函数模型的应用随堂跟踪练习（含答案）

4.5.3函数模型的应用（同步练习）(50分钟80分)1．(5分)将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent.若5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，又过了m分钟后甲桶中的水只有eq\f(a,8)升，则m的值为()A．7 B．8C．9 D．102．(5分)某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)()A．2017年 B．2018年C．2019年 D．2020年3．(5分)随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3000元，若该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为()A．3000×1.06×7元 B．3000×1.067元C．3000×1.06×8元 D．3000×1.068元4.(5分)某公司的股票今天的指数是2，以后每天的指数都比前一天的指数增长0.2%，则100天内，这家公司的股票的指数随经过天数x变化的函数关系式为________．5.(5分)某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________.经过5小时，1个病毒能繁殖为______个．6．(5分)某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示.时间(天)1234利润(千元)23.988.0115.99现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的()A．y＝log2x B．y＝2xC．y＝x2 D．y＝2x7．(5分)在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()x1.953.003.945.106.12y0.971.591.982.352.61A．y＝2x B．y＝log2xC．y＝eq\f(1,2)(x2－1) D．y＝2.61x8．(5分)某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是()A．y＝100xB．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2xD．y＝100log2x＋1009．(5分)某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，这种细菌由1个繁殖成4096个需经过()A．12小时 B．4小时C．3小时 D．2小时10．(5分)今有一组实验数据如下表所示：t1.993.04.05.16.12u1.54.047.51218.01则能体现这些数据关系的函数模型是()A．u＝log2tB．u＝2t－2C．u＝eq\f(t2－1,2)D．u＝2t－211．(5分)(多选)某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用y1(千元)、乙厂的总费用y2(千元)与印制证书数量x(千个)的函数关系图分别如图中甲、乙所示，则()A．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元B．甲厂的总费用y1与证书数量x之间的函数关系式为y1＝0.5x＋1C．当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.5元D．当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式为y2＝eq\f(1,4)x＋eq\f(5,2)12.(5分)“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t＝－144lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(N,90)))中，t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N表示每分钟打出的字数．则当N＝40时，t＝________.(已知lg3≈0.477，lg5≈0.699)13.(5分)里氏震级M的计算公式：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．14.(15分)某公司为了实现2019年销售利润1000万元的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：从销售利润达到10万元开始，按销售利润进行奖励，且奖金数额y(万元)随销售利润x(万元)的增加而增加，但奖金数额不超过5万元．现有三个奖励模型：y＝0.025x，y＝1.003x，y＝eq\f(1,2)lnx＋1，其中是否有模型能完全符合公司的要求？请说明理由．(参考数据：1.003538≈5，e≈2.71828…，e8≈2981)（解析版）(50分钟80分)1．(5分)将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent.若5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，又过了m分钟后甲桶中的水只有eq\f(a,8)升，则m的值为()A．7 B．8C．9 D．10D解析：令eq\f(1,8)a＝aent，即eq\f(1,8)＝ent.由已知得eq\f(1,2)＝e5n，故eq\f(1,8)＝e15n，比较知t＝15，m＝15－5＝10.2．(5分)某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)()A．2017年 B．2018年C．2019年 D．2020年D解析：设从2016年起，过了n(n∈N*)年该民企全年投入的研发资金超过200万元，则130×(1＋12%)n≥200，则n≥eq\f(lg\f(20,13),lg1.12)≈eq\f(0.30－0.11,0.05)＝3.8，由题意取n＝4，则n＋2016＝2020.故选D.3．(5分)随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3000元，若该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为()A．3000×1.06×7元 B．3000×1.067元C．3000×1.06×8元 D．3000×1.068元B解析：设经过x年，该地区的农民人均年收入为y元，依题意有y＝3000×1.06x，因为2014年年底到2021年年底经过了7年，故x＝7，代入得y＝3000×1.067.故选B.4.(5分)某公司的股票今天的指数是2，以后每天的指数都比前一天的指数增长0.2%，则100天内，这家公司的股票的指数随经过天数x变化的函数关系式为________．y＝2×1.002x(x∈N*且x≤100)解析：设这家公司的股票的指数随经过天数x增加到y天，由题意得y＝2(1＋0.2%)x(x∈N*且x≤100)．5.(5分)某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________.经过5小时，1个病毒能繁殖为______个．2ln21024解析：当t＝0.5时，y＝2，所以2＝eeq\f(1,2)k，所以k＝2ln2，所以y＝e2tln2，当t＝5时，y＝e10ln2＝210＝1024.6．(5分)某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示.时间(天)1234利润(千元)23.988.0115.99现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的()A．y＝log2x B．y＝2xC．y＝x2 D．y＝2xB解析：逐个检验可得答案为B.7．(5分)在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()x1.953.003.945.106.12y0.971.591.982.352.61A．y＝2x B．y＝log2xC．y＝eq\f(1,2)(x2－1) D．y＝2.61xB解析：通过检验可知，y＝log2x较为接近．8．(5分)某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是()A．y＝100xB．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2xD．y＝100log2x＋100C解析：根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型．9．(5分)某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，这种细菌由1个繁殖成4096个需经过()A．12小时 B．4小时C．3小时 D．2小时C解析：设这种细菌共分裂了x次，则有2x＝4096，所以2x＝212，所以x＝12.又因为每15分钟分裂一次，所以共15×12＝180分钟，即3小时．10．(5分)今有一组实验数据如下表所示：t1.993.04.05.16.12u1.54.047.51218.01则能体现这些数据关系的函数模型是()A．u＝log2tB．u＝2t－2C．u＝eq\f(t2－1,2)D．u＝2t－2C解析：可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它．散点图如图所示．由散点图可知，图象不是直线，排除选项D；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A；当t＝3时，2t－2＝23－2＝6，排除B，故选C.11．(5分)(多选)某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用y1(千元)、乙厂的总费用y2(千元)与印制证书数量x(千个)的函数关系图分别如图中甲、乙所示，则()A．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元B．甲厂的总费用y1与证书数量x之间的函数关系式为y1＝0.5x＋1C．当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.5元D．当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式为y2＝eq\f(1,4)x＋eq\f(5,2)ABCD解析：由题图知甲厂制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元，故A正确；甲厂的费用y1与证书数量x满足的函数关系式为y1＝0.5x＋1，故B正确；当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为3÷2＝1.5元，故C正确；易知当x＞2时，y2与x之间的函数关系式为y2＝eq\f(1,4)x＋eq\f(5,2)，故D正确．12.(5分)“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t＝－144lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(N,90)))中，t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N表示每分钟打出的字数．则当N＝40时，t＝________.(已知lg3≈0.477，lg5≈0.699)36.72解析：当N＝40时，则t＝－144lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(40,90)))＝－144lgeq\f(5,9)＝－144(lg5－2lg3)＝36.72.13.(5分)里氏震级M的计算公式：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．610000解析：由M＝lgA－lgA0知，M＝lg1000－lg0.001＝3－(－3)＝6，所以此次地震的震级为6级．设9级地震的最大振幅为A1,5级地震的最大振幅为A2，则lgeq\f(A1,A2)＝lgA1－lgA2＝(lgA1－lgA0)－(lgA2－lgA0)＝9－5＝4.所以eq\f(A1,A2)＝104＝10000，所以9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10000倍．14.(15分)某公司为了实现2019年销售利润1000万元的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：从销售利润达到10万元开始，按销售利润进行奖励，且奖金数额y(万元)随销售利润x(万元)的增加而增加，但奖金数额不超过5万元．现有三个奖励模型：y＝0.025x，y＝1.003x，y＝eq\f(1,2)lnx＋1，其中是否有模型能