一元线性回归模型及其应用练习题2022年高二数学人教A版选择性必修成对数据的统计分析

一元线性回归模型及其应用1.甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x,y的回归模型时,分别选择了4种不同模型,计算可得它们的相关指数R2分别如表:甲乙丙丁R2哪位同学建立的回归模型拟合效果最好()A.甲 B.乙C.丙 D.丁年初,新型冠状病毒引起的肺炎疫情暴发以来,各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法,取得了不错的成效,某地开始使用中西医结合方法后,每周治愈的患者人数如表所示:周数(x)12345治愈人数(Y)21736103142由表格可得Y关于x的非线性经验回归方程为=6x2+a,则此回归模型第4周的残差(实际值与预报值之差)为() 3.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:收入x/万元支出Y/万元根据上表可得经验回归方程=x+,其中=,=-.据此估计,该社区一户年收入为15万元的家庭的年支出为()万元 万元万元 万元4.已知具有线性相关关系的变量x,Y满足一组数据如表所示.若Y关于x的经验回归方程为=,则m的值为()x0123Y-11m8 B. 5.已知x与Y之间的几组数据如表:x123456Y021334假设根据上表数据所得经验回归方程为=x+,若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y′=b′x+a′,则以下结论正确的是()A.>b′,>a′ B.>b′,<a′C.<b′,>a′ D.<b′,<a′6.已知具有线性相关的变量x,y,设其样本点为Pi(xi,yi)(i=1,2,…,6),经验回归方程为=2x+,若++…+=(12,18)(O为坐标原点),则=________.

7.已知n组成对样本数据确定的经验回归方程为=-x+2且=4,通过残差分析,发现两组成对样本数据,,,误差较大,除去这两组成对样本数据后,重新求得经验回归直线的斜率估计值为,则当x=-4时,=________.

8.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如表数据:单价x(元)89销量Y(件)908483807568(1)求经验回归方程=x+,其中=-20,=-;(2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(1)中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)9.在一段时间内,某淘宝网店一种商品的销售价格x(元)和日销售量Y(件)之间的一组数据为:价格x(元)2220181614日销售量Y(件)3741435056求出Y关于x的经验回归方程,并说明该方程拟合效果的好坏.参考数据:xiyi=3992,=1660.扩展练习1.若一函数模型为y=sin2α+2sinα+1,为将y转化为t的经验回归方程,则需作变换t等于()α B.(sinα+1)2C. D.以上都不对2.在生物学上,有隔代遗传的现象.已知某数学老师的体重为62kg,他的曾祖父、祖父、父亲、儿子的体重分别为58kg、64kg、58kg、60kg.如果体重是隔代遗传,且呈线性相关,根据以上数据可得解释变量x与预报变量的回归方程为=x+,其中=,据此模型预测他的孙子的体重约为()kg kg kg kg3.对某台机器购置后的运行年限x(x=1,2,3,…)与当年利润Y的统计分析知x,Y具备线性相关关系,经验回归方程为=估计该台机器最为划算的使用年限为______年.

4.以模型y=cekx去拟合一组数据时,为了求出非经验回归方程,设z=lny,其变换后得到经验回归方程=+4,则c=________.

5.如表为收集到的一组数据:x21232527293235Y711212466115325试建立Y与x之间的回归方程.G网络是一种先进的高频传输技术,我国的5G技术发展迅速,已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款5G手机,现调查得到该款5G手机上市时间x和市场占有率Y(单位:%)的几组相关对应数据.如图所示的折线图中,横轴1代表2019年8月,2代表2019年9月,……,5代表2019年12月,根据数据得出Y关于x的经验回归方程为=.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势,则最早何时该款5G手机市场占有率能超过%(精确到月)()年6月 年7月年8月 年9月参考答案1.甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x,y的回归模型时,分别选择了4种不同模型,计算可得它们的相关指数R2分别如表:甲乙丙丁R2哪位同学建立的回归模型拟合效果最好()A.甲 B.乙C.丙 D.丁分析：选A.相关指数R2越大,表示回归模型的效果越好.年初,新型冠状病毒引起的肺炎疫情暴发以来,各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法,取得了不错的成效,某地开始使用中西医结合方法后,每周治愈的患者人数如表所示:周数(x)12345治愈人数(Y)21736103142由表格可得Y关于x的非线性经验回归方程为=6x2+a,则此回归模型第4周的残差(实际值与预报值之差)为() 分析：选C.因为=(1+4+9+16+25)=11,=(2+17+36+103+142)=60,所以a=60-6×11=-6,则Y关于x的非线性经验回归方程为=6x2-6.取x=4,得=6×42-6=90,所以此回归模型第4周的预报值为90,则此回归模型第4周的残差为103-90=13.3.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:收入x/万元支出Y/万元根据上表可得经验回归方程=x+,其中=,=-.据此估计,该社区一户年收入为15万元的家庭的年支出为()万元 万元万元 万元分析：选B.由题意可得=×++++=10,=×++++=8,所以=×10=,所以线性经验回归方程为=+,把x=15代入,可得=×15+=.4.已知具有线性相关关系的变量x,Y满足一组数据如表所示.若Y关于x的经验回归方程为=,则m的值为()x0123Y-11m8 B. 分析：选A.由题意可知,样本点的中心一定在回归直线上,所以代入方程可得m=4.5.已知x与Y之间的几组数据如表:x123456Y021334假设根据上表数据所得经验回归方程为=x+,若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y′=b′x+a′,则以下结论正确的是()A.>b′,>a′ B.>b′,<a′C.<b′,>a′ D.<b′,<a′分析：选C.过(1,0)和(2,2)的直线方程为y′=2x-2,画出六点的散点图,回归直线的大概位置如图所示,显然,b′>,>a′.6.已知具有线性相关的变量x,y,设其样本点为Pi(xi,yi)(i=1,2,…,6),经验回归方程为=2x+,若++…+=(12,18)(O为坐标原点),则=________.

分析：由题意可得,=(x1+x2+x3+x4+x5+x6)==2,=(y1+y2+…+y6)==3.经验回归方程为=2x+,所以3=2×2+,解得=-1.答案:-17.已知n组成对样本数据确定的经验回归方程为=-x+2且=4,通过残差分析,发现两组成对样本数据,,,误差较大,除去这两组成对样本数据后,重新求得经验回归直线的斜率估计值为,则当x=-4时,=________.

分析：由样本数据点集{(xi,yi)|i=1,2,…,n}求得的经验回归方程为=-x+2,且=4,所以=-2,故数据的样本中心点为(-2,4),去掉,,,,重新求得的经验回归直线的斜率估计值为,经验回归方程设为:=+,代入(-2,4),求得=1,所以经验回归直线的方程为:y=+1,将x=-4代入经验回归方程,求得y的估计值为×(-4)+1=7.答案:78.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如表数据:单价x(元)89销量Y(件)908483807568(1)求经验回归方程=x+,其中=-20,=-;(2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(1)中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)分析：(1)=×(8+++++9)=.=×(90+84+83+80+75+68)=80.=+20=80+20×=250,所以经验回归方程为=-20x+250.(2)工厂获得的利润z=(x-4)y=-20x2+330x-1000,由二次函数知识可知当x=时,zmax=(元).故该产品的单价应定为元.9.在一段时间内,某淘宝网店一种商品的销售价格x(元)和日销售量Y(件)之间的一组数据为:价格x(元)2220181614日销售量Y(件)3741435056求出Y关于x的经验回归方程,并说明该方程拟合效果的好坏.参考数据:xiyi=3992,=1660.分析：作出散点图(此处略),观察散点图,可知这些点散布在一条直线的附近,故可用线性回归模型来拟合数据.因为==18,==.所以==,=×18=.所以经验回归方程为=+.yi-i与yi-的值如表:yi-i1yi-计算得(yi-i)2=,(yi-)2=,所以R2=1-≈.因为很接近于1,所以该模型的拟合效果比较好.扩展练习1.若一函数模型为y=sin2α+2sinα+1,为将y转化为t的经验回归方程,则需作变换t等于()α B.(sinα+1)2C. D.以上都不对分析：选B.因为y是关于t的经验回归方程,实际上就是y是关于t的一次函数,又因为y=(sinα+1)2,若令t=(sinα+1)2,则可得y与t的函数关系式为y=t,此时变量y与变量t是线性相关关系.2.在生物学上,有隔代遗传的现象.已知某数学老师的体重为62kg,他的曾祖父、祖父、父亲、儿子的体重分别为58kg、64kg、58kg、60kg.如果体重是隔代遗传,且呈线性相关,根据以上数据可得解释变量x与预报变量的回归方程为=x+,其中=,据此模型预测他的孙子的体重约为()kg kg kg kg分析：选B.由于体重是隔代遗传,且呈线性相关,则取数据(58,58),(64,62),(58,60),得==60,==60,即样本点的中心为(60,60),代入=x+,得=×60=30,则=+30,取x=62,可得=×62+30=61kg.故预测他的孙子的体重约为61kg.3.对某台机器购置后的运行年限x(x=1,2,3,…)与当年利润Y的统计分析知x,Y具备线性相关关系,经验回归方程为=估计该台机器最为划算的使用年限为______年.

分析：当年利润小于或等于零时应该报废该机器,当y=0时,令解得x≈8,故估计该台机器最为划算的使用年限为8年.答案:84.以模型y=cekx去拟合一组数据时,为了求出非经验回归方程,设z=lny,其变换后得到经验回归方程=+4,则c=________.

分析：由题意,得ln(cekx)=+4,所以lnc+kx=+4,所以lnc=4,所以c=e4.答案:e45.如表为收集到的一组数据:x21232527293235Y711212466115325试建立Y与x之间的回归方程.分析：作出散点图,如图.从散点图中可以看出x与Y不具有线性相关关系,根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线的周围.令Z=lnY,则变换后的样本点分布在直线=x+的周围,这样就可以利用线性经验回归模型来建立非线性经验回归方程了,数据可以转化为:x21232527293235Z求得经验回归方程为=所以=G网络是一种先进的高频传输技术,我国的5G技术发展迅速,已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款5G手机,现调查得到该款