第6章定积分的应用

第六章

定积分的应用1第一节定积分的元素法abxyo分析面积元素回顾曲边梯形求面积的问题2设U是可用定积分表达的量，则计算量U的步骤为：定积分的元素法选择函数f(x),并确定自变量x的变化区间[a,b];在[a,b]内考虑典型小区间[x,x+dx],求出相应于这个小区间的部分量ΔU的近似值f(x)dx,记为计算应用方向：

平面图形的面积、立体的体积、平面曲线的弧长；功、水压力、引力和平均值等．3第二节定积分在几何学上的应用一、平面图形的面积1.直角坐标情形面积元素:(1)由连续曲线y=f(x),直线x=a,x=b(a<b)及x轴所围成的平面图形的面积yo面积4若f(x)有正有负,则曲边梯形面积为xyoab5

(2)由连续曲线y=f(x),y=g(x),直线x=a,x=b(a<b)所围成的平面图形的面积cxyoab面积元素:6特别，时,xyoab面积元素:7dcxyo围成的平面图形的面积为

xyodc8及y轴围成的平面图形的面积为

dcxyodcxyo9解先求两曲线的交点面积元素选x为积分变量,例1

10例2

围成的平面图形的面积.

xoy解

由对称性,交点11解两曲线的交点例3

12此题选y为积分变量比较好,选择积分变量的原则：

(1)积分容易；(2)尽量少分块.

13有时需要把边界函数参数化.14解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于第一象限部分面积的4倍,例4

15解例5

345页

16面积元素曲边扇形的面积2.极坐标情形扇形面积公式

17解例6

解例7

18解例8

19

旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台二、体积1.旋转体的体积20abox

y体积元素:旋转体的体积为21直线OP的方程为解例1

22例2

x

yOab解

23例3

解

xy利用圆面积2425例4

解

下面再补充介绍一个方法.26上例:套筒法27解例5

绕

x

轴旋转的旋转体体积28绕

y

轴旋转的旋转体体积:可看作平面图OABC与OBC分别绕

y

轴旋转构成旋转体的体积之差.29绕

y

轴旋转的旋转体体积:可看作平面图OABC与OBC分别绕

y

轴旋转构成旋转体的体积之差.或用“套筒法”:302.平行截面面积为已知的立体的体积xxx+dxA(x)ab31解建立坐标系如图,截面面积所以立体体积例6

垂直于

x

轴的截面为直角三角形,

32三、平面曲线弧长并依次连接相邻分点得一内接折线，

则称此极限为曲线弧AB的弧长.此时称弧为可求长的.33定理(弧长公式)

证在第三章“导数的应用”中弧微分一节知,

即得证.

推论1

34推论2

证35解例1

36例2

解

例3

解

37例4

解

的弧长.

38练习：P279习题6-21.2.(1)(3)3.5.(1)(2)6.7.8.(1)12.13.14.15.(1)(3)18.20.22.26.28.30.39将弹簧一端固定,另一端从平衡位置拉长s,问克服弹性需做多少功？

第三节定积分在物理学上的应用如果是变力,

例1

解

势能一、变力沿直线所作的功40例2

两物体之间的万有引力为

地球对地表外物体的引力为

当物体在地球表面时,

把物体从A点提升到B点,需克服引力做功

41如果要求物体飞离地球引力范围,取发射时物体的动能为

—称为第二宇宙速度.

42

一圆柱形蓄水池高为5米,底半径为3米,池内盛满了水.问要把池内的水全部吸出,需作多少功？

建立坐标系如图,解例3

功元素注：若水不装满,如何求？

43二、水压力例4

解在端面建立坐标系如图,压力元素端面上所受的压力为

44水库的闸门是等腰梯形,上底6米,下底4米,高10米,水面与上底齐平,求闸门所承受的压力.

例5

解6m4mx01mx建立坐标系如图,细长条长度压力元素45三、引力设有一长度为l、线密度为ρ的均匀细直棒,在其中垂直线上距棒a处有一质量为m的质点M.求该棒对质点的引力.

例6

解建立坐标系如图,46水平方向的分力元素由对称性知，引力在铅直方向分力为47练习：P287习题6-33.5.第n次呢?6.8.9.11.12.48习题课49例1

解体积元素为y=f(x)y=g(x)abxx+dxy=mxyo所以所求旋转体体积为50例2

解所围成的图形的面积.关于y积分较方便，51作草图如下,化为极坐标计算,例3

解52例4

解53导数左负右正，故为极小值点，又由唯一性知是最小值点，54例5

解法1旋转体的体积为用直角坐标，55例6

解法2参数化，56体积元素为例7

解57例8

解(Ⅱ91六9)

用“套筒法”：

本题：58解例9

59求心脏线r

=

a

(1+cos)

的全长.心脏线全长对应例10

解60

用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第n次锤击时又将铁钉击入多少？解设木板对铁钉的阻力为第一次锤击时所作的功为P2875.设n次击入的总深度为h厘米,所作的总功为例1161所以第n次击入的深度为依题意知，每次锤击所作的功相等,62例12

解建立坐标系如图，功元素为