第1节利息计算等值计算

第一篇工程经济学基础

第一章资金的时间价值

与投资方案评价

利息与利率的概念利息就是资金时间价值的一种重要表现形式。（一）利息：债务人支付给债权人超过原借贷金额的部分就是利息。指占用资金所付的代价或者是放弃使用资金所得的补偿。

I=F-PI—利息；F—目前债务人应付总金额；即还本付息总额。P—原借贷款金额，常称为本金。

第一节利息计算一、利息的种类及计算1、单利计息指每期仅按本金（原金额）计算利息，而本金的利息不再计算利息的一种计息方式，其利息金额与借款时间成正比I=PniF=P+I=P+Pni=P(1+ni)

2、复利计息(利生利)指借款人在每期末不支付利息，而将利息转为下期的本金，下期再按本利和的总额计算，即不但本金产生利息，而利息部分也产生利息F=P(1+i)n

I=F-P=P(1+i)n-P=P[(1+i)n-1][例]借款1000元，合同规定借期3年，年利率为6%。分别用单利法计息与复利法计息计算，问3年后，本金、利息与本利和是多少？【解】:(1)单利法计息计算本金:P=1000元利息:I=Pni=1000×3×6%=180元本利和:F=P＋I=1000＋180=1180元(2)复利法计息计算利息:I=P(1+i)n-P=P[(1+i)n-1]=1000[(1+6%)3-1]=191.02元本利和:F=P＋I=1000＋191.02=1191.02元3、资金的时间价值静态评价与动态评价二、名义利率与实际利率一般名义利率r：年利率名义利率r，周期利率i’,每年的计息期m次名义利率r=周期利率i’×每年的计息周期数m即:r=i’×m或i’=r/mF=P(1+r/m)nm

名义利率：r是指计息周期利率i乘以一年内的计息周期数m所得的年利率。

若计息周期月利率为１％，则年名义利率为１２％有效利率：是指资金在计息中所发生的实际利率，包括计息周期有效利率和年有效利率两种情况r=i×m1.计息周期有效利率，即计息周期利率i2.年有效利率，即年实际利率．根据利率的定义可得年的实际利率，即有效利率ieff为有效利率和名义利率的关系实质上与复利和单利的关系一样[例]某厂拟向两个银行贷款以扩大生产，甲银行年利率为16%，计息每年一次。乙银行年利率为15%，但每月计息一次。试比较哪家银行贷款条件优惠？解：因为i乙>i甲，所以甲银行贷款条件优惠些。【例】借款1000元，合同规定借期6年，年利率为12%。试按：1）一年1次复利计息;2）一年2次复利计息;3）一年4次复利计息;4）一年12次复利计息;5）二年1次复利计息;6）三年1次复利计息;求六种情况下的本利和是多少？【解】(1)一年1次复利计息F=P(1+i)n=1000(1+12%)6=1973.82元(2)一年2次复利计息i’=r/m=12%/2=6%F=P(1+r/m)nm=1000(1+6%)12=2012.20元(多38.38元)(3)一年4次复利计息i’=r/m=12%/4=3%F=P(1+r/m)nm=1000(1+3%)24=2032.79元(多58.97元)(4)一年12次复利计息i’=r/m=12%/12=1%F=P(1+r/m)nm=1000(1+1%)72=2047.10元(多73.28元)(5)二年1次复利计息i’=r/m=12%/(1/2)=24%F=P(1+r/m)nm=1000(1+24%)3=1906.62元(少67.20元)(6)三年1次复利计息i’=r/m=12%/(1/3)=36%F=P(1+r/m)nm=1000(1+36%)2=1849.60元(少124.22元)

四.现金流量图（cashflowdiagram)描述现金流量作为时间函数的图形，它能表示资金在不同时间点流入与流出的情况。是资金时间价值计算中常用的工具。

现金流量图的三大要素：大小、流向、时间点

作图方法和规则：1）以横轴为时间轴，轴上每一刻度表示一个时间单位：年月，零为起点。向右延伸表示时间的延续，2）垂直箭线代表不同时点的现金流量情况，横轴上方的箭线表现金流入，即收益，下方的箭线表现金流出，即费用3）在各箭线上方（或下方）注明现金流量的数值。4）箭线与时间轴的交点即为现金流量发生的时间单位（年、季、月）

必须把握好现金流量的三要素，即：现金流量的大小流量（现金数额）、方向（现金流入或流出）和作用点（现金发生的时间点）第二节等值计算一等值的含义作用效果相同—等值工程经济分析中，等值三个因素：金额的大小、金额发生的时间、利率大小注：货币等值是考虑了资金的时间的等值其含义是由于利息的存在，因而使不同时点上的不同金额的货币可以具有相同的经济价值

二、等值计算公式等值计算——可以把一个时点发生的资金额折算成另一个时点的等值金额，（1）常用符号P—现值F—终值A—连续出现在各计息期末的等额支付金额；i—每个计息周期的利率；n—计息周期数。1.一次支付nn-13210F=？Pnn-13210FP=?等值公式nn-13210F=？P

F=P(1+i)n=P（F/P，i，n）（F/P，i，n）=(1+i)n_____一次支付终值系数一次支付终值公式【例】在第一年年初，以年利率6%投资1000元，则到第四年年末可得之本利和？

F=P(1+i)n

=1000(1+6%)4

=1262.50元[例]某投资者购买了1000元的债券，限期3年，

年利率10%，到期一次还本付息，按照复利计算法，

则3年后该投资者可获得的利息是多少？I=P[(1+i)n－1]=1000[(1+10%)3－1]=331元解：0123年F=?i=10%1000P=F(1+i)-n=F（P/F，i，n）（P/F，i，n）=(1+i)-n—

一次支付现值系数nn-13210FP=?一次支付现值公式【例】某公司计划两年以后购买一台100万元的机械设备，拟从银行存款中提取，银行存款年利率2.25%,问现应存入银行的资金为多少？解：已知F=100万元，n=2年，i=2.25%P=F(1+i)-n

=100×(1+2.25%)-5

=95.648(万元)2.等额系列终值公式和积累基金公式

等额支付系列现金流量图

（1）等额系列终值公式——记为（F/A，i,n）

A1累计本利和（终值）等额支付值年末……23AAnAA…A+A(1+i)A+A(1+i)+A(1+i)2A[1+(1+i)+(1+i)2+…+(1+i)n-1]=F

0123n–1n

F=？

…A(已知）F=A+A(1+i)+A(1+i)2+…+A(1+i)n-1(1)

以(1+i)乘(1)式,得

F(1+i)=A(1+i)+A(1+i)2+…+A(1+i)n-1

+A(1+i)n(2)

(2)-(1)，得F(1+i)–F=A(1+i)n–A【例】连续5年每年年末借款1000元，按年利率6%计算，第5年年末积累的借款为多少？【例】如果从1月份开始，每月月末存入银行200元，月利率1.43‰，问年底累积的储蓄额（复本利和）为多少？解：已知A=200元，i=1.43‰，n=12

=200×12.0948=2419.96(元)

（2）等额支付系列积累基金公式记为-（A/F，i,n）[例]某公司在第五年末应偿还一笔50万元的债务，按年利率2.79%计算,该公司从现在起连续5年每年末应向银行存入资金为多少，才能是其复本利和正好偿清这笔债务？解：已知F=50万元，n=5年，i=2.79%3.等额系列资金恢复公式和现值公式

（1）等额系列资金恢复公式根据F=P(1+i)n=P(F/P,i,n)F=A[(1+i)n－1i]P(1+i)n=A[(1+i)n－1i]【例】如果以年利率10%投资某项目100万元，拟在今后5年中把复本利和在每年年末按相等的数额提取，每年可回收的资金为多少？解：已知F=100万元，n=5年，i=10%

=26.38（万元）（2）等额支付系列现值公式—记为（P/A，i,n）【例】某公司拟投资建设一工业项目，希望建成后在6年内收回全部贷款的复本利和，预计项目每年能获利100万元，银行贷款的年利率为5.76%，问该项目的总投资应控制在多少范围以内？解：已知A=100万元，n=6年，i=5.76%

=495.46（万元）等值计算公式表:4.等值公式使用注意事项：1）计息期数为时点或时标，本期末即等于下期初。2）P是在第一计息期开始时（0期）发生。3）F发生在考察期期末，即n期末。4）各期的等额支付A，发生在各期期末。5）当问题包括P与A时，系列的第一个A与P隔一期。6）当问题包括A与F时，系列的最后一个A是与F同时发生。不能把A定在每期期初。注意：实施方案建设投资假定发生在每个计息期（年）初，经常性支出假定发生在每个计息期（年）末【例】写出下图的复利现值和复利终值，若年利率为i。0123n-1nA0123n-1nA’=A（1+i）解：三、计息期与支付期相同的计算相同有效利率名义利率直接计算1.计息期为一年的等值计算

从利息表上查到，当n=9，1.750落在6%和7%间例：当利率为多大时，现在的300元等值于第9年年末的525元？6%的表上查到1.6897%的表上查到1.839从用直线内插法可得解：F=P(F/P,i,n)525=300(F/P,i,9)(F/P,i,9)=525/300=1.750或：F=P(1+i)n=300(1+i)9=500i=6.41%(一次支付终值公式）例：当利率为8%时，从现在起连续6年的年末等额支付为多少时与第6年年末的10000等值？

A=F（A/F,8%,6）=10000(0.1363)=1363元/年解：(等额支付终值系列公式)100000123456年i=8%0123456年A=？i=8%

(等额支付系列终值公式）

F=A[((1+i)n-1)/i]10000=A[((1+8%)6-1)/8%]A=1363元/年例：当利率为10%时，从现在起连续5年的年末等额支付为600元，问与其等值的第0年的现值为多大？

解：（等额支付系列现值公式）P=A(P/A,10%,5)=2774.50元

P=A[((1+i)n-1)]/[i(1+i)n]=600[((1+10%)5-1)]/[i(1+10%)5]=2274.50元计算表明:当利率为10%时，从现在起连续5年的600元年末等额支付与第0年的现值2274.50元是等值的。2.计息期短于一年的等值计算如计息期短于一年，仍可利用以上的利息公式进行计算，这种计算通常可以出现下列三种情况：[例]年利率12%，每半年计息一次，从现在起连续3年，每半年为100元的等额支付，问与其等值的第0年的现值为多大？

解：每计息期的利率（等额支付系列现值公式）

i=12%/2=6%（每半年一期）n=(3年)×(每年2期)=6期P=A（P/A，6%，6）=100×4.9173=491.73元【例】求等值状况下的利率，假如有人目前借入2000元，在今后两年中分24次等额偿还，每次偿还99.80元，复利按月计算。试求月有效利率、名义利率和年有效利率。

解：名义利率r=(每月1.5%）×（12个月）=18%年有效利率：直接代入等额支付系列恢复公式四、计息期与支付期不相同的计算计息期与支付期不同的等值计算，通常的办法是将其转化、使计息期与支付期相同后再利用等值公式计算1.计息期短于支付期

【例】按年利率为12%，每季度计息一次计算利息，从现在起连续3年的等额年末支付借款为1000元，问与其等值的第3年年末的借款金额为多大？

解：其现金流量如下图

0123456789101112季度F=？100010001000

第一种方法：取一个循环周期，使这个周期的年末支付转变成等值的计息期末的等额支付系列，其现金流量见下图：012342392392392390123410001000将年度支付转化为计息期末支付（单位：元）

A=F（A/F，3%，4）=F[i/((1+i)n-1)]=1000×0.2390=239元（A/F，3%，4）

239F=？季度0123456789101112经转变后计息期与支付期重合（单位：元）F=A（F/A，3%，12）

=A[((1+i)n-1)/i]=239×14.192=3392元

第二种方法：把等额支付的每一个支付看作为一次支付，求出每个支付的将来值，然后把将来值加起来，这个和就是等额支付的实际结果。F=1000(F/P，3%，8)+1000(F/P，3%，4)+1000