空间向量与立体几何

实用标准文案一、知识点一>常用结论1．证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.2．证明直线与平面的平行的思考途径：（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.3．证明平面与平面平行的思考途径：（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.4．证明直线与直线的垂直的思考途径：（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.5．证明直线与平面垂直的思考途径：（1）转化为该直线与平面任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.6．证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.精彩文档实用标准文案7.夹角公式 ：设a＝ ，b＝，则cos〈a，b〉= .精彩文档实用标准文案．异面直线所成角：=精彩文档实用标准文案（其中（ ）为异面直线所成角，精彩文档实用标准文案分别表示异面直线的方向向量）精彩文档实用标准文案9.直线 与平面所成角：(精彩文档实用标准文案为平面的法向量).10.二面角 的平面角精彩文档实用标准文案或（ ，精彩文档实用标准文案为平面，的法向量）.精彩文档实用标准文案11.空间两点间的距离公式 若A ，B ，则=精彩文档实用标准文案.精彩文档实用标准文案异面直线间的距离：( 是两异面直线，其公垂向量为，精彩文档实用标准文案分别是上任一点，精彩文档实用标准文案为间的距离).精彩文档实用标准文案13.点 到平面的距离：精彩文档实用标准文案（ 为平面的法向量，是经过面精彩文档实用标准文案的一条斜线，）.三个向量和的平方公式：精彩文档实用标准文案15. 长度为 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 ，夹角分别为精彩文档实用标准文案,则有精彩文档实用标准文案.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例） .精彩文档实用标准文案116. 面积射影定理 .(平面多边形及其射影的面积分别是 、精彩文档实用标准文案，它们所在平面所成锐二面角的).117. 球的组合体(1)球与长方体的组合体 :长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长 .(2)球与体的组合体 :体的切球的直径是体的棱长 ,体的棱切球的直径是体的面对角线长 ,体的外接球的直径是体的体对角线长〈二〉温馨提示：1.在用反三角函数表示直线的倾斜角、 两条异面直线所成的角等时， 你是否注意到它们各自的取值围及义？精彩文档实用标准文案①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值围依次.精彩文档实用标准文案②直线的倾斜角、 到的角、与精彩文档实用标准文案的夹角的取值围依次是．精彩文档实用标准文案③反正弦、反余弦、反正切函数的取值围分别是．〈三〉解题思路：、平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：精彩文档实用标准文案线 面 平 行 的 判 定 ：线面平行的性质：精彩文档实用标准文案三垂线定理（及逆定理）：精彩文档实用标准文案线面垂直：精彩文档实用标准文案面面垂直：精彩文档实用标准文案精彩文档实用标准文案、三类角的定义及求法精彩文档实用标准文案（1）异面直线所成的角θ， 0°＜θ≤90°（2）直线与平面所成的角θ， 0°≤θ≤90°精彩文档实用标准文案精彩文档实用标准文案（三垂线定理法： A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。）三类角的求法：①找出或作出有关的角。②证明其符合定义，并指出所求作的角。③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。二、题型与方法【考点透视】不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成。求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。【例题解析】考点1 点到平面的距离求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用 .精彩文档实用标准文案例 1 如图，正三棱柱 的所有棱长都为，精彩文档实用标准文案为中点．精彩文档实用标准文案（ Ⅰ ） 求 证 ： 平 面；（Ⅱ）求二面角 的大小；精彩文档实用标准文案（ Ⅲ ） 求 点 到 平 面的距离．考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．精彩文档实用标准文案解答过程：解法一：（Ⅰ）取 中点， 连 结．精彩文档实用标准文案为 正 三 角 形 ，．精彩文档实用标准文案正 三 棱 柱中 ， 平 面精彩文档实用标准文案平 面，精彩文档实用标准文案平 面．精彩文档实用标准文案连 结 ， 在 形中 ，分别为精彩文档实用标准文案的 中 点 ，，．精彩文档实用标准文案在 形 中 ，，精彩文档实用标准文案平 面．精彩文档实用标准文案（ Ⅱ ） 设 与交 于 点， 在 平 面精彩文档实用标准文案中 ， 作于， 连 结精彩文档实用标准文案， 由 （ Ⅰ ） 得平 面．精彩文档实用标准文案，为 二 面 角的平面角．精彩文档实用标准文案在 中 ， 由 等 面 积 法 可 求 得，精彩文档实用标准文案又 ，．精彩文档实用标准文案所 以 二 面 角 的 大 小 为．精彩文档实用标准文案（ Ⅲ ） 中 ，，．精彩文档实用标准文案在 正 三 棱 柱 中 ， 到 平 面的 距 离 为．精彩文档实用标准文案设 点 到 平 面的 距 离 为．精彩文档实用标准文案由 ， 得，．精彩文档实用标准文案点到 平 面精彩文档实用标准文案的 距 离 为．精彩文档实用标准文案解 法 二 ： （ Ⅰ ） 取 中 点， 连 结．精彩文档实用标准文案为 正 三 角 形 ，．精彩文档实用标准文案在 正 三 棱 柱中 ， 平 面精彩文档实用标准文案平 面，精彩文档实用标准文案平 面．精彩文档实用标准文案取 中 点， 以为 原 点 ，精彩文档实用标准文案，，的 方 向 为精彩文档实用标准文案轴的向建立空间直角坐标系，则，，精彩文档实用标准文案，，，精彩文档实用标准文案，，．精彩文档实用标准文案，，精彩文档实用标准文案，．精彩文档实用标准文案平 面．精彩文档实用标准文案（ Ⅱ ） 设 平 面 的 法 向 量 为．精彩文档实用标准文案，．精彩文档实用标准文案，，精彩文档实用标准文案精彩文档实用标准文案令 得为 平 面的一个法向量．精彩文档实用标准文案由 （ Ⅰ ） 知 平 面，精彩文档实用标准文案为 平 面的法向量．精彩文档实用标准文案，．精彩文档实用标准文案二 面 角的 大 小 为．精彩文档实用标准文案（ Ⅲ ） 由 （ Ⅱ ） ， 为 平 面法向量，．精彩文档实用标准文案点到 平 面精彩文档实用标准文案的 距 离．精彩文档实用标准文案小结：本例中（Ⅲ）采用了两种方法求点到平面的距离 .解法二采用了平面向量的计算方法，把不易直接求的 B点到平面 的距离转化为容易求的点K到平面 的距离的计算方法， 这是数学解题中常用的方法； 解法一采用了等体积法， 这种方法可以避免复杂的几何作图， 显得更简单些，因此可优先考虑使用这一种方法 .考点2 异面直线所成的角此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角，然后通过解三角形来求角 .异面直线所成的角是高考考查的重点 .精彩文档实用标准文案例 2 、 如 图 ， 在 中 ，， 斜 边．精彩文档实用标准文案可 以 通 过以 直 线为 轴 旋 转 得 到 ， 且 二 面 角精彩文档实用标准文案的 直 二 面角 ． 是的中点．精彩文档实用标准文案（ I ） 求 证 ： 平 面 平 面；（ II ） 求 异 面 直 线精彩文档实用标准文案与所成角的大小．精彩文档实用标准文案思路启迪：（II）的关键是通过平移把异面直线转化到一个三角形 .解答过程：解法 1：（I）由题意， ，，精彩文档实用标准文案是 二 面 角是直二面角，精彩文档实用标准文案， 又，精彩文档实用标准文案平 面，精彩文档实用标准文案又 平 面．精彩文档实用标准文案平 面平 面．精彩文档实用标准文案（ II ） 作 ， 垂 足 为， 连 结精彩文档实用标准文案（ 如 图 ） ， 则 ，精彩文档实用标准文案是 异 面 直 线与所成的角．精彩文档实用标准文案在 中 ，，，精彩文档实用标准文案．又 ．精彩文档实用标准文案在中 ，．精彩文档实用标准文案异 面 直 线与精彩文档实用标准文案所 成 角 的 大 小 为．精彩文档实用标准文案解法2：（I）同解法 1．（II）建立空间直角坐标系 ，如图，则，精彩文档实用标准文案，，，精彩文档实用标准文案，，精彩文档实用标准文案．精彩文档实用标准文案异 面 直 线与精彩文档实用标准文案所 成 角 的 大 小 为．小结：求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：①平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；②补形法：把空间图形补成熟悉的几何体， 其目的在于容易发现两条异面直线间的精彩文档实用标准文案关系，如解析三 .一般来说，平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法 .同时要特别注意异面直线所成的角的围： .考点3 直线和平面所成的角此类题主要考查直线与平面所成的角的作法、证明以及计算 .线面角在空间角中占有重要地位，是高考的常考容 .精彩文档实用标准文案例 3. 四 棱 锥 中 ， 底 面为 平 行 四 边 形 ， 侧 面底 面精彩文档实用标准文案． 已 知，，精彩文档实用标准文案，．（Ⅰ）证明 ；精彩文档实用标准文案（ Ⅱ ） 求 直 线 与 平 面所成角的大小．精彩文档实用标准文案考查目的：本小题主要考查直线与直线 ,直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．精彩文档实用标准文案解答过程： 解法一：（Ⅰ）作 ，垂足为， 连 结， 由 侧 面精彩文档实用标准文案底 面，精彩文档实用标准文案得 底 面．精彩文档实用标准文案因 为 ， 所 以，精彩文档实用标准文案又 ， 故为 等 腰 直 角 三 角 形 ，，精彩文档实用标准文案由三垂线定理，得 ．（ Ⅱ） 由 （Ⅰ ） 知 ， 依 题 设，精彩文档实用标准文案故 ， 由，精彩文档实用标准文案，，得精彩文档实用标准文案，．精彩文档实用标准文案的 面 积．精彩文档实用标准文案连 结 ， 得的 面 积精彩文档实用标准文案设 到 平 面的 距 离 为精彩文档实用标准文案， 由 于，得精彩文档实用标准文案， 解 得．精彩文档实用标准文案设 与 平 面所 成 角 为精彩文档实用标准文案， 则．精彩文档实用标准文案所 以 ， 直 线 与 平 面所 成 的 我 为．精彩文档实用标准文案解法二：（ Ⅰ ） 作 ， 垂 足 为， 连 结精彩文档实用标准文案， 由 侧 面底 面， 得精彩文档实用标准文案平 面．精彩文档实用标准文案因 为 ， 所 以．精彩文档实用标准文案又 ，为 等 腰 直 角 三 角 形 ，．精彩文档实用标准文案如 图 ， 以 为 坐 标 原 点 ，为精彩文档实用标准文案轴 正 向 ， 建 立 直 角 坐 标 系，精彩文档实用标准文案，，，精彩文档实用标准文案，，精彩文档实用标准文案，， 所 以．精彩文档实用标准文案（ Ⅱ ） 取 中 点，，精彩文档实用标准文案连 结 ， 取中 点， 连 结精彩文档实用标准文案，．精彩文档实用标准文案，，．精彩文档实用标准文案，，与 平 面精彩文档实用标准文案两 条 相 交 直 线，垂直．精彩文档实用标准文案所 以 平 面，与精彩文档实用标准文案的 夹 角 记 为，与 平 面精彩文档实用标准文案所 成 的 角 记 为， 则精彩文档实用标准文案与互余．精彩文档实用标准文案，．精彩文档实用标准文案，，精彩文档实用标准文案所 以 ， 直 线 与 平 面所 成 的 角 为．精彩文档实用标准文案小结：求直线与平面所成的角时， 应注意的问题是（1）先判断直线和平面的位置关系； （2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：①构造——作出斜线与射影所成的角，②证明——论证作出的角为所求的角，③计算——常用解三角形的方法求角，④结论——点明直线和平面所成的角的值 .考点4 二面角此类题主要是如何确定二面角的平面角， 并将二面角的平面角转化为线线角放到一个合适的三角形中进行求解 .二面角是高考的热点，应重视 .例 4．如图，已知直二面角 ，，精彩文档实用标准文案，，，精彩文档实用标准文案， 直 线和 平 面精彩文档实用标准文案所 成 的 角 为．精彩文档实用标准文案（ I ） 证 明 ；（II）求二面角 的大小．精彩文档实用标准文案命题目的：本题主要考查直线与平面垂直、二面角等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力 .精彩文档实用标准文案过程指引：（I）在平面 过点作于 点精彩文档实用标准文案， 连 结．精彩文档实用标准文案因 为 ，， 所 以，精彩文档实用标准文案又 因 为 ， 所 以．精彩文档实用标准文案而 ， 所 以，，精彩文档实用标准文案从 而 ， 又，精彩文档实用标准文案所 以 平 面． 因 为平 面精彩文档实用标准文案， 故．精彩文档实用标准文案（II）解法一：由（I）知， ，又，，精彩文档实用标准文案， 所 以．精彩文档实用标准文案过 点 作于 点， 连 结精彩文档实用标准文案， 由 三 垂 线 定 理 知 ，．精彩文档实用标准文案故 是 二 面 角的平面角．精彩文档实用标准文案由 （ I ） 知 ， ， 所 以是和 平 面精彩文档实用标准文案所 成 的 角 ， 则，精彩文档实用标准文案不 妨 设 ， 则，．精彩文档实用标准文案在 中 ，， 所 以，精彩文档实用标准文案于 是 在 中 ，．精彩文档实用标准文案故 二 面 角 的 大 小 为．精彩文档实用标准文案解 法 二 ： 由 （ I ） 知 ，，，精彩文档实用标准文案， 故 可 以为 原 点 ， 分 别 以 直 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以 四 边 形精彩文档实用标准文案，都为平行四边形．精彩文档实用标准文案从