函数的表示法同步练习（含答案）

函数的表示法课时1函数的表示法1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)任何一个函数都可以用图象法表示．(×)(2)函数都可以用列表法表示．(×)(3)函数的图象是连续的一条曲线．(×)(4)若f(x＋1)＝x－1，则f(2)＝0.(√)题型1用表格表示函数2．给出函数f(x)，g(x)如表，则f(g(2))＝(D)x1234f(x)4321x1234g(x)1133 B．2C．3 D．43.已知函数f(x)与g(x)的部分对应值如表所示，则方程f(g(x))＝x＋1的解集是(A)x123g(x)132f(x)231A.{1} B．{1,2}C．{2} D．{1,2,3}解析：因为f(1)＝2，f(2)＝3，f(3)＝1，f(g(1))＝2，f(g(2))＝1，f(g(3))＝3，所以只有f(g(1))＝2满足f(g(x))＝x＋1，故方程f(g(x))＝x＋1的解集是{1}．4．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：x123f(x)211g(x)321则g(1)＝__3__；当g(f(x))＝2时，x＝__1__.解析：由表中的对应关系，可得g(1)＝3.由表可知，g(2)＝2，所以f(x)＝2，又由f(1)＝2，所以x的值为1.题型2函数的图象及应用5．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则f(g(2))的值为(B)x123f(x)230A．3 B．2C．1 D．0解析：由函数g(x)的图象知，g(2)＝1，则f(g(2))＝f(1)＝2.6．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是(C)解析：距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降得快，故应选C.7．如图1是某公共汽车线路收支差额y(元)与乘客量x(人)的图象．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的方案，根据图1上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义，用文字说明图2方案是__降低成本，票价不变__，图3方案是__增加票价__．解析：由图1可知，点A表示无人乘车时收支差额为－20元，点B表示有10人乘车时收支差额为零，线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示盈利．对于图2而言，与图1相比，两个一次函数的一次项系数没变，但无人乘车时收支差额变为－10元，差距在减少，则图2的方案是降低成本，票价不变；对于图3而言，与图1相比，图3对应的一次函数一次项系数增大了，但无人乘车时收支差额仍是－20元，则图3的方案是增加票价．题型3求函数的解析式8．购买某种饮料x听，所需钱数为y元．若每听2元，用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为(D)A．y＝2xB．y＝2x(x∈R)C．y＝2x(x∈{1,2,3，…})D．y＝2x(x∈{1,2,3,4})解析：题中已给出自变量的取值范围，x∈{1,2,3,4}，故选D.9．已知f(2x＋1)＝x2－2x，则f(3)＝__－1__.解析：由2x＋1＝3，得x＝1，所以f(3)＝1－2＝－1.易错点1换元时忽略新元的取值范围致错10.已知函数f(eq\r(x)＋2)＝3x＋eq\f(1,x)＋2，则f(x)＝3(x－2)2＋eq\f(1,x－22)＋2，x∈(2，＋∞).解析：令t＝eq\r(x)＋2，t>2，则x＝(t－2)2，所以f(t)＝3(t－2)2＋eq\f(1,t－22)＋2，所以f(x)＝3(x－2)2＋eq\f(1,x－22)＋2，x∈(2，＋∞)．[误区警示]利用换元法求解析式时，换元时要注意新元的取值范围，否则造成错误结论．易错点2忽视函数的定义域致错11.已知函数f(x)＝xeq\r(x－1)，g(x)＝eq\f(2,\r(x－1))，则f(x)·g(x)＝__2x(x>1)__．解析：易知，函数y＝f(x)的定义域为[1，＋∞)，函数y＝g(x)的定义域为(1，＋∞)．又因为f(x)＝xeq\r(x－1)，g(x)＝eq\f(2,\r(x－1))，所以f(x)·g(x)＝2x(x>1)．[误区警示]两函数相乘后要注意新函数的定义域．(限时30分钟)一、选择题1．函数y＝－eq\f(x2,|x|)的图象的大致形状是(C)解析：因为y＝－eq\f(x2,|x|)＝－|x|<0，故图象全部在x轴下方，只有C符合，故选C.2．一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为(D)A．y＝20－2x B．y＝20－2x(0<x<10)C．y＝20－2x(5≤x≤10) D．y＝20－2x(5<x<10)解析：由题意得y＋2x＝20，所以y＝20－2x，又2x>y，即2x>20－2x，解得x>5.由y>0，即20－2x>0，得x<10.所以5<x<10.故选D.3.已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，则a＝(A)A．－2 B．2C．eq\f(9,64) D．6解析：因为函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，所以a×(－1)3－2×(－1)＝4，所以a＝－2.4．某学生离家去学校，刚开始匀速步行，路上在文具店买了一套直尺，发现上学时间比较紧张就跑步上学，但由于体能下降跑得越来越慢，终于准时赶到了学校．在图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则四个图形中较符合该学生走法的是(B)解析：注意纵轴表示的是离学校的距离，排除C，D选项；最后一段因为跑得越来越慢，所以只有B选项吻合．5．y＝|x＋1|－|x－1|的图象为(A)ABCD解析：当x≥1时，y＝f(x)＝|x＋1|－|x－1|＝2；当－1≤x<1时，y＝f(x)＝|x＋1|－|x－1|＝2x；当x<－1时，y＝f(x)＝|x＋1|－|x－1|＝－2；所以四个选项中，只有A对应图象符合．6.若f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)＝(B)A．3x＋2 B．3x－2C．2x＋3 D．2x－3解析：设f(x)＝ax＋b，由题设有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(22a＋b－3a＋b＝5，,20·a＋b－－a＋b＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－2.))所以选B.二、填空题7.已知函数f(3x－1)＝6x＋8，则f(x＋1)＝__2x＋12__.解析：令t＝3x－1，故x＝eq\f(t＋1,3)，所以f(t)＝6×eq\f(t＋1,3)＋8＝2t＋10，所以f(x＋1)＝2(x＋1)＋10＝2x＋12.8．为了确保神舟飞船发射时的信息安全，信息须加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接受方由密文→明文(解密)，已知加密的方法是：密码把英文的明文(真实文)按字母分解，其中英文的a，b，c，…，z的26个字母(不论大小写)依次对应1,2,3，…，26这26个自然数(见下表)：abcdefghijklm12345678910111213nopqrstuvwxyz14151617181920212223242526通过变换公式：当x∈N＋，x≤26，x不能被2整除时，x→eq\f(x＋1,2)；当x∈N＋，x≤26，x能被2整除时，x→eq\f(x,2)＋13，将明文转换成密文，如8→eq\f(8,2)＋13＝17，即h变换成q；5→eq\f(5＋1,2)＝3，即e变换成c.若按上述规定，若将明文译成的密文是shxc，那么原来的明文是__love__.解析：当x∈N＋，x≤26，x不能被2整除时，x→eq\f(x＋1,2)；当x∈N＋，x≤26，x能被2整除时，x→eq\f(x,2)＋13.所以s对应的19为eq\f(x＋1,2)＝19或eq\f(x,2)＋13＝19，解得：x＝37(舍)或x＝12，所以s对应的字母为l；同理可以求出h对应的字母为o；x对应的字母为v；c对应的字母为e.三、解答题9．画出二次函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小．(2)求函数f(x)的值域．解：f(x)＝－(x－1)2＋4的图象如图所示：(1)f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，所以f(1)>f(0)>f(3)．(2)由图象可知二次函数f(x)的最高点为f(1)＝4，则函数f(x)的值域为(－∞，4]．10.(1)已知f(1＋2x)＝eq\f(1＋x2,x2)，求f(x)的解析式；(2)已知g(x)－3geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝x＋2，求g(x)的解析式．解：(1)由题意得，f(1＋2x)的定义域为{x|x≠0}．设t＝1＋2x(t≠1)，则x＝eq\f(t－1,2)，所以f(t)＝eq\f(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t－1,2)))2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t－1,2)))2)＝eq\f(t2－2t＋5,t－12)(t≠1)，所以f(x)＝eq\f(x2－2x＋5,