函数单调性讲义

学子教育学科教学案函数的单调性与最值问题.通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义;教学目标.能够熟练应用定义判断数在某区间上的单调性；教学目标.理解函数的最大(小)值及其几何意义；.学会运用函数图象理解和研究函数的性质.重点：函数的单调性及其几何意义；函数的最大(小)值及其几何意义；重点、难点 难点：用定义判断函数在某区间上的单调性；运用函数图象理解和研究函数的性质.考点及考试要求考点一：函数的单调性与最大(小)值(选择、填空、解答)考点及考试要求教学内容知识框架一、函数的单调性的定义.增减函数的定义：对于给定区间上的函数f(%)；如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值%，%，当％<%时，都有f(x)<f(x)，那么就说f(%)在这个区间上是增函数； 1212 1 2如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值%，%，当%<%时，都有f(%)>f(%)，那么就说f(%)在这个区间上是减函数。 12 12 1 2.用定义证明函数的单调性的步骤是：①在相应区间内任取自变量%<%2；②比较f(%)与f(%)的大小:作差(作商)一一变形一一判断符号(与1的大小)；③根据定义下结论：注明区间。二、求函数的单调区间.函数的单调区间：如果函数y=f(%)在某个区间上是增函数(或减函数)，就说f(%)在这一区间上具有(严格的)单调性，这一区间叫做f(%)的单调区间。.复合函数单调性：复合函数f[g(%)]的单调性与构成它的函数u=g(%),y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下表：函数单调性y=f(u)增增减减u=g(%)增减增减y=f[g(%)]增减减增说明：(1)①函数的单调性是函数的局部性质，是相对于区间而言的。②函数的定义域不一定是函数的单调区间，但函数的单调区间必是定义域的子区间。(2)复合函数y=f[g(%)]的单调规律是“同则增，异则减”，即f(u)与g(%)若具有相同的单调性则f[g(%)]必为增函数；若具有不同的单调性则f[g(%)]必为减函数。・ ・・・・・・・・・・・・・・・・ ・・・・・讨论复合函数单调性的步骤是：①求出复合函数的定义域；②把复合函数分解成若干个常见的基本函数，并判定其单调性；③把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围；④根据上述复合函数的单调性规律判定其单调性。(3)当一个函数的增区间(或减区间)有多个时，不能并起来，只能用逗号隔开。三、应用函数的单调性比较大小1、若函数f(x)在区间D上是增函数，a,beD，且f(a)<f(b)，则a<b；2、若函数f(x)在区间D上是增函数，a,beD，且f(a)>f(b)，则a>b；3、若函数f(x)在区间D上是减函数，a,beD，且f(a)<f(b)，则a>b；4、若函数f(x)在区间D上是减函数，a,beD，且f(a)>f(b)，则a<b。考点一：函数的单调性与最大(小)值典型例题题组一：利用定义证明函数的单调性八，、x+2 .1、判断函数f(x)=--在(-8,0)上的单调性并加以证明.x-12、求证函数f(x)=x+a(a>0)在(0,、:a)上是减函数，在Qa,+8)上是增函数。x3、函数f(x)=出在区间(-2'+8)上是增函数,求a的取值范围。题组二：基本初等函数单调性的应用.(1)已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-8,4］上是减函数，则实数a的取值范围是 .(2)已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2的递减区间是(-8,4］，则实数a的取值集合是..若函数y=(m-1)x2+mx+3(xeR)的图象关于y轴对称，则它的单调递增区间为 ;.函数J=-X2+|x|的递减区间是.求f(X)=X2一x一12的单调区间.已知f(X)=1ax2+2x(a中0),在［2,4］上是单调函数，求a的范围..求复合函数的单调区间：J=<x2-2x的递增区间是 .已知函数f(X)=x2+bx+c,对于任意实数t都有f(2+1)=f(2-1)，比较f(1),f(2),f(4)的大小。.函数J=Xx+2-6--x的值域为题组三：抽象函数的有关问题f(X)是定义在(0，+9)上的增函数，则不等式f(X)>f[8(x-2)]的解集..函数f(x)的增区间是(-4,7)，则j=f(x-3)的递增区间是()A、(-2,3) B、(-1,10) C、(-1,7) D、(4,10).已知函数f(x)在区间(0,+9)上是减函数，那么f(a2-a+1)与f(|)的大小关系为。{X2+4XX>0, 八，若f(2-a2)>f(a)，则实数a的取值范围是 。4X一X2X<0.已知函数f(x)在R上是增函数，若a+b>0,则()A. f(a)+f(b)>f(-a)+ f(-b) B. f(a)+ f(b)>f(-a)-f(-b)C. f(a)+f(-a)>f(b)+ f(-b) D. f(a)+ f(-a)>f(b)-f(-b).设(a,b),(c,d)都是函数f(x)的单调增区间，且\e(a,b),x2g(c,d),\<x2,则f(xj与f(x2)的大小关系是( )A、f(x1)<f(xJ B、f(x1)>f(xJ C、f(XJ=f(xJ D、不能确定.设f(x)是定义在(0,+9)上的增函数，f⑵=1,且f(XJ)=f(x)+f(J)，求满足不等式f(X)+f(X—3)<2的X的取值范围..设f(X)定义域为(0,+9)，且在(0,+9)上是增函数，f(-)=f(X)-f(y).y(1)求证：f(1)=0,f(Xy)=f(x)+f(y) (2)若f⑵=1,解不等式：f(x)-f(」)<2x+3.函数f(x)对任意的a,bgR，都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1，并且当x>0时，f(x)>1.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)=5，解不等式f(3m2-m-2)<3..定义在R上的函数满足：当-<0时，f(X)>1,f(0)丰0，对于任意实数X,y，都有f(x+y)=f(x)•f(y)。(1)当X>0时，求证0<f(X)<1；(2)求证：f(x)是R上的减函数；(3)解不等式：f(X-4)-f(x2+2x)>1知识概括、方法总结与易错点分析

知识点：函数的单调性方法总结：图像法易错点：函数的单调性的应用针对性练习1.函数的增区间是()。B.C.SV1.函数的增区间是()。B.C.SVD.MN)./⑴二八次—工+2在S川上是减函数，则a的取值范围是()。A.a<A.a<-3C.口三5D.厘之TOC\o"1-5"\h\z.当"兰1时，函数〃="工+2"+1的值有正也有负，则实数a的取值范围是( )a>—- -1<£i -1<£1 —A.3B.岸工—1C. 3d. 3.若函数f(x)在区间(a,b)上为增函数，在区间(b,c)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a,0)上( )(A)必是增函数(C)是增函数或是减函数(B)(D)必是减函数无法确定增减性5.已知函数f((A)必是增函数(C)是增函数或是减函数(B)(D)必是减函数无法确定增减性5.已知函数f(x)=ax,(a-3)x+4a,x<0,xN0.满足对任意xi^x2,都有f(x)—f(x)1 2x—x12<0成立，的取值范围是 ()A.(0,3) B.(1,3)C.(0,， D.(-8,3).函数f(x)在区间(一2,3)上是增函数，则y=f(x+5)的递增区间是 ( )A.(3,8) B.(-7,-2) C.(—2,3)D.(0,5).已知定义域为R的函数f(x)在区间(-%5)上单调递减，对任意实数t,都有f(5+1)=f(5-1)那么下列式子一定成立的是A.那么下列式子一定成立的是A.f(-1)<f(9)<f(13)C.f(9)<f(-1)<f(13)()B.f(13)<f(9)<f(-1)D.f(13)<f(-1)<f(9).已知一")在定义域内是减函数，且,(门>口,在其定义域内判断下列函数的单调性:①/= (厘为常数)是；②y二注一义工)(厘为常数)是；③ ,㈤是；④，:卜(对1是..函数f(x)=ax2+4(a+1)x—3在［2,+8