第2节二阶线性微分方程

二阶线性微分方程：----

(2)----

(1)若为常数n阶线性微分方程:自由项线性齐次方程:线性非齐次方程:二阶常系数线性微分方程：第2节二阶线性微分方程1.解的性质为齐次方程（2）的两个解,性质为非齐次方程（1）的两个证为齐次线性方程(2)的解，故有两式分别乘以后相加，得：一.二阶线性微分方程解的结构由定义知，为齐次方程(2)的解.为非齐次方程（1）的两个解，则两式相减即知2.函数的线性相关性：定义1对于定义在区间I上的n个函数若存在n个不全为零的数则称函数在I上线性相关，

否则称为线性无关.定义2定理1定理2定理3二阶线性齐次方程（2）必存在两个线性无关的解。是(2)的通解（为任意常数).证为二阶线性齐次方程（2）的两个线性无关的解,则定理4由性质知，为齐次方程(2)的解.两个独立的任意常数，线性无关保证了为为二阶线性齐次方程(2)的通解.从而定理5所对应的齐次方程(2)的通解，则为非齐次方程(1)的通解。设是二阶线性非齐次方程(1)的一个特解，证为非齐次方程(1)的解，又两式相加含有两个独立的任意常数.含有两个独立的任意常数，为(1)通解。从而例1已知二阶线性方程的三个特解求满足的特解。解为对应齐次方程的两个线性无关的解，的通解为特解为：故例2已知二阶线性方程，求该方程的通解。的一个特解为解定理6（叠加原理)二.二阶常系数线性微分方程的解法1.二阶常系数线性齐次微分方程通解的求法二阶常系数线性齐次方程代入的左边得：特征方程：有两个不等的实根有两个相等的实根有一对共轭复根，其根(特征根)有三种情况：对应于特征根的三种情况，的通解有以下三种情况：为的两个线性无关的解，的通解为：为二重特征根）于是线性无关的解。为的一个解，为的解，代入方程得的通解为为两个线性无关的解，故的复数形式的通解为还是的解，且线性无关的实数形式的通解为：性质例3求下列方程的通解：解特征方程：特征根：通解为：解特征方程：特征根：通解为：特征方程：特征根：通解为：解n阶常系数线性齐次方程:特征方程：二阶常系数线性齐次方程求通解的方法和结论可推广到n阶常系数线性齐次方程,求出特征根后就可相应地得到方程的解.例4求方程的通解.解

特征方程：特征根：通解为：2.二阶常系数线性非齐次方程特解的求法二阶常系数线性非齐次方程:为一待定的m次多项式)由观察知，的特解y*必为多项式，形式如下:为几种特殊形式时的特解的方法.方程化为以z为未知函数的方程：由（1）中结论知：时，上方程特解：上方程特解：上方程特解：由此得原方程的特解：不是特征根时，是单重特征根时，代入方程得通解为：解例5求下列方程的通解：是二重特征根时，代入方程得设解通解为：定理7根据叠加原理，原方程的特解为原方程的通解为解

例9设有一弹簧上端固定，下端挂一质量为m的重物,平衡位置为o点，若将重物拉下一段距离s。然后放开让其振动，设重物在运动过程中,os还受到与运动速度成正比的阻力。(2)若在振动过程中，还受到一个周期性外力的作用，求振动规律。(1)求重物的振动规律。解s(t)-----时刻t重物离开平衡位置的位移。(1)两个力的作用：

一是弹簧的恢复力-ks(虎克定律，k---弹性系数，负号表示力的方向与位移方向相反)。tso作衰减运动,最终趋于平衡位置.此解有两项,第一项以为角频率的简谐振动,第二项以或为振幅的强迫振动。时,随t的增大而增大;时很大，这就产生了所谓的共振现象。第一项是有阻尼的自由振动，随时间的增长而衰减，称为暂态量；第二项是外力引起的强迫振动，当阻尼很小，即n很小时，若，则第二

项的振幅(当时，振幅取最大值可以很大，而发生共振现象。如收音机的调频就是利用共振的原理