. B. C. D.题20.如图,在平行四边形ABCD中,E为CD边的中点,且,则()A. B.C. D.题21.已知,则________,________,________.题22.下面向量共线的序号是__________.(其中不共线);;;.题23.已知点C在线段AB的延长线上,且(1)用表示;(2)用表示.编号：003课题:§向量的数乘目标要求1、理解并掌握向量数乘的运算律和向量共线定理．2、理解并掌握向量的线性运算．3、会用已知向量表示未知向量．4、理解并掌握向量共线的应用.学科素养目标向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．重点难点重点：用已知向量表示未知向量；难点：向量共线的应用．教学过程基础知识点1.向量的数乘运算(1)定义向量文字表述一般地,我们规定实数与向量的积是一个__向量___,这种运算叫作向量的数乘,记作____.规定长度方向当λ>0时,的方向与的方向__相同___;当λ<0时,的方向与的方向__相反___;当λ=0时,=__.方向λ>1把向量沿着向量的相同方向放大0<λ<1把向量沿着向量的相同方向缩小-1<λ<0把向量沿着向量的相反方向缩小λ<-1把向量沿着向量的相反方向放大(2)应用:①与向量的加减法综合运算;②用其几何意义研究向量共线问题.2.向量数乘的运算律设λ,μ为实数,则(1);(2);(3).特别地,我们有.3.向量的线性运算(1)定义:向量的__加法___、__减法___、__数乘___统称为向量的线性运算.(2)运算结果:向量线性运算的结果仍是__向量___.(3)运算律:对于任意向量,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有.4.向量共线定理(1)条件:为非零向量;(2)如果有一个实数λ,使,那么与是共线向量;(3)如果与是共线向量,那么有且只有一个实数λ,使.【思考】(1)两个向量共线的充要条件中的“”是否可以去掉?提示:不能,定理中之所以限定是由于若,λ存在,但不唯一,若,则λ不存在.(2)与非零向量共线的单位向量怎样表示?提示:由于单位向量的长度总等于1,所以与非零向量共线的单位向量应为.(3)如果条件是向量b是非零向量,应如何表示呢?提示:只需将改为.【课前基础演练】题1.（多选）下列命题错误的是()A.实数与向量也可以加减,如. B.若,则(λ∈).C.向量的模是向量的模的2倍.D.若,则.【答案】选ACD提示:A×.实数与向量不能进行加减运算,是没有意义的.B×.的一种情况是,另一种情况是λ=0.实际上,的充要条件是λ=0或.C√.由向量的数乘运算的几何意义可知.D×.当m=0时,与不一定是相等向量.题2.(多选题)下列各式计算正确的有 ()A.B.C.D.【解析】选ACD.进行线性运算,分别进行验算..题3.把下列各小题中的向量表示为实数与向量的积:(1)可表示为________;(2)可表示为________.【解析】(1)因为,所以,所以可表示为;(2)因为,所以，所以可表示为.答案:(1)(2)关键能力·合作学习类型一向量的线性运算(数学运算)【题组训练】题4.等于 ()A. B.C. D.【解析】选B.原式=.题5.已知向量满足,则=________,=________.(用表示)【解析】由已知得×3+②×2得,×4+②×3,得.所以,.答案:题6.如图,已知向量与,求作向量.【解析】作向量,则即为所求向量,如图:【解题策略】向量线性运算的方法(1)几何意义法依据向量加法、减法和数乘运算的几何意义,直接作图.(2)类比法向量的线性运算类似于整式的运算,例如:去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段同样适用,但是这里的“同类项”“公因式”是指向量,实数看作是向量的“系数”.(3)方程法向量也可以通过列方程来求解,把所求向量当作未知数,利用解方程的方法求解,同时在运算过程中多注意观察,恰当地运用运算律,简化运算.【补偿训练】题7.已知向量,且,则________.【解析】因为,所以,即.答案:类型二用已知向量表示未知向量(逻辑推理、数学运算)【典例】题8.已知在▱ABCD中,M,N分别是DC,BC的中点.若，试用表示.四步内容理解题意条件:.结论:表示思路探求由及为△MAN的中线可求解.书写表达因为M,N分别是DC,BC的中点,所以.因为，所以.又因为AO是△AMN的中线,所以注意书写的规范性:①向量书写正确;②最终结果尽量按先后的顺序.题后反思用已知向量表示未知向量,是向量加减法与数乘运算的综合应用【解题策略】用已知向量表示相关向量(1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时,可以首先利用三角形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系,然后解关于所求向量的方程.【跟踪训练】题9.已知四边形OADB是以向量为邻边的平行四边形.又，试用表示.【解析】，所以.因为，所以.所以.【补偿训练】题10.设M,N,P是△ABC三边上的点,它们使，若，试用将表示出来.【解析】因为，所以由此可得,因为，所以，同理可得.【拓展延伸】两个结论1.在△ABC中,若D是线段BC的中点,则.2.若O是△ABC重心,则.【拓展训练】题11.已知在△ABC中,点M满足若存在实数m使得成立,则m=________.【解析】因为，所以点M是△ABC的重心,所以所以m=3.答案:3类型三向量共线的应用(逻辑推理、数学运算)角度1判断向量共线或三点共线【典例】题12.已知非零向量不共线.(1)若,判断向量是否共线;(2)若，求证:A,B,D三点共线.【思路导引】(1)利用向量共线定理判定向量共线;(2)先判断与共线,进而证明A,B,D三点共线.【解析】(1)因为,所以向量共线.(2)因为,所以与共线,且有公共点B,所以A,B,D三点共线.【变式探究】题13.已知非零向量不共线.若“”,判断与是否共线?【解析】若与共线,则存在,使,即,所以.因为与不共线,所以，所以λ不存在,所以与不共线.角度2运用向量共线求参数【典例】题14.若是两个不共线的非零向量,与起点相同,则当t为何值时,三向量的终点在同一条直线上.【思路导引】根据已知的三个向量的终点在同一条直线上建立的关系,然后根据不共线列方程求t.【解析】设，所以.要使A,B,C三点共线,只需，所以.即.由不共线,必有.否则,不妨设，则由两个向量共线的充要条件知,与共线,与已知矛盾.由，解得所以当时,三向量终点在同一条直线上.【解题策略】1.判断向量共线或三点共线的方法(1)判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一实数λ,使得.(2)一般来说,要判断A,B,C三点共线,只需看是否存在实数,使得(或等)即可.2.利用向量共线求参数的基本步骤(1)根据向量共线的充要条件建立共线向量之间的等量关系(通常要引入一个参数).(2)依据下述结论列方程组求参数.结论:如果,且与不共线,则实数λ和μ都是0.理由:若λ,μ是两个不同时为零的实数.不妨设λ≠0,则.由两个向量共线的充要条件知,与共线,与已知矛盾.所以实数λ和μ都是0.【题组训练】题15.设是两个不共线的向量,若向量,与向量共线,则λ的值为 () D.【解析】选D.因为向量与共线,所以存在唯一实数u,使成立.即,所以,又因为与不共线.所以解得.题16.设是两个不共线向量,.(1)证明:A,B,D三