不同函数增长的差异同步练习（含答案）

不同函数增长的差异1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数．(√)(2)函数y＝2x的增长速度越来越快．(√)(3)对任意x>0，都有eq\f(1,10)x>lgx．(×)(4)函数y＝log4x的增长速度越来越慢．(√)题型1几类函数模型的增长差异2．当2<x<4时，2x，x2，log2x的大小关系是(B)A．2x>x2>log2x B．x2>2x>log2xC．2x>log2x>x2 D．x2>log2x>2x解析：方法一：在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图象(图略)，在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图象，所以x2>2x>log2x.方法二：比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．可取x＝3，经计算易知选B.3．若x∈(0,1)，则下列结论正确的是(A)A．2x>xeq\s\up5(\f(1,2))>lgx B．2x>lgx>xeq\s\up5(\f(1,2))C．xeq\s\up5(\f(1,2))>2x>lgx D．lgx>xeq\s\up5(\f(1,2))>2x解析：结合y＝2x，y＝xeq\s\up5(\f(1,2))及y＝lgx的图象易知，当x∈(0,1)时，2x>xeq\s\up5(\f(1,2))>lgx.4．根据三个函数f(x)＝2x，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，给出以下命题：①f(x)，g(x)，h(x)在其定义域上都是增函数；②f(x)的增长速度始终不变；③f(x)的增长速度越来越快；④g(x)的增长速度越来越快；⑤h(x)的增长速度越来越慢．其中正确的命题序号为__①②④⑤__.解析：f(x)＝2x的增长速度始终不变，g(x)的增长速度越来越快，而h(x)的增长速度越来越慢，故①②④⑤正确．题型2函数模型的选择问题5．下面选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是(A)A．y＝10× B．y＝20＋C．y＝30＋lg(x－1) D．y＝50解析：根据指数函数、幂函数、对数函数的增长差异可知从长远的角度看，底数大于1的指数函数增长是最快的，故选A.6．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：x348y现有如下5个模拟函数：①y＝－；②y＝2x－；③y＝x2－＋8；④y＝log2x；⑤y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋.请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选__④__.(填序号)解析：描点如图所示．由图可知上述点大体在函数y＝log2x的图象上，故选择y＝log2x可以近似地反映这些数据的规律．7．2017～2019年春运期间，某市长途汽车站平均每日发送旅客数量如表所示．为了估测每年春运期间这个汽车站平均每日发送旅客的数量，以2017～2019年三年的数据为依据，选择函数y＝abx－2016＋c模拟平均每日发送旅客的数量y(万人)与年份x(年)的关系．根据所给数据，预测2020年春运期间该长途汽车站平均每日发送旅客的数量为万人.年份2017年2018年2019年平均每日发送旅客数量/万人1解析：依题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＋c＝1，,ab2＋c＝，,ab3＋c＝，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－，,b＝，,c＝，))所以y＝－×－2016＋.当x＝2020时，y＝－×＋＝，所以预测2020年春运期间该长途汽车站平均每日发送旅客的数量为万人．易错点1忽略函数的增长特点致错8．函数y＝x2与函数y＝xlnx在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是__y＝x2__.解析：当x变大时，x比lnx增长要快，所以x2要比xlnx增长的要快．[误区警示]搞不清y＝x与y＝lnx的增长速度的快慢而出错．易错点2不理解函数的增长差异致错9．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应__(4)__；B对应__(1)__；C对应__(3)__；D对应__(2)__．解析：A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应．[误区警示]根据容器中水高度增长的快慢对照图形判断．(限时30分钟)一、选择题1．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为(D)解析：设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a(1＋y，故y＝(x≥1)，所以函数y＝f(x)的图象大致为D中图象，故选D.2．在某实验中，测得变量x和变量y之间的对应数据如表所示，则x，y最合适的函数是(D)xy－＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x解析：根据x＝，y＝－，代入计算，可以排除A；根据x＝，y＝，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D.3．以下四种说法中，正确的是(D)A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B．对任意的x>0，xn>logaxC．对任意的x>0，ax>logaxD．不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xn>logax解析：对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长幅度不能比较．对于B，C，当0<a<1时，显然不成立．当a>1，n>0时，一定存在x0，使得当x>x0时，总有ax>xn>logax，但若去掉限制条件“a>1，n>0”，则结论不成立．故选D.4．函数y＝2x－x2的图象大致是(A)解析：分别画出y＝2x，y＝x2的图象(图略)，由图象可知，有3个交点，所以函数y＝2x－x2的图象与x轴有3个交点，故排除B，C；当x＝－1时，y<0，故排除D.5．某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确是(A)A．②③ B．①②C．①③ D．③④解析：由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y＝xα(0<α<1)．反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t∈[3,8]的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停产，所以②③正确．6．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是T1(℃)，空气的温度是T0(℃)，经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T＝T0＋(T1－T0)e－求得．把温度是90℃的物体，放在10℃的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50℃，那么t的值约等于(参考数据：ln3≈，ln2≈(B)A． B．C． D．解析：由题意可知50＝10＋(90－10)e－，整理得e－＝eq\f(1,2)，即－＝lneq\f(1,2)＝－ln2＝－，解得t≈.二、填空题7．某种病菌经30分钟繁殖为原来的2倍，且知这种病菌的繁殖规律为y＝ekt(k为常数，t为时间，单位：小时)，y表示病菌个数，则k＝__2ln_2__；经过5小时，1个病菌能繁殖为__1_024__个．解析：设病菌原来有1个，则半小时后为2个，得2＝eeq\f(k,2)，解得k＝2ln2.当x＝5时，y＝e(2ln2)×5＝e10ln2＝210＝1024(个)．8．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、万件．则此厂3月份该产品的产量为万件．解析：因为y＝a·x＋b，且当x＝1时，y＝1，当x＝2时，y＝，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝a×＋b，,＝a×＋b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝2，))所以y＝－2×x＋2.当x＝3时，y＝－2×＋2＝(万件)．三、解答题9．某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝loga(t＋1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度.t(年)123456h(米)1解：根据表中数据作出散点图如图：由图可以看出用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理．将(2,1)代入到h＝loga(t＋1)中，得1＝loga3，解得a＝3.即h＝log3(t＋1)．则当t＝8时，h＝log3(8＋1)＝2，故可预测第8年松树的高度为2米．10．森林具有净化空气的功能，经研究发现，森林净化空气量Q与森林面积S的关系是Q＝50log2eq\f(S,10).(1)若要保证森林具有净化效果(Q≥0)，则森林面积至少