利用导数研究函数的最值同步训练A【新教材】2022年人教A版高中数学选择性必修（含解析）

利用导数研究函数的最值专项训练A一．选择题（共8小题）1．函数在区间，上的最大值是，最小值是，若，则A．等于0 B．大于0 C．小于0 D．以上都有可能2．已知点在函数图象上，且，，则的最大值为A．0 B． C．1 D．23．函数恒成立的一个必要不充分条件是A． B．， C．， D．，4．函数在区间，上的最大值为A． B．0 C． D．5．函数在，上的最大值为2，则的值为A． B．2 C．5 D．6．已知函数，下列结论不正确的是A．在上单调递增，在上单调递减 B．的图象在点处的切线方程为 C．（2）（3） D．在上有最大值7．函数的最小值为A． B． C． D．8．如果关于的不等式在，上恒成立，则实数的取值范围为A． B． C． D．二．多选题（共4小题）9．已知函数，，则A．函数在上无极值点 B．函数在上存在唯一极值点 C．若对任意，不等式恒成立，则实数的最大值为 D．若，则的最大值为10．已知函数在区间上存在最小值，则整数可以取A． B． C．0 D．111．已知为函数的导函数，，且，若，求使得恒成立的值可能为A． B． C．0 D．12．若函数在上有最大值，则的取值可能为A． B． C． D．三．填空题（共4小题）13．设函数满足，且．若不等式恒成立，则的取值范围是．14．若对于恒成立，当时，的最小值为；当时，的最小值是．15．已知函数，，若对，，且，使得，，则实数的取值范围是．16．不等式在上恒成立，则实数的取值范围为．四．解答题（共6小题）17．已知函数．（Ⅰ）若恒成立，求实数的值；（Ⅱ）若关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围．18．已知函数有两个零点．（1）求实数的取值范围；（2）记的两个零点分别为，，求证：为自然对数的底数）．19．已知且，．（1）当时，求的单调区间；（2）设，存在、，使成立．求实数的取值范围．20．已知函数，其中为自然对数的底数．（1）求的单调区间；（2）若对恒成立，记，证明：．21．已知函数的图像经过点．（1）设，讨论在上的单调性；（2）若在，上的最大值为，求的取值范围．22．已知函数．（1）讨论函数在区间，上的最小值；（2）当时，求证：对任意，恒有成立．

利用导数研究函数的最值专项训练A参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．【解答】解：最大最小相等，是常数函数，．故选：．2．【解答】解：因为点在函数上，所以，即，所以，所以，（当且仅当，即时，取等号），所以的最大值为1，故选：．3．【解答】解：根据题意，函数，其定义域为，若恒成立，必有，设，其导数，在区间上，，则在上单调递增，在上，，则在上单调递减，故（e），若恒成立，必有，依次分析选项：对于，，，是恒成立的充分必要条件，不符合题意，对于，，，是恒成立的一个必要不充分，符合题意，对于，，，是恒成立的一个充分不必要，不符合题意，对于，，，是恒成立的既不充分也不必要条件，不符合题意，故选：．4．【解答】解：，恒成立，函数在，上单调递增，（1）．故选：．5．【解答】解：．令，解得：，令，解得：，故在，递减，在，递增，故的最大值是或（3），而（3），故，故选：．6．【解答】解：，在上，，单调递增，在上，，单调递减，故正确，（e），故正确，的图象在点处的切线方程为：（1），即，故正确，（2），（3），因为，所以（2）（3），故错误．故不正确的是，故选：．7．【解答】解：因为，设，则，且，设，则，在上单调递减，在上单调递增，所以，所以的最小值为．即的最小值为．故选：．8．【解答】解：当时，不等式显然成立，，当时，由原不等式可得，，令，且，则，令，解得或，令，解得，易得函数在，上单调递增，在上单调递减，，上单调递增，而，时，，，故，故选：．二．多选题（共4小题）9．【解答】解：对于，则，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，故，故在递增，故函数在上无极值点，故正确；对于，，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，故（1），故在递增，函数在上无极值点，故错误；对于：由得：在递增，不等式恒成立，则恒成立，故，设，则，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，故（e），故，故错误；对于：若，则，，，，当时，，设，设，则，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，故（e），此时，故的最大值是，故正确；故选：．10．【解答】解：由，得，故在，上是增函数，在上是减函数，作出其大致图象如图所示，令，得或，则结合图象可知，，解得：，，又，可以取，0，1．故选：．11．【解答】解：，可设，又，故，从而，，则的定义域是，则可化为，即，设，则，令，解得：，令，解得：，故在递增，在，递减，故当时，取得最大值，要使恒成立，则即可，故选：．12．【解答】解：令，得，，当时，；当或时，，则的单调递增区间为，，单调递减区间为，从而在处取得极大值为，由，得，解得或，又在上有最大值，所以，解得，结合选项可知，的取值可能为，，．故选：．三．填空题（共4小题）13．【解答】解：由题意得，，,,令,则,当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故,恒成立，在上恒成立，故．故答案为：．14．【解答】解：令，则，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，故（1），若对于恒成立，只需即可，①时，，故的最小值是1，②时，令，解得：，取最小值时，直线在轴的截距最大，令，解得：，故，即的最小值是，故答案为：1，．15．【解答】解：函数，，，，，对，的值域为，，，当时，，与题意不符，，令，得，则，，作出函数在上的大致图象，如图，观察图形得到：，解得．实数的取值范围是，．故答案为：，．16．【解答】解：由不等式在上恒成立，即在上恒成立．令，则，，故在上单调递减，（1），故在上单调递减，所以（1），所以，即实数的取值范围是，．故答案为：，．四．解答题（共6小题）17．【解答】解：，，又（1），故是的极大值点，所以（1），．另一方面，当时，，（1），在区间单调递减，故在单调递增，单调递减，所以，恒成立．解法一：由题意知，，，，当时，，在区间单调递减，又，故在区间有唯一实根，若，，当时，，在区间单调递减，故在区间至多有一个实根，不符合题意，若，令，是方程的两不同实根，故在区间，，上单调递减，在区间，上单调递增．，，，（1），，同理可证．取，．取，，．故在，，，，，各存在一个零点，实数的取值范围是．解法二：由题意知，，，，当时，，在区间单调递减，又，故在区间有唯一实根，因此当时，有三个实根，当，是方程的一个实根，若，，，所以．故的取值范围为．18．【解答】解：（1）函数的定义域为，，①当时，恒成立，在上单调递增，至多有一个零点，不符合题意，②当时，（a），且当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，从而的最小值为（a），若（a），即，此时至多有一个零点，不符合题意，若（a），即，因为在上单调递增，（a），（1），根据零点存在性定义得，在内有且仅有一个零点，又因为在上单调递减，且（a），考虑的正负，令，，则，所以在上单调递减，所以，即，因为，所以，（a），根据零点的存在性定理得，在有且仅有一个零点，所以，当时，恰有两个零点，符合题意，综上所述，的取值范围为．（2）证明：不妨设，由（1）可知，，，，在上单调递增，要证，需证，即证，则证，可证，由得，，所以只需证，①令，则，令，则，由，解得，，所以，在上单调递减，且，所以，，即，所以在，上单调递增，且，而，所以，即①式得证，所以．19．【解答】解：（1）由已知，因为，所以，由得：增区间，由得：减区间．（2）由已知：，设在，上的最大值为，最小值为，依题意：，因为，，所以，所以为增函数所以时，，递增；所以时，，递减．故，，（1），设（a）（1），（1），因为（a），所以（a）在上单调递增，所以时，（a），此时（1），所以时，（a），此时，当时，，设（a），所以（a），所以（a）在上递增，又（e）所以由得：（a）（e），当时，，，由得：（e），综上：的取值范围是，，．20．【解答】解：（1），易证当时，，则，即，所以，故在，上单调递增；（2）由题意得，，令，要证：，即证，，令，则，，所以在上单调递增，又，（1），故，使得，即，所以，有，单调递减，，，，单调递增，所以，，，，所以存在，使得，即，且满足，，单调递减；，，，单调递增；所以；令，则，故单调递减，又，所以，则只需证明，又，可先证明，又，，则，所以，而，所以，证毕！注：关于的证明下面再给出一种证法：由对数均值不等式（需要证明）得，即，又，所以，证毕！21．【解答】解：（1）因为（2），所以，，，当或时，，当时，，故①当时，在和上递增，在上递减；②当时，在上递减，在上递增；③当时，在上递增；（2）因为在，上的最大值为，所以由（1）可得：，解得：，故的取值范围为．22．【解答】（1）解：函数的定义域是，，①当时，，则，则函数在上单调递减，即函数在区间，上单调递减，故函数在区间，上的最小值为；②当时，令，得；令，得，故函数在上单调递减，在上单调递增，当，即时，函数在区间，上单调递增，故函数在区间，上的最小值为（1），当，即时，函数在区间，上单调递减，故函数在区间，上的最小值为