第三章力学量算符

（一）算符定义（二）算符的一般特性§1算符的运算规则

第三章力学量的算符赣南师范学院物理系由于微观粒子具有波粒二象性，微观粒子状态的描述方式与经典粒子不同，它需要用波函数来描写。量子力学中微观粒子力学量（如坐标、动量、角动量、能量等）的性质也不同与经典粒子的力学量。经典粒子在任何状态下它的力学量都有确定值，微观粒子由于波粒二象性，坐标和动量不能同时有确定值。这种差别的存在使得我们不得不用和经典力学不同的方式，即用算符的形式来表示粒子的力学量。代表对波函数进行某种运算或变换的符号

Ôu=v表示

Ô

把函数u

变成

v，Ô就是这种变换的算符。

1）du/dx=v，

d/dx

就是算符，其作用是对函数u微商，故称为微商算符。2）xu=v，

x也是算符。它对u作用是使u变成v。

由于算符只是一种运算符号，所以它单独存在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波函数做相应的运算才有意义，例如：

（一）算符定义（7）逆算符

（8）算符函数

（9）复共轭算符

（10）转置算符

（11）厄密共轭算符

（12）厄密算符

（1）线性算符

（2）算符相等

（3）算符之和

（4）算符之积

（5）对易关系

（6）对易括号

（二）算符的一般特性（1）线性算符

Ô(c1ψ1+c2ψ2)=c1Ôψ1+c2Ôψ2

其中c1,c2是任意复常数，ψ1,ψ2是任意两个波函数。

满足如下运算规律的算符Ô称为线性算符

例如：开方算符、取复共轭算符就不是线性算符。注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。（2）算符相等

若两个算符Ô、Û对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即Ôψ=

Ûψ，则算符Ô和算符Û相等记为Ô=Û。（3）算符之和若两个算符Ô、Û对体系的任何波函数ψ有：(Ô+Û)ψ=Ôψ+Ûψ=Êψ

则Ô+Û=Ê

称为算符之和。显然，算符求和满足交换率和结合率。例如：体系Hamilton算符注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。Ô－Û=Ô+（－Û）。很易证明线性算符之和仍为线性算符。（4）算符之积

若Ô(Ûψ)=(ÔÛ)ψ=Êψ

则ÔÛ=Ê，其中ψ是任意波函数。一般来说算符之积不满足交换律，即ÔÛ≠ÛÔ这是算符与通常数运算规则的唯一不同之处。（5）对易关系若ÔÛ≠ÛÔ，则称Ô与Û不对易。显然二者结果不相等，所以:

对易关系但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。量子力学中最基本的对易关系。写成通式:注意：当Ô与Û对易，Û与Ê对易，不能推知Ô与Ê对易与否。例如：若算符满足

ÔÛ=－ÛÔ，则称Ô和Û

反对易。（6）对易括号

为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了对易括号：

[Ô,Û]≡ÔÛ－ÛÔ这样一来，坐标和动量的对易关系可改写成如下形式：

不难证明对易括号满足如下对易关系：1)[Ô,Û]=－[Û,Ô]2)[Ô,Û+Ê]=[Ô,Û]+[Ô,Ê]3)[Ô,ÛÊ]=[Ô,Û]Ê+Û[Ô,Ê]4)[Ô,[Û,Ê]]+[Û,[Ê,Ô]]+[Ê,[Ô,Û]]=0

同样可以定义反对易括号：

[Ô,Û]＋＝ÔÛ＋ÛÔ

（7）逆算符

1.定义:设Ôψ=φ,能够唯一的解出ψ,则可定义算符Ô之逆Ô-1

为:Ô-1φ=ψ并不是所有算符都存在逆算符,例如投影算符就不存在逆.

2.性质I:若算符Ô之逆Ô-1存在,则

ÔÔ-1=Ô-1Ô=I,[Ô,Ô-1]=0证:ψ=Ô-1φ=Ô-1(Ôψ)=Ô-1Ôψ因为ψ是任意函数,所以Ô-1Ô=I成立.同理,ÔÔ-1=I亦成立.3.性质II:若Ô,Û均存在逆算符,则(ÔÛ)-1=Û-1Ô-1

课堂练习：证明性质II:若Ô,Û均存在逆算符,则(ÔÛ)-1=Û-1Ô-1

ÔÔ-1=Û

Û-1

=I

I＝ÔÛ

Û-1Ô-1I＝（ÔÛ

）Û-1Ô-1(ÔÛ)-1=Û-1Ô-1证明：例如:设给定一函数F(x),其各阶导数均存在,其幂级数展开收敛

则可定义算符Û的函数F(Û)为:

（8）算符函数（9）复共轭算符算符Û的复共轭算符Û*就是把Û表达式中的所有量换成复共轭.例如:坐标表象中

（10）转置算符利用波函数标准条件:当|x|→∞时ψ,→0。由于ψ、φ是任意波函数,所以同理可证:(11)厄密共轭算符

由此可得：:转置算符的定义

厄密共轭算符亦可写成：

算符Ô之厄密共轭算符Ô+定义:可以证明:

(ÔÂ)+=Â+Ô+

(ÔÂÛ...)+=...Û+Â+Ô+

(12)厄密算符1.定义:满足下列关系的算符称为厄密算符.2.性质性质I:两个厄密算符之和仍是厄密算符。若Ô+=Ô,Û+=Û则(Ô+Û)+=Ô++Û+=(Ô+Û)性