二项式定理【新教材】2022年人教A版高中数学选择性必修练习（含答案）

二项式定理第I卷（选择题）一、单选题1．，则（）A．49 B．56 C．59 D．642．在的二项展开式中，的系数是（）A． B． C． D．3．已知，则（）A． B．10 C． D．454．二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨度克·牛顿于年､年间提出，据考证，我国至迟在世纪，北宋数学家贾宪就已经知道了二项式系数法则，在的二项式展开式中，的系数为（）A． B． C． D．5．的展开式中项的系数是（）A． B． C． D．

6．已知，则等于（）A．63 B．64 C．31 D．327．若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝（）A．284 B．356 C．364 D．3788．若，则（）A． B．4 C． D．9．已知的展开式中所有项的系数之和为-64，则其常数项为（）A．-25 B．-5 C．20 D．5510．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中错误的是（）A．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：Cnm＝Cnn－mB．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：C．由“第n行所有数之和为2n”猜想：Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn＝2nD．由“111＝11，112＝121，113＝1331”猜想：115＝1510105111．已知二项式的展开式的二项式系数和为32，所有项系数和为243，则（）A． B．2 C． D．312．若，则（）A． B． C． D．13．设，则的值为（）A． B． C． D．14．设，则等于（）A．1 B．2 C．3 D．415．的展开式中二项式系数最大的项是（）A． B． C． D．16．设，则A． B．0 C．1 D．17．设，若与的二项展开式中的常数项相等，则（）A．4 B．-4 C．2 D．-218．展开式的二项式系数之和为32，则按x降幂排列的展开式的第三项是A． B． C． D．19．已知的展开式中的系数为25，则展开式中所有项的系数和为（）A． B．97 C．96 D．20．已知一组数据1，3，5，7的方差为n，则在二项式（2x）n的展开式所有项中任取一项，取到有理项的概率为（）A． B． C． D．第II卷（非选择题）二、解答题21．在二项式的展开式中，________．给出下列条件：①若展开式前三项的二项式系数的和等于46；②所有奇数项的二项式系数的和为256；③若展开式中第7项为常数项．试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题：（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式的常数项．（备注：如果多个条件分别解得，按第一个条件计分）22．在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．（1）求项数；（2）求展开式中的二项式系数最大的项；（3）求展开式中所有系数的绝对值的和．23．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.①第5项的系数与第3项的系数之比是14：3；②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55；③.已知在的展开式中，________.（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中含的项.24．已知展开式中的第二项、第三项、第四项的二项式系数成等差数列．（1）求的值及展开式的所有项的系数和；（2）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率．25．已知的二项展开式中，第三项的系数为7.（1）求证：前三项系数成等差数列；（2）求出展开式中所有有理项（即的指数为整数的项）.参考答案1．C【分析】令，可得各项系数和.【详解】令，.故选：C.【点睛】求二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和问题关键是赋值法应用.若，则展开式中：(1)各项系数之和为；(2)；(3).2．C【分析】由二项式展开式通项，即可确定的系数.【详解】由二项式通项，∴当时，，则.∴的系数是.故选：C.3．A【分析】由于，求出的通项，从而可求出的值【详解】，.故选：A4．D【分析】写出二项式展开式的通项，令的指数位置等于即可求解.【详解】展开式的通项为，令，解得，所以二项式展开式中，的系数为，故选：D.5．D【分析】由题意利用二项展开式的通项公式求得的项的系数.【详解】的展开式中项系数为，故选：D.6．A【分析】先逆用二项式定理得到，求得n值，再利用计算即得结果.【详解】逆用二项式定理得＝，即3n＝36，所以n＝6，所以＝64－1＝63.故选：A.7．C【分析】分别令x＝1和x＝－1，得到两式相加即得a0＋a2＋…＋a12＝365，再令x＝0，得a0，即得结果.【详解】令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a12＝36，①令x＝－1，则a0－a1＋a2－…＋a12＝1，②①②两式左右分别相加，得2(a0＋a2＋…＋a12)＝36＋1＝730，所以a0＋a2＋…＋a12＝365，再令x＝0，则a0＝1，所以a2＋a4＋…＋a12＝364.故选：C.【点睛】方法点睛：二项式定理的系数和问题，通常先通过观察，根据需要使用赋值法代入计算即可.8．C【分析】由题知，再令，得，令，得，进而得.【详解】因为，所以．令，得，即．令，可得．所以，故选：C．【点睛】本题考查二项式定理求值，考查运算求解能力，是中档题.解题的关键在于赋值和求解.9．A【分析】令可得所有项的系数，进而得，再由的展开式和相乘可得常数项.【详解】令可得的展开式中所有项的系数之和为，解得，展开式的通项公式为：，展开式中的常数项为：.故选：A.【点睛】方法点睛：利用二项展开式计算指定项的系数时，注意利用通项公式和多项式的乘法判断出指定项的系数是有哪些项的系数相乘所得到的.10．D【分析】由组合数及二项式系数的性质可判断A、B、C，由二项式定理运算可判断D.【详解】对于A，由组合数的互补性质可得，故A正确；对于B，由组合数的性质可得，故B正确；对于C，由二项式系数和的性质可得，故C正确；对于D，，故D错误.故选：D.【点睛】本题考查了数学文化及组合数、二项式定理、二项式系数的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.11．A【分析】根据二项式系数和求得，利用赋值法，结合所有项系数和求得.【详解】∵二项式系数和为，∴.令，∴，∴.故选：A.【点睛】本小题主要考查二项式展开式的有关计算，属于中档题.12．D【分析】利用二项式定理可知、、、为负数，、、、、为正数，可得出，然后令可求得所求代数式的值，可以求得，从而求得结果.【详解】二项式的展开式通项为，所以，的奇数次幂的系数均为负数，偶数次幂的系数均为正数，即、、、为负数，、、、、为正数，所以.所以，故选：D.【点睛】本题考查利用赋值法求解各项系数绝对值之和，要结合二项式定理确定各项系数的正负，考查计算能力，属于中档题目.13．A【分析】根据题中条件，直接令代入，即可得出结果.【详解】令，代入可得，，则.故选：A.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，根据赋值法求解即可，属于基础题型.14．C【分析】令，即可求出．【详解】解：，令，则，故选：．【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了赋值法，属于基础题．15．C【分析】根据二项式系数的性质，当n为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值，再根据通项公式可求得结果.【详解】由二项式系数的性质，当n为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值，所以二项式系数最大的项是.故选：C.【点睛】本题考查了二项式系数的性质，考查了二项展开式的通项公式，属于基础题.16．B【分析】通过赋值法分别求出二项式奇数项和偶数项系数的和，代入所求极限中利用平方差公式化简即可得解.【详解】令，则①，令，则②，可得：，可得：，所以故选：B【点睛】本题考查赋值法求二项展开式中奇数项、偶数项系数的和，极限的求解，属于中档题.17．B【分析】分别求出与的通项公式，进而求出常数项，建立的方程即可.【详解】的通项公式为，令，所以常数项为；的通项公式为，令，所以常数项为，依题意可得.故选:B.【点睛】本题考查二项展开式定理的应用，熟练掌握二项展开式通项是解题的关键，属于基础题.18．C【分析】先求出n=5,再利用二项式展开式的通项求出按x降幂排列的展开式的第三项得解.【详解】由题得.所以=，所以按x降幂排列的展开式的第三项.故选：C【点睛】本题主要考查二项式系数和二项式展开式指定项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.19．C【分析】先求得的值：解法一直接展开，再寻找的系数；解法二利用二项式定理，结合乘法分配律，求得的系数.由此列方程，求得的值.然后令，求得展开式中所有项的系数和.【详解】解法1：因为，所以的系数为，所以，解得，所以，令，得.解法2：由乘法分配律知的展开式中的系数为所以，解得，所以令，得.故选：C【点睛】本小题主要考查二项式定理的运用，考查展开式中所有项的系数和的求法，属于基础题.20．C【分析】求出方差n再代入,求得展开式中的项数,再求有理项的个数即可.【详解】1,3,5,7的平均数，故方差.故二项式的展开项共6项.其中通项公式.其中有理项满足为整数,即满足.故展开式所有项中任取一项,取到有理项的概率为故选：C【点睛】本题主要考查了方差的运算以及二项式展开式的应用,需要根据题意列出通项公式中某项满足的条件再求解即可.属于中等题型.21．答案见解析【分析】先根据所选的条件计算出的值：若选①，根据组合数计算出的值；若选②，根据奇数项的二项式系数为求解出的值；若选③，先写出展开式的通项公式，然后根据的次数为零得到的关系，由此根据条件可确定出的值；（1）根据的值，先确定出二项式系数最大的项是哪几项，然后利用展开式的通项求解出对应项；（2）先写出展开式的通项，然后根据的次数为零求解出的值，由此求解出常数项.【详解】解：选择①：，即，即，即，解得或（舍去）选择②：，即，解得．选择③：，则有，所以．因为展开式中第7项为常数项，即，所以．（1）展开式中二项式系数最大的项为第5和第6项，，．（2）展开式通项为：，令，∴，∴展开式中常数项为第7项，常数项为．【点睛】结论点睛：二项式系数的性质：（1）对称性：与首末两端“等距”的两个二项式系数相等，即；（2）增减性与最大值：当时，二项式系数是递增的，当时，二项式系数是递减的；当为偶数时，中间一项的二项式系数最大，当为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大；（3）二项式系数的和：，.22．（1）；（2）；（3）．【分析】（1）写出二项式展开式的通项，根据等差中项的性质列方程可得出的值；（2）根据二项式系数的对称性和单调性可得出二项式系数最大的项；（3）列出展开式中所有系数的绝对值，利用二项式定理特殊赋值求解即可.【详解】（1）二项式展开式的通项为，因为前三项系数的绝对值成等差数列，所以，化简得，解得，（，舍去）．（2）由（1）知，二项式的展开项共9项，故二项式系数最大的项为第项，即（3）展开式中所有系数的绝对值的和为，【点睛】结论点睛：本题考查二项式系数的性质，在的展开式中，若n是偶数时，中间项项的二项式系数最大；若n是奇数时，中间两项与项的二项式系数相等且最大．23．（1）；（2）.【分析】（1）先求出二项展开式的通项，根据条件求出，即可知道二项式系数最大的项；（2）令的指数为5，即可计算出，求出含的项.【详解】可知，方案一：选条件①，（1）由题可知，，，解得或（舍去），所以展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是第六项，，所以展开式中二项式系数最大的项是第6项，；（2）由（1）知，令，，，所以展开式中含的项是第一项，为；方案二：选条件②，（1）由题可知，整理得，解得或（舍去），所以展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是第六项，，所以展开式中二项式系数最大的项是第6项，；（2）同方案一（2）；方案三：选条件③，（1），，所以展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是第六项，，所以展开式中二项式系数最大的项是第6项，；（2）同方案一（2）.【点睛】本题考查二项展开式的相关性质，属于中档题.24．（1）；2187；（2）．【分析】（1）利用第二项、第三项、第四项的二项式系数为等差数列可求，再令可求系数和.（2）根据二项展开式的通项可得展开式中共有3项有理项，利用插空法和古典概型的概率计算公式可求概率.【详解】解：（1）由已知第二项、第三项、第四项的二项式系数分别为、、，∴，解得或（舍），∴．令可得展开式的所有项的系数和为．（2），其中，故展开式共8项，当为有理项，共3项，∴由插空法可得有理项不相邻的概率．【点睛】本题考查二项展开式中指定项的系数的计算以及古典概