《随堂优化训练》年高中数学 第二章 2.3 2.3.2 等差数列的前n项和的性质配套课件 新人教A必修5

2．3.2等差数列前

n

项和的性质1．已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项的和S10＝()CA．138B．135C．95D．232．在等差数列{an}中，已知S15＝90，那么a8等于()A．3B．4C．6D．12

C3．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋…＋a101＝0，则有()CA．a1＋a101＞0C．a1＋a101＝0B．a1＋a101＜0 D．a51＝514．在等差数列{an}中，已知a6＝a3＋a8，则前9项和S9

等于()DA．3B．2C．1D．05．在等差数列{an}中，a3＋a9＝27－a6，Sn

表示数列{an}的前n项和，则S11＝()BA．18B．99C．198D．297重点等差数列前n项和的性质

(1)若{an}成等差数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，Skn－S(k－1)n，…(k≥2)也成等差数列．难点求等差数列的前n项和Sn

的最值

(1)根据项的正负来定：若a1＞0，d＜0，则数列的所有正数项之和最大；若a1＜0，d＞0，则数列的所有负数项之和最小．

等差数列的前n项和的性质及应用例1：等差数列{an}的前

m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为()A．30B．170C．210D．260思维突破：(1)把问题特殊化，即令m＝1来解．(2)利用等差数列的前n项和公式Sn＝na1＋n(n－1)

2d进行求解．(3)借助等差数列的前n项和公式Sn＝n(a1＋an)

2及性质m＋n＝p＋q⇒am＋an＝ap＋aq

求解．

(4)根据性质：“已知{an}成等差数列， 则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，Skn－S(k－1)n，…(k≥2)成等差数列”解题．

(5)根据Sn＝an2＋bn求解．

(6)运用等差数列求和公式，Sn＝na1＋n(n－1)

2d的变形式解题．解法一：取m＝1，则a1＝S1＝30，a2＝S2－S1＝70，∴d＝a2－a1＝40，a3＝a2＋d＝70＋40＝110，S3＝a1＋a2＋a3＝210.

由③－②及②－①结合④，得S3m＝210.

解法四：根据上述性质，知Sm，S2m－Sm，S3m－S2m

成等差数列． 故Sm＋(S3m－S2m)＝2(S2m－Sm)， ∴S3m＝3(S2m－Sm)＝210.解法五：∵{an}为等差数列，∴设Sn＝a·n2＋b·n，∴Sm＝am2＋bm＝30，S2m＝4m2a＋2mb＝100，∴S3m＝9m2a＋3mb＝210.解法六：由Sn＝na1＋n(n－1)

2d，B1－1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝()A．63B．45C．36D．27答案：C1－2.等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10，则S6等于()CA．12B．18C．24D．42等差数列前前n项和的最值值问题例2：在等等差差数数列列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求求Sn的最最值值．．等差差数数列列前前n项和和的的最最值值问问题题除除了了用用二二次次函数数求求解解外外，，还还可可利利用用下下面面的的方方法法讨讨论论：：①①若若d＞0，a1＜0，当当且仅仅当当an≤0且an＋1＞0时，，Sn有最最小小值值；；②②若若d＜0，a1＞0，当且且仅仅当当an≥0且an＋1＜0时，，Sn有最最大大值值．．取取最最值值时时，，应应考考虑虑n在正正整整数数范范围围内内取取值值．．由二二次次函函数数的的性性质质可可知知，，当n＝13时，，Sn有最最大大值值为为169.2－1.数列列{an}是首首项项为为23六项项为为正正，，第第七七项项为为负负．．(1)求数数列列的的公公差差；；(2)求前前n项和和Sn的最最大大值值；；(3)当Sn＞0时，，求求n的最最大大值值．．S6＝6×23＋，(2)∵d＜0，∴数列{an}是递减数列，又a6＞0，a7＜0，∴当n＝6时，Sn

取得最大值，6×5 2×(－4)＝78.(3)Sn＝23n＋n(n－1)

2×(－4)＞0，整理得：n(25－2n)＞0，∴0＜n＜25 2又n∈N*，所求n的最大值为12.等差差数数列列前前n项和和的的实实际际应应用用例3：一个个等等差差数数列列的的前前10项之之和和100，前前100项之之和和为为10，求求前前110项之之和和．．解法法一一：：设等等差差数数列列{an}的公公差差为为d，前前n项和和Sn，则则解法法二二：：设等等差差数数列列的的前前n项和和为为Sn＝An2＋Bn，解法法三三：：设等等差差数数列列的的首首项项为为a1，公公差差为为d，∴S110＝－－110.3－1.(2010年浙浙江江)等差差数数列列{an}的首项项为为a1，公公差差为为d，前前n项和和为为Sn，满满足足S5S6＋15＝0.(1)若S5＝5，求求S6及a1；(2)求d的取取值值范范围围．．例4：已知知一一个个等等差差数数列列{an}的通项公式an＝25－5n，求数列{|an|}的前n项和Sn.(2)∵S5S6＋15＝0，∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2＋9da1＋10d2＋1＝0.故(4a1＋9d)2＝d2－8.∴d2≥8.错因剖析：解本题易出现现的错误就是是：(1)由an≥0得，n≤5理解为n＝5，得出结论：：Sn＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝50(n≤5)，Sn＝(20－5n)(n－5)2；(2)把“前n项和”认为“从n≥6起”的和．事实上，本题题要对n进行分类讨论论．正解：由an≥0得n≤5，∴{an}前5项为非负，从第6项起为负，当n≥6时，4－1.已知Sn

为等差数列{an}的前n项和，Sn＝12n－n2.(1)求|a1|＋|a2|＋|a3|；(2)求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a10|；(3)求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.解：∵Sn＝12n－n2，∴当n＝1时，a1＝S1＝12－1＝11，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(12n－n2)－12(n－1)＋(n－1)2＝13－2