三角函数的积化和差与和差化积习题教案

第2课时三角函数的积化和差与和差化积学习目标核心素养1.能根据公式Sα±β和Cα±β进行恒等变换，推导出积化和差与和差化积公式．(难点)2.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．(重点)1.通过三角函数的积化和差与和差化积公式的推导，培养学生逻辑推理核心素养．2.借助积化和差与和差化积公式的应用，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养.新知探究1.积化和差公式cosαcosβ＝eq\f(1,2)[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；sinαsinβ＝－eq\f(1,2)[cos(α＋β)－cos(α－β)]；sinαcosβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；cosαsinβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)－sin(α－β)]．2.和差化积公式设α＋β＝x，α－β＝y，则α＝eq\f(x＋y,2)，β＝eq\f(x－y,2).这样，上面的四个式子可以写成，sinx＋siny＝2sineq\f(x＋y,2)coseq\f(x－y,2)；sinx－siny＝2coseq\f(x＋y,2)sineq\f(x－y,2)；cosx＋cosy＝2coseq\f(x＋y,2)coseq\f(x－y,2)；cosx－cosy＝－2sineq\f(x＋y,2)sineq\f(x－y,2).思考：和差化积公式的适用条件是什么？[提示]只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式．小试身手1.计算sin105°cos75°的值是()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,4)C．－eq\f(1,4)D．－eq\f(1,2)B[sin105°cos75°＝eq\f(1,2)(sin180°＋sin30°)＝eq\f(1,4).]20°·cos70°＋sin10°·sin50°的值为()A．－eq\f(1,4) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)B[sin20°·cos70°＋sin10°·sin50°＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20°＋70°))＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20°－70°))))＋eq\f(1,2)[cos(10°－50°)－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10°＋50°))]＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin90°－sin50°))＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos40°－cos60°))＝eq\f(1,4)－eq\f(1,2)sin50°＋eq\f(1,2)cos40°＝eq\f(1,4)－eq\f(1,2)sin50°＋eq\f(1,2)sin50°＝eq\f(1,4).故选B．]3.下列等式正确的是()A．sinx＋siny＝2sineq\f(x＋y,2)sineq\f(x－y,2)B．sinx－siny＝2coseq\f(x＋y,2)coseq\f(x－y,2)C．cosx＋cosy＝2coseq\f(x＋y,2)coseq\f(x－y,2)D．cosx－cosy＝2sineq\f(x＋y,2)sineq\f(x－y,2)C[由和差化积公式知C正确．]【例1】(1)求值：sin20°cos70°＋sin10°sin50°.(2)求值：sin20°sin40°sin60°sin80°.[思路探究]利用积化和差公式化简求值，注意角的变换，尽量出现特殊角．[解](1)sin20°cos70°＋sin10°sin50°＝eq\f(1,2)(sin90°－sin50°)－eq\f(1,2)(cos60°－cos40°)＝eq\f(1,4)－eq\f(1,2)sin50°＋eq\f(1,2)cos40°＝eq\f(1,4)－eq\f(1,2)sin50°＋eq\f(1,2)sin50°＝eq\f(1,4).(2)原式＝cos10°cos30°cos50°cos70°＝eq\f(\r(3),2)cos10°cos50°cos70°＝eq\f(\r(3),2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos60°＋cos40°·cos70°))＝eq\f(\r(3),8)cos70°＋eq\f(\r(3),4)cos40°cos70°＝eq\f(\r(3),8)cos70°＋eq\f(\r(3),8)(cos110°＋cos30°)＝eq\f(\r(3),8)cos70°＋eq\f(\r(3),8)cos110°＋eq\f(3,16)＝eq\f(3,16).积化和差公式的功能与关键1功能：①把三角函数的一种形式积的形式转化为另一种形式和差的形式.②将角度化为特殊角求值或化简，将函数式变形以研究其性质.2关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数.【例2】已知cosα－cosβ＝eq\f(1,2)，sinα－sinβ＝－eq\f(1,3)，求sin(α＋β)的值．[思路探究]利用和差化积公式，对所求式子进行变形，利用所给条件求解．[解]∵cosα－cosβ＝eq\f(1,2)，∴－2sineq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2)＝eq\f(1,2). ①又∵sinα－sinβ＝－eq\f(1,3)，∴2coseq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2)＝－eq\f(1,3). ②∵sineq\f(α－β,2)≠0，∴由①②，得－taneq\f(α＋β,2)＝－eq\f(3,2)，即taneq\f(α＋β,2)＝eq\f(3,2).∴sin(α＋β)＝eq\f(2sin\f(α＋β,2)cos\f(α＋β,2),sin2\f(α＋β,2)＋cos2\f(α＋β,2))＝eq\f(2tan\f(α＋β,2),1＋tan2\f(α＋β,2))＝eq\f(2×\f(3,2),1＋\f(9,4))＝eq\f(12,13).和差化积公式应用时的注意事项1在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名，若是高次函数，必须用降幂公式降为一次.2根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑：①运用公式之后，能否出现特殊角；②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项.3为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把某些常数当作三角函数值才能应用公式，如eq\f(1,2)－cosα＝coseq\f(π,3)－cosα.【例3】在△ABC中，求证：sinA＋sinB－sinC＝4sineq\f(A,2)sineq\f(B,2)coseq\f(C,2).[思路探究]利用和差化积进行转化，转化时要注意A＋B＋C＝π.[解]左边＝sin(B＋C)＋2sineq\f(B－C,2)·coseq\f(B＋C,2)＝2sineq\f(B＋C,2)coseq\f(B＋C,2)＋2sineq\f(B－C,2)coseq\f(B＋C,2)＝2coseq\f(B＋C,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(B＋C,2)＋sin\f(B－C,2)))＝4sineq\f(A,2)sineq\f(B,2)coseq\f(C,2)＝右边，∴原等式成立．证明三角恒等式