榆树市第一高级中学2021届高三数学上学期期末备考卷B理老教材

吉林省榆树市第一高级中学2021届高三数学上学期期末备考卷B理老教材吉林省榆树市第一高级中学2021届高三数学上学期期末备考卷B理老教材PAGEPAGE18吉林省榆树市第一高级中学2021届高三数学上学期期末备考卷B理老教材吉林省榆树市第一高级中学2021届高三数学上学期期末备考卷（B）理(老教材)注意事项:1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则(）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得，，则,故选A．2．设复数满足，在复平面内对应的点为在第一象限且满足,则（)A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴,又∵，解得，，∴．3．若，,，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，,，∴，故选B．4．每当临近春节时，某酒店便会到处挂满五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀个小灯,另一种是大灯下缀个小灯,已知大灯共个，小灯共个．若在该酒店的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀个小灯的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设一大三小和一大四小的灯球数分别为,则，解得，若随机取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀个小灯的概率为．5．函数的图象大致为()A． B．C． D．【答案】B【解析】∵时,，∴为偶函数，排除A，C,又∵时，，排除D．6．若非零向量，满足且，则与的夹角为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，则，得，设与的夹角为，则,则夹角为．7．关于函数有以下四个结论：①是奇函数；②直线是的一条对称轴；③的最大值为;④函数在区间单调递减．其中所有正确结论的编号是（）A．①② B．①③ C．③④ D．②④【答案】C【解析】分段函数讨论：①,故①错误；②，，,故不是的对称轴，故②错误;③当时，，故当时，恒成立．又由①可知为偶函数，∴的最大值为,故③正确；④当时，，函数递减，故④正确．8．关于函数，下列说法正确的是(）A．函数有个零点 B．函数有个零点C．是函数的一个零点 D．是函数的一个零点【答案】A【解析】令，得或，解得或,故答案选A．9．已知，则的值可能为（）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】A【解析】∵，故,当时，；当时，．故答案选A．10．已知正三棱锥中,,分别为，的中点，已知的面积为,与所成角的余弦值为,则球的体积为(）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图,三棱锥为正三棱锥，设，．过作于，连接，则且，,．在中,．∴在中,．∵的面积为,与的成角的余弦值为．∵，∴，解得．∴，，．设球的半径为，则有，解得．∴球的体积为．11．已知椭圆的长轴为，离心率为，则以为中点的弦所在的直线方程为（）A．或B．或C．或D．或【答案】D【解析】由已知可得椭圆的短轴为,故椭圆方程为或，设弦的两端点为，，当椭圆方程为时,则有,两式相减得，整理得，∴弦所在的直线的斜率为，其方程为，整理得；当椭圆方程为时，则有，两式相减得，整理得,∴弦所在的直线的斜率为，其方程为，整理得．根据选项可得答案为D．12．现电脑程序随机产生一个四位二进制数(例如）其中的各位数中出现的概率为，出现的概率为，记，则当程序运行一次时,下列说法错误的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于二进制数的特点知每一个数位上的数字只能填,，且每个数位上的数字再填时互不影响，故以后的位数中后位的所有结果有4类：①后个数位都为,，记其概率为；②后个数位只出现个,,记其概率为；③后位数位出现个，，记其概率为；④后个数位上出现个，记其概率为，故，故A正确，B正确，C正确,D错误，故选D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线在点处的切线斜率为，则．【答案】【解析】,根据导数的几何意义可知曲线在点处的切线斜率为，∴．14．二项式的展开式中的第项是．【答案】【解析】二项式的展开式中的第项是．15．甲、乙两队进行篮球比赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜,决赛结束),根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主主客客主”,设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为,且各场比赛结果相互独立，则甲队以获胜的概率是．【答案】【解析】欲使甲队获胜,则第六场甲胜，前五场甲获胜三场负两场，故所求概率为．16．设双曲线的左焦点为,直线过点且与双曲线在第一象限交点为，若，其中为坐标原点，则双曲线的离心率为．【答案】【解析】如图所示,∵直线过点，∴，半焦距,连接，过作交于，∵,∴是直角三角形，且，故且,，∴，∴，∴，∴,∴．三、解答题:本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在中，角，,的对边分别为,，，已知．（1）若，求角大小；(2）若,求．【答案】（1）或；（2)．【解析】∵，根据余弦定理可得,∴．（1）在中，，由正弦定理可得，∴，∴或，当时，;当时，,∴为或．(2）∵，∴，∵，∴，化简得，，∵，∴．又∵，∴,∴,∴．18．（12分）如图，在直三棱柱中，,，,,分别为，，的中点．（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明:如图，取、中点，，连接，及．∵，分别为和的中点，∴且，且,∴,，∴四边形为平行四边形,∴,又∵平面,平面，∴平面．(2）如下图，以为坐标原点，方向为轴正方向，为轴正方向，以垂直轴,轴方向为轴建立空间直角坐标系，∵且，设，则，,，，，则，,由图易知平面的法向量为，设平面的法向量为，所以，取，则．∴,∴二面角的正弦值为．19．（12分）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（）和严重急性呼吸综合征(）等较严重疾病．今年出现的新型冠状病毒(）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株．某小区为进一步做好新型冠状病毒感染的肺炎疫情知识的教育，在小区内开展《新型冠状病毒防疫安全公益课》在线学习，在此之后组织了《新型冠状病毒防疫安全知识竞赛》在线活动．已知进入决赛的分别是甲、乙、丙、丁四位业主，决赛后四位业主相应的名次为、、、，该小区为了提高业主们的参与度和重视度，邀请小区内的所有业主在比赛结束前对四位业主的名次进行预测，若预测正确会有礼品获得，现用表示某业主对甲、乙、丙、丁四位业主的名次做出一种等可能的预测排列，是该业主预测的名次与真实名次的偏离程度的一种描述．（1）求该业主获得礼品的概率；（2）求的分布列及数学期望．【答案】(1）；（2）分布列见解析，．【解析】（1)该业主预测的结果有种可能,预测正确的结果只有一种，所以该业主获奖的概率为．(2）以（)为一个基本事件，如下表所示:即所有可能的取值为．分布列如下表所示：所以．20．（12分）已知抛物线,点在轴的正半轴上,过点的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点．（1）当直线的斜率为,且以为直径的圆与相切，求该圆的半径；（2）是否存在定点，使得不论直线绕点如何移动，恒为定值．【答案】（1)2;（2）存在，定点为．【解析】设,，（1）设点,则直线的方程为,由，得，由韦达定理得，，,由弦长公式可得，线段的中点的纵坐标为,∴线段的中点到直线的距离为，则，解得，此时圆半径为．（2)设，直线的方程为，由,消去得，，得,,，,同理，，∵为定值，则，解得，∴存在定点，使得不论直线绕点如何移动，恒为定值．21．(12分）已知函数，当时，证明:(1）有唯一极值点；(2）有个零点．【答案】（1)证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）的定义域为，，当时，，单减；当时，，单增,∴有唯一极值点．（2）由(1）知在单减，在单增，∴在时取得极小值为，∵，∴，，∴，又∵,根据零点存在性定理,函数在上有且只有一个零点．∵,，∵,∴，，∴时,，根据零点存在性定理，函数在上有且只有一个零点，∴有个零点．请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位,曲线的极坐标方程为．（1）写出曲线的直角坐标方程与直线的极坐标方程;（2)若直线与曲线交于点（不同于原点)，与直线交于点,求的值．【答案】（1），；(2）．【解析】（1)∵，∴，∴曲线的直角坐标方程为