利用导数研究函数的最值同步训练B【新教材】2022年人教A版高中数学选择性必修（含解析）

利用导数研究函数的最值专项训练B一．选择题（共8小题）1．函数在区间，上的最大值是A． B． C．12 D．92．已知函数，，其中，若，，，，使得成立，则A． B． C． D．3．函数恒成立的一个充分不必要条件是A． B．， C．， D．，4．若函数，则当，时，的最大值为A． B． C． D．5．已知函数，若，时，在处取得最大值，则的取值范围为A． B． C． D．6．若函数，，表示的曲线过原点，且在处的切线的斜率为，有以下命题：（1）的解析式为：，，（2）的极值点有且仅有一个（3）的最大值与最小值之和等于零其中假命题个数为A．0个 B．1个 C．2个 D．3个7．函数，若与有相同值域，则实数的取值范围是A．， B． C． D．，8．已知函数，若对任意，使，则的最大值为A．0 B． C．1 D．二．多选题（共4小题）9．声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则A．在上是增函数 B．的最大值为 C．在，上有3个零点 D．在，上有3个极值点10．已知不等式对任意的恒成立，则满足条件的整数的可能值为A． B． C． D．11．设，，的最大值为，则A．当时， B．当时， C．当时， D．当时，12．若存在常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”．已知函数，，为自然对数的底数），则A．在内单调递减 B．和之间存在“隔离直线”，且的最小值为 C．和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是， D．和之间存在唯一的“隔离直线”，方程为三．填空题（共4小题）13．若函数在上有最大值，则实数的取值范围为．14．某同学向王老师请教一题：若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．王老师告诉该同学：“恒成立，当且仅当时取等号，且在有零点”．根据王老师的提示，可求得该问题中的取值范围是．15．已知，，对于，时都有恒成立，则的取值范围为．16．设函数，若存在唯一的整数使得，则实数的取值范围是．四．解答题（共6小题）17．设函数，为实数），（1）当，求函数的最小值；（2）在时，若方程有三个不同实数根，求实数的范围．18．已知函数是定义域上的奇函数，且．（1）求函数的解析式，判断函数在上的单调性并证明；（2）令，设，若对任意，，当，，时，都有，求实数的取值范围．19．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）对任意，恒成立，求实数的最大值．20．已知函数，其中．（Ⅰ）若曲线在点，（2）处的切线的斜率为1，求的值；（Ⅱ）讨论函数的单调性；（Ⅲ）若函数的导函数在区间上存在零点，证明：当时，．21．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若，求证：在上恒成立．22．已知函数在区间上有两个不同的零点，．（1）求实数的取值范围；（2）求证：．

参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．【解答】解：，当时，，递增；当时，，递减；时取得极大值，也即最大值，（4），故选：．2．【解答】解：由，得，令，所以，而，令，得，所以，，，，所以在上单调递减，在上单调递增，而，且（2）（3），所以在，上的值域为，又，令，得，所以，，，，所以在上单调递增，在上单调递减，而，且（2）（3），所以在，上的值域为，因为，，，所以的值域为的值域的子集，所以，故选：．3．【解答】解：函数的定义域为，依题意，在上恒成立，设，则，易知函数在上单调递增，在上单调递减，，，故使得函数恒成立的一个充分不必要条件是．故选：．4．【解答】解：，当时，，是增函数；当时，，是减函数，最大值为，故选：．5．【解答】，令，，在上单调递增，在上单调递减，的函数图象如图所示，，当时，，在上单调递增，不成立，当时，在，上单调递减，成立，当时有两个根，，当时，，当时，，当时，，在，，，上单调递增，在，上单调递减，显然不成立．综上，．故选：．6．【解答】解：函数的图象过原点，可得；又，且在处的切线斜率均为，则有，解得，．所以，．（1）可见，因此（1）正确；（2）令，得．因此（2）不正确；所以在，内递减，（3）的极大值为，极小值为，两端点处（2），所以的最大值为，最小值为，则，因此（3）正确．故选：．7．【解答】解：函数的定义域为，，令，则，设，则，所以在上单调递减，在，上单调递增，所以，所以，所以，所以在上为增函数，即（1），所以函数在上单调递增，当时，（1），所以函数的值域为，，所以要使与的值域相同，则必有的值域为，包含，，所以，解得，故选：．8．【解答】解：令，则，令，解得：，令，解得：，故在递增，故，即，，当时取“”，所以的最小值为0，所以，所以的最大值为0，故选：．二．多选题（共4小题）9．【解答】解：当，时，，由，得或（舍，或；由，得，，函数在上单调递增，在上单调递减，在，上有2个极值点，故错误．为函数的极大值点，为函数的极小值点，且，，故正确．由，得，或，当，时，，，，则在，上有3个零点，故正确．故选：．10．【解答】解：令，则，易得当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故当时，函数取得最小值（1），故，结合选项可知，符合．故选：．11．【解答】解：对于：当时，，，，，故在，递增，故，故正确；对于时，，，令，，，则，在，递减，而，故，在，递减，故，故正确；对于时，，则，令，，，则，故在，递减，而，在，递减，而，即，在，递减，故，故错误；对于时，，则，令，，，则，故在，递减，而，在，递减，而，即，在，递减，故，故错误；故选：．12．【解答】解：对于，，，所以，故在，内单调递增，故错误；对于，，设、的隔离直线为，则对恒成立，即对恒成立，所以△，所以，又对恒成立，即对恒成立，因为，所以且△，所以且，，解得，同理，所以的最小值是，的取值范围是，，故正确，错误；对于，函数和的图象有公共点，，若存在和的隔离直线，则该直线过点，，设隔离直线的斜率为，则其方程为，即，由，得对恒成立，则△，解得，此时隔离直线的方程为：．下面证明：，令，定义域为，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，取得极小值为，这也是最小值．所以在上恒成立，即．所以函数和存在唯一的隔离直线，即正确．故选：．三．填空题（共4小题）13．【解答】解：因为，所以，令，得，，所以当时，；当或时，，从而在处取得极大值（a），令，得，解得或，因为在上有最大值，所以，所以，即实数的取值范围为，．故答案为：，．14．【解答】解：，即，令，，函数在有零点，设为，则，则，则，，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，而（1），（4），故，故，，，故，故的取值范围是，，故答案为：，．15．【解答】解：由题意，要使对于，时都有恒成立，只需时恒成立，令，，则，易知，而，当时，，递增；当时，，递减．结合，时，，递增；时，递减．故．所以要使原式恒成立，只需．故答案为：．16．【解答】解：当时，，单调递增，存在无数个整数，使得，不符合题意；当时，由于，所以，，，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值也是最大值为，且时，，时，，所以作出函数和的大致图象，如图，过点的直线介于，之间时满足条件，直线过点时，的值为2，直线过点，（2）时，的值为，由图可知，的取值范围是，．故答案为：，．四．解答题（共6小题）17．【解答】解：（1）当时，,,所以当时，,单调递减，当时，,单调递增，所以．当时，有三个不同的实数根，则有三个不同的实数根，因为,所以是一个实数根，当时，,令,所以,令,得,当时，,单调递增，当时，,单调递增，当时，,单调递减，,,时，,所以或，故的取值范围为,,．18．【解答】解：（1）因为，且是奇函数，所以（1），所以，解得，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，证明：任取，，且，则，因为，，且，所以，，所以，所以，即，所以函数在上单调递减，任取，，且，则，因为，，且，所以，，所以，所以，即，所以函数在上单调递增．（2）由（1）可得，不妨令，则，即函数在，上为减函数，所以，，因为当，，，满足，故只需，即，对任意，成立，因为，所以函数在，上单调递增，时，有最小值，，由，得，故的取值范围为，．19．【解答】解：（1）当时，，，所以在上单调递增；当时，，，所以在上单调递增；，，所以在上单调递减；综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．（2）任意，，即恒成立，即恒成立；令，则任意，，因为存在正实数，满足：，且，所以，所以．下证：当时成立：即证：，因为，，所以：显然成立；所以实数的最大值为2．20．【解答】（Ⅰ）解：根据条件，则当时，（2），解得；（Ⅱ）解：函数的定义域是，，①时，，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，②时，令，解得：或，令，解得：，故在递增，在，递减，在递增，③时，，在递增，④时，令，解得：或，令，解得：，故在递增，在递减，在，递增；综上：时，在递减，在递增，时，在递增，在，递减，在递增，时，在递增，时，在递增，在递减，在，递增；（Ⅲ）证明：因为，又因为导函数在上存在零点，所以在上有解，则有，即，且当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，设，，则，则，所以在上单调递减，所以在上单调递减，则（2），所以，则根据不等式的传递性可得，当时，．21．【解答】解：（1）依题意，，，则△，若，则△，则，在上单调递增；若，令，则，时，，当时，，当时，，当时，，时，，，当，时，，当时，，综上：①时，在上单调递增；②时，在和上单调递增；在上单调递减；③时，在，上单调递减，在上单调递增．（2）证明：要证，即证：，即证：，即证：，