2023学年完整版《幂函数》设计2

《幂函数》教学设计【教学目标】1.掌握幂函数的概念、图像和性质．2．熟悉α＝1,2,3，eq\f(1,2)，－1时的五类幂函数的图像、性质及其特点．3．能利用幂函数的图像与性质解决综合问题．【教学重点】掌握幂函数的概念、图像和性质【教学难点】能利用幂函数的图像与性质解决综合问题．【课时安排】1课时【教学过程】认知初探1．幂函数的概念一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α是常数．思考：幂函数y＝xα与指数函数y＝ax(a>0且a≠1)有什么样的区别？[提示]幂函数y＝xα的底数为自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，指数函数y＝ax中，底数是常数，指数是自变量．2.幂函数的图像与性质函数y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝eq\f(1,x)定义域RRR_______值域R_R_奇偶性奇函数__偶函数______奇函数___非奇非偶函数_奇函数______单调性在R上递增在_(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增在R上递增在(0，＋∞)上递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上递减图像过定点__（0，0）_（1，1）_________（1，1）____小试牛刀1．下列函数中不是幂函数的是()A．y＝eq\r(x) B．y＝x3C．y＝2x D．y＝x－1C[形如y＝xα的函数为幂函数，只有C不是．]2.幂函数f(x)的图像过点(3，eq\r(3,9))，则f(8)＝()A．2B．4C．6D．8B解析：设幂函数f(x)＝xα(α为常数)，由函数的图像过点(3，eq\r(3,9))，可得eq\r(3,9)＝3α，∴α＝eq\f(2,3)，则幂函数f(x)＝x，∴f(8)＝8＝4.3.若幂函数y＝(m2＋3m＋3)xm2＋2m－3的图像不过原点，且关于原点对称，则m=-2解析：由幂函数的概念，得m2＋3m＋3＝1，解得m＝－1或m＝－2.若m＝－1，则y＝x－4，其图像不关于原点对称，所以不符合题意，舍去；若m＝－2，则y＝x－3，其图像不过原点，且关于原点对称．故m＝－24．判断大小：解析：因为函数y＝是增函数，又<，∴答案：<例题讲解幂函数的概念例1(1)下列函数：①y＝x3；②y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中幂函数的个数为()B．2C．3D．4解析：(1)②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数．答案：(1)B(2)若函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，则m的值为()B．－3C．－1D．3解析：(2)因为函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋2m－2＝1，,m>0，))所以m＝1.答案：(2)A1．只有形如y＝xα(其中α为任意实数，x为自变量)的函数才是幂函数，否则就不是幂函数．2．判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且(1)指数为常数，(2)底数为自变量，(3)底数系数为1.当堂练习1已知幂函数f(x)＝xα的图像经过点(9，3)，则f(100)＝________．10解析：由题意可知f(9)＝3，即9α＝3，所以α＝eq\f(1,2)，所以f(x)＝x，所以f(100)＝100＝10.幂函数的图像和性质例2⑴幂函数y＝xm，y＝xn，y＝xp，y＝xq的图像如图，则将m，n，p，q的大小关系用“<”连接起来结果是________．【解析】⑴过原点的指数α>0，不过原点的α<0，所以n<0，当x>1时，在直线y＝x上方的α>1，下方的α<1，所以p>1，0<m<1，0<q<1；x>1时，指数越大，图像越高，所以m>q，综上所述n<q<m<p.【答案】⑴n<q<m<p(2)已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图像关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a＋3)<(5－2a)的a的取值范围．[解]⑵因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，解得m<3，又m∈N*，所以m＝1,2.因为函数的图像关于y轴对称，所以3m－9为偶数，故m＝1，则原不等式可化为(a＋3)eq\s\up18(-\f(1,5))<(5－2a)eq\s\up18(-\f(1,5)).因为y＝xeq\s\up18(-\f(1,5))在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a＋3>5－2a>0或5－2a<a＋3<0或a＋3<0<5－2a，解得eq\f(2,3)<a<eq\f(5,2)或a<－3，a的取值范围为(－∞，－3)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(5,2))).方法总结幂函数的性质(1)在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图像都通过点(1,1)．(2)若α>0，则幂函数的图像通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．当0<α<1时，在第一象限内为抛物线形，且开口向右；当α>1时，在第一象限内为抛物线形，且开口向上．(3)若α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内为双曲线形，当x从右边趋向原点时，图像在y轴右方无限地逼近y轴；当x趋于＋∞时，图像在x轴上方无限地逼近x轴．当堂练习2(1)函数f(x)＝xeq\s\up18(-\f(1,2))的大致图像是()(2)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图像，已知n取±2，±eq\f(1,2)四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为()A．－2，－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，2 B．2，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，－2C．－eq\f(1,2)，－2,2，eq\f(1,2) D．2，eq\f(1,2)，－2，－eq\f(1,2)(1)A(2)B[(1)因为－eq\f(1,2)＜0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，排除选项B，C；又f(x)的定义域为(0，＋∞)，故排除选项D.(2)考虑幂函数的图像在第一象限内的增减性，注意当n>0时，对于y＝xn，n越大，y＝xn增幅越快，n<0时看|n|的大小．根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图像当n>0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝eq\f(1,2)，当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－eq\f(1,2)，曲线C4的n＝－2，故选B.]幂值的大小比较【例3】比较下列各组数中两个数的大小：(1)与；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))eq\s\up12(－1)与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))eq\s\up12(－1)；(3)与；(4)与思路探究](1)判断奇偶性⇒奇偶性定义．(2)求反函数⇒反解，改写，标注定义域．(3)对数不等式⇒构建不等式组⇒解不等式组⇒得出解集．【解】(1)因为y＝x是[0，＋∞)上的增函数，且eq\f(1,3)＞eq\f(1,4)，所以>.(2)因为y＝x－1是(－∞，0)上的减函数，且－eq\f(2,3)＜－eq\f(3,5)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))eq\s\up12(－1)＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))eq\s\up12(－1).(3)\s\up12(－\f(1,4))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(－\f(1,4))＝2eq\s\up6(\f(1,2))，＝因为y＝x是[0，＋∞)上的增函数，且2＜，所以2＜，即\s\up12(－\f(1,4))＜.(4)由幂函数的单调性，知，又y＝是减函数，所以，从而方法总结(1)比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数：①若指数相同而底数不同，则构造幂函数；②若指数不同而底数相同，则构造指数函数．(2)若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量．当堂练习3比较下列各组数的大小：[解](1)函数y＝xeq\s\up18(-\f(5,2))在(0，＋∞)上为减函数．∵3＜，∴3eq\s\up18(-\f(5,2))＞\s\up18(-\f(5,2)).(2)∵y＝在[0，＋∞)上是增函数，＜，∴又∵y＝在R上是减函数，＜，∴，即课堂小结1.幂函数y＝xα(α∈R)中，α为常数，系数为1，底数为单一的x.这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．幂函数与指数函数的解析式形同而实异，解题时一定要分清，以防出错．2．幂函数的图像特征及性质(1)幂函数在第一象限内的图像，在经过点(1,1)且平行于y轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的