第9章分析的时代

正当变分问题的解取得突破性进展的时候，物理学给这一课题的研究又直接提供了一个新的推动，这就是最小作用原理。早在古希腊时代，自然哲学家们就有这样一种信念：大自然是以最简洁的可能途径行动的，“自然界不做多余的事情”，这一观念在中世纪为人们普遍接受。17世纪费马在对光学的研究中提出了一个最小时间原理。9.2.3来自物理学的推动费马，法国律师和业余数学家。他在数学上的成就不比职业数学家差，他似乎对数论最有兴趣，亦对现代微积分的建立有所贡献。被誉为“业余数学家之王”。17世纪费马在对光学的研究中提出了一个最小时间原理。费马，是当今常见译法，80年代的书籍文章也多见译为“费尔玛”的情况，但“费玛”则少见。莫佩蒂从费马的最小时间原理出发，提出了更一般的最小作用原理：自然界中的任何改变都是主要使“作用”最小，而所谓“作用”是指质量，速度的乘积关于路径的积分，即。他宣称，这一原理是自然界的普遍规律和上帝存在的第一科学证明。显然，莫佩蒂极力提倡这个原理还有着不可低估的宗教倾向。这与欧拉的思想不谋而合。法国数学家、生物学家、物理学家。生于圣马罗(St.-Malo),卒于瑞士巴塞尔(Basel)。早年读私人学校,16岁到巴黎求学。后来投入军界,成为骑兵军官(1718—1723)。对数学有浓厚兴趣,不久便在研究中崭露头角。1723(另一说1731)当选为法国科学院院士。1745年接受腓特烈大帝(FriedrichⅡ)的邀请,进入柏林科学院。次年被任命为该院院长。曾多次出访欧洲各国。莫佩蒂的贡献涉及数学、物理学和生物学的若干学科。

在欧拉给莫佩蒂的通信中就表明了这样的观点：上帝已经按照某种这样的基本原理构造成了宇宙，而这种原理的存在又证实了上帝的安排。他曾将最小作用原理作为一个精确的动力学定理作了详细的阐述，但他仅讨论了单个质点沿平面曲线的运动问题。拉格朗日是第一个用具体形式将最小作用原理表示出来的人。从数学的观点来看，拉格朗日关于最小作用原理的工作赋予变分法以重大的价值。欧拉和拉格朗日留给后人的问题是：欧拉微分方程的解必须满足什么样的附加条件才能真正使一个依赖y（x）的积分取得极大或极小？9.2.4变分法的进一步发展另外两位法国数学家拉普拉斯和勒让德则是从普通微积分的相关理论中寻找启示的，在普通微积分中对于使f'(x)=0的x的值，f''(x)的符号决定着f(x)是否极大或极小值。故他以二次变分为突破口，得出结论：对于满足欧拉方程并且通过（x0,yo）和（x1,y1）的曲线y（x）,只要沿y（x）的每一点处，时,则J取极大；而时，J取极小在勒让德的工作以后大约50年期间，数学家们进一步探索了一次和二次变分，但都没有得到决定性的结果。1837年雅可比试图通过强化勒让德条件使之成为充分条件，然而他得到的一些充分条件都是不正确的；不过他的工作使人们清楚地看到，变分法的进展不能仅以通常的微积分的极大和极小理论为指导。

但后来又发现关于fy'y'的这一条件仅仅是使y（x）成为极大或极小曲线的一个必要条件。寻找使积分达到极大或极小曲线y（x）的充分条件仍然未能解决。

魏尔斯特拉斯在1879年证明了有关弱变分的一个充分条件，并通过引进“场”的概念提出了有关强变分的充分条件，这个条件后来由希尔伯特与1900年给出了证明。在应用方面，拉格朗日用最小作用原理对动力学的成功描述，启示着这一概念应该可以应用到物理学的其他分支上去。19世纪初期，许多数学家都致力于这一工作。泊松、柯西等人成功地运用变分法解决过许多有关弹性问题，而其中最突出的是哈密顿，他从最小作用原