第3章第1讲动量定理动量守恒定律质量流问题

§3-1质点和质点系的动量守恒§3-2动量守恒定律§3-3系统内质量移动问题大学物理学电子教案动量与动量守恒定律黄冈师范学院数理学院

牛顿第二定律——反映了物体所受的外力与所产生的加速度（运动状态变化）之间的瞬时关系。力的作用持续一段时间，或者持续一段距离，称为力对时间的累积作用和力对空间的累积作用。在力的作用下，质点或质点系的动量、动能或能量将发生变化或转移。在一定条件下，质点系内的动量或能量将保持守恒。对这些问题的研究，物理学引入了冲量和动量；功和能的概念。第3章动量守恒定律和能量守恒定律t1F0tt2dtF1冲量一冲量质点的动量定理定义：单位：N·s量纲：MLT－1说明是矢量：有大小和方向。是过程量，是改变物体机械运动状态的原因。§3-1质点和质点系的动量定理意义：力的作用对时间的积累。元冲量2动量

定义：物体的质量与速度的乘积

说明：动量是矢量，大小为mv，方向就是速度的方向。单位：

kg·m·s-1

量纲：MLT－1意义：表征了物体的运动状态。因此动量是状态量。F为恒力时，可以得出I＝Ft；如果已知变力F，则由冲量定义可求变力的平均值：3动量定理在给定的时间间隔内，外力作用在质点上的冲量，等于该质点在此时间内动量的增量——动量定理。动量定理的微分形式，它具有普适性。说明冲量的方向与动量增量（或速度改变）的方向相同。动量定理给出了外力的冲量与物体运动状态变化的关系，即质点动量的改变是由外力和外力作用时间两个因素（冲量）决定的。动量定理的分量式应用：利用冲力：增大冲力，减小作用时间——冲床避免冲力：减小冲力，增大作用时间——轮船靠岸时的缓冲

上式表明：质点在某一方向上的动量增量仅与质点在该方向上所受外力的冲量有关。利用动量定理可求作用力

鸟本身的速度不快，质量也不大，但由于飞机速度很快，相对于飞机来说，鸟的速度很大，具有很大的相对动量，或者说明具有很大的动量改变量。因此，两者相撞时，会造成严重的空难事故。例1质量为2.5g的乒乓球以10m/s的速率飞来，被板推挡后，又以20m/s的速率飞出。设两速度在垂直于板面的同一平面内，且它们与板面法线的夹角分别为45o和30o，求：（1）乒乓球得到的冲量；（2）若撞击时间为0.01s，求板施于球的平均冲力的大小和方向。45o30onv2v145o30onv2v1Oxy解取球为研究对象，由于作用时间很短，忽略重力影响。设挡板对球的冲力为F则有：为I与x方向的夹角。二质点系的动量定理1质点系内力外力的概念多个质点组成的系统称为质点系。系统外的物体对系统内的物体的作用力，称为外力。质点系内各物体间的相互作用力称为内力。2两个质点的情况3多个质点的情况作用在系统的合外力的冲量等于系统动量的增量——质点系的动量定理作用在两质点组成的系统的合外力的冲量等于系统内两质点动量之和的增量，即系统动量的增量。说明

只有外力才对系统的动量变化有贡献，而系统的内力是不能改变整个系统的动量的，这是牛顿第三定律的直接结果。系统内各物体间的相互作用力——内力，虽能引起各自动量的改变，但不能引起系统总动量的改变，系统总动量的变化仅与外力有关，这就是内力和外力作用的不同。

质点系的动量定理的微分形式为例2

一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上，如果把绳的上端放开，绳将落在桌面上。试证明：在绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面的压力，等于已落到桌面上的绳重量的三倍。ox证明建立如图所示坐标，设t时刻已有x长的柔绳落至桌面，随后的dt时间内将有质量为dx(=M/L)的柔绳以dx/dt的速率碰到桌面而停止，取这一小段为研究对象，它的动量变化率为：不考虑重力的影响，根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：柔绳对桌面的冲力F＝－F′即：而已落到桌面上的柔绳的质量为x，其重量为mg=

xg所以任意时刻桌面上所有绳了对桌面的压力为N=mg+F=3

gx=3mg一内容当系统所受合外力为零时，即F外=0时，系统的动量的增量为零，即系统的总动量保持不变§3-2动量守恒定律二说明守恒的意义：动量守恒定律揭示了通过物体的相互作用，机械运动发生转移的规律。守恒的条件：系统所受的合外力为零。当外力远小于内力时，可以用动量守恒定律求近似解。合外力在某个方向（坐标轴）上的分量为零，此时，系统的总动量虽不守恒，但在该坐标轴（方向）上的分量却保持不变。这个结论称为质点系在某一方向上的动量守恒定律。动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一。动量定理和动量守恒定律只在惯性系中才成立。一般地，当系统动量守恒时，系统内各质点的动量都可能发生改变，但系统内动量的增加和减少量是相等的，系统的总动量不变。系统内各物体间动量的传递是通过系统内各质点之间的相互作用——内力来实现的。也就是说，系统中内力作用可以使动量在系统内各个质点之间传递，但不改变系统的总动量。三应用动量守恒定律解题的步骤1．选好系统，分析要研究的物理过程；2．进行受力分析，判断守恒条件；3．确定系统的初动量与末动量；4．建立坐标系，列方程求解；5．必要时进行讨论。例题水平光滑铁轨上有一车，长度为l，质量为m2，车的一端有一人（包括所骑自行车），质量为m1，人和车原来都静止不动。当人从车的一端走到另一端时，人、车各移动了多少距离？

解以人、车为系统，在水平方向上不受外力作用，动量守恒。建立如图所示的坐标系，有

m1v1+m2v2=0或v2=-m1v1/m2人相对于车的速度u=v1-v2=(m1+m2)v1/m2设人在时间t内从车的一端走到另一端，则有

在这段时间内人相对于地面的位移为

小车相对于地面的位移为

§3-3系统内质量移动问题一火箭运动的微分方程在t时刻，火箭－燃料系统的质量为M，速度为v；在t→t+△t时间间隔内，有质量为△m的燃料变为气体，并以速度u相对火箭喷射出去。在时刻t+△t火箭相对选定的惯性参考系的速度为v+△v，而燃烧气体粒子相对选定的惯性参考系的速度则为v+△v+u。叫作火箭发动机的推力二火箭运动的速度公式对于在远离地球大气层之外，星际空间中飞行的火箭，可以认为系统不受外力作用，即F=0考虑初速度为零，则火箭的速度大小为M0/M叫做质量比三多级火箭质量比Ni=M0/M但级数越多，技术越复杂。一般采用三级火箭。例题一长为l，密度均匀的柔软链条，其单位长度的密度为λ。将其卷成一堆放在地面上。若手握链条的一端，以匀速v将其上提。当绳端提离地面的高度为x时，求手的提力。

解取地面为惯性参考系，地面上一点为坐标原点O，竖直向上为x轴。以整个链条为一系统。设在时刻t，链条一端距原点的高度为x，其速率为v，由于在地面部分的链条的速度为零，故在在时刻t，链条的动量为链条的动量随时间的变化率为

作用在整个链条的外力，有手的提力F，重力λxg和λ(l-x)g以及地面对链条的支持力N，由牛顿第三定律知N