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吉林省榆树市第一高级中学2021届高三数学上学期期末备考卷B文老教材吉林省榆树市第一高级中学2021届高三数学上学期期末备考卷B文老教材PAGE16-吉林省榆树市第一高级中学2021届高三数学上学期期末备考卷B文老教材吉林省榆树市第一高级中学2021届高三数学上学期期末备考卷(B)文(老教材)注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合,,则()A. B. C. D.【答案】A【解析】,,故.2.若复数满足(为虚数单位),则()A. B. C. D.【答案】C【解析】由,可得,所以.3.在等差数列中,,,则()A. B. C. D.【答案】B【解析】设等差数列的公差为,由题设知,,所以,所以.4.已知,都是实数,那么“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】;,与没有包含关系,故为“既不充分也不必要条件”.5.设,是两条不同的直线,,是两个不同的平面,则下列命题为真命题的是()A.若,,则 B.若,,,则C.若,,则 D.若,,,则【答案】B【解析】A不正确,因为有可能;B正确;C不正确,因为有可能;D有可能.6.设,满足约束条件,则的最小值为()A. B. C. D.【答案】A【解析】由约束条件作出可行域如图,易得,化目标函数为,由图可知,当直线过时,直线在轴上的截距最大,有最小值为.7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就.书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”,若某“阳马”的三视图如图所示(网格纸上小正方形的边长为),则该“阳马”最长的棱长为()A. B. C. D.【答案】D【解析】由三视图知:几何体是四棱锥,且四棱锥的一条侧棱与底面垂直,如图:其中平面,∴,,,∴,,,该几何体最长棱的棱长为.8.在中,为重心,记,,则()A. B. C. D.【答案】A【解析】∵为的重心,∴,∴.9.已知函数在处取得极小值,则的最小值为()A. B. C. D.【答案】C【解析】由,得,则,所以,所以,当且仅当,即,时,等号成立.10.已知是定义域为的奇函数,满足,若,则()A. B. C. D.【答案】B【解析】是定义域为的奇函数,可得,,即有,即,进而得到,为周期为的函数,若,可得,,,则,可得.11.定义行列式运算,已知函数,满足:,,且的最小值为,则的值为()A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得,,因为的最小值为,所以,则由,得.12.函数的导函数,对,都有成立,若,则满足不等式的的范围是()A. B. C. D.【答案】C【解析】设,,∴在定义域上单调递增,不等式,即,∵,∴.即,∴.第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知点,,若,则_______.【答案】【解析】因为,所以,解得,故,.14.已知曲线,则曲线在处的切线与坐标轴围成的图形面积为_______.【答案】【解析】对求导,,,所以曲线在处的切线斜率为,切线方程为,切线与坐标轴的交点为和,所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为.15.两直线与平行,则它们之间的距离为_______.【答案】【解析】根据两直线平行得到斜率相等,解得,则直线为,取上一点求出点到直线的距离即为两平行线间的距离,所以.16.在四面体中,平面,,,点为的重心,若四面体的外接球的表面积为,则_______.【答案】【解析】设的中点为.∵点是的重心,∴.设的外心为,由题意得点在上,令,则有,即,解得.又平面,∴四面体的外接球的半径,由题意得,解得,∴.三、解答题:本大题共6大题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12分)已知是数列的前项和,,.(1)证明:当时,;(2)若等比数列的前两项分别为,,求的前项和.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】(1)证明:当时,∵,∴.(2)解:由(1)知,,∴的公比,且,∴.18.(12分)为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标,分别从两厂随机各选取了个轮胎,将每个轮胎的宽度(单位:)记录下来并绘制出如下的折线图:(1)分别计算甲、乙两厂提供的个轮胎宽度的平均值;(2)轮胎的宽度在内,则称这个轮胎是标准轮胎.(i)若从甲厂提供的个轮胎中随机选取个,求所选的轮胎是标准轮胎的概率;(ii)试比较甲、乙两厂分别提供的个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小,根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况,判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好?【答案】(1),;(2)(i);(ii)乙厂的轮胎相对更好,详见解析.【解析】(1)甲厂这批轮胎宽度的平均值为;乙厂这批轮胎宽度的平均值为.(2)甲厂这批轮胎宽度都在内的数据为,,,,,,(i).(ii)甲厂标准轮胎的平均数为,方差为.乙厂这批轮胎宽度都在内的数据为,,,,,,平均数为,方差为.由于两厂标准轮胎宽度的平均数相等,但乙的方差更小,所以乙厂的轮胎相对更好.19.(12分)如图,在底面为梯形的四棱锥中,已知,,,.(1)求证:;(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】(1)设为的中点,连接,,∵,∴,∵,∴,又,平面,且,平面,又平面,∴.(2)连接,在中,∵,,为的中点,∴为正三角形,且,,∵在中,,为的中点,∴,且,∵在中,,∴为直角三角形,且,∴,又,且,∴平面,∴.20.(12分)已知圆关于直线对称的圆为.(1)求圆的方程;(2)过点作直线与圆交于,两点,是坐标原点,是否存在这样的直线,使得?若存在,求出所有满足条件的直线的方程;若不存在,请说明理由.【答案】(1);(2)存在,直线和.【解析】(1)圆化为标准为,设圆的圆心关于直线的对称点为,则,且的中点在直线上,所以有,解得,所以圆的方程为.(2)①当直线的斜率不存在时,可得直线的方程为,与圆,交于两点,.因为,所以,所以当直线的斜率不存在时,直线满足条件;②当直线的斜率存在时,可设直线的方程为,设,,由,得.由于点在圆内部,所以恒成立,,,要使,必须使,即,也就是,整理得,解得,所以直线的方程为,存在直线和,使得.21.(12分)设函数.(1)求在处的切线;(2)当时,,求的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】(1),,,∴在处的切线方程.(2),.∵且仅有,,∴在单调递增,∴.(i)时,,在单调递增,满足题意;(ii)时,,,而连续且递增,所以存在唯一使,,,在上单调递减,取,则,不合题意;(iii)时,,,而连续且递增,,,在上单调递减,取,则,不合题意,综上所述,.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.(10分)【选修4—4:坐标系与参数方程】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),曲线的直角坐标方程为.以平面直角坐标系的原点为极点,轴非负半轴为极轴建立直角坐标系,射线的极坐标方程为.(1)求曲线,的极坐标方程;(2)设点,分别为射线与曲线,上除原点之外的交点,求的最大值.【答案】(1),;(2).【解析】(1)由曲线的参数方程(为参数),消去参数,得,即,∴曲线的极坐标方程为.由曲线的直角坐标方程,,∴曲线的极坐标方程.(2)联立,得,∴;联立,得,∴,∴.∵,∴当时,有最大

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