函数、方程与不等式教学设计

教学基本信息课题函数与方程、不等式是否属于地方课程或校本课程否学科数学学段：初中年级九年级相关领域初三复习课教材书名：出版社：出版日期： 年月指导思想与理论依据建构主义学习理论认为：学习是一个积极主动的建构过程。学生不是被动地接受外在信息，而是根据原有知识背景、个人活动经验自主建构自己对数学知识的理解的过程，突出学习者的主体作用，数学学习过程是一个富有个性、体现多样化学习需求的过程，同时又是与他人交流和反思后生成对数学的理解的过程。学生在主动建构知识的过程中不断地修正，调整自己的认识，以达到对事物的理解。课程标准指出：“数学知识的教学，应注重学生对所学知识的理解，体会数学知识间的关系。”“教师应揭示知识的数学实质及体现的数学思想，帮助学生理清相关知识之间的区别和联系等”“数学知识的教学，要注重知识的“生长点”与“延伸点”……，体会对某些数学知识可以从不同的角度加以分析，从不同的层次进行理解”。本节课是节初三复习课，关于复习课我的思考：复习课不是知识简单的重复，而是知识逻辑体系整理的机会，复习的主要任务及目标是完成各部分知识的条理、归纳、糅合，使各部分知识成为一个有机的整体。出于以上思考设计了本节课，通过问题解决搭结构，探究函数、方程与不等式之间的联系，在问题解决中，引导学生换个角度思考，体会知识间的联系，并通过转化解决问题。最终体会函数、方程与不等式三者实际上本质相同，即在不同背景下对同一事情的不同表达。教学背景分析教学内容：函数与方程、不等式在初中数学教学中有重要地位，初中代数内容“方程”、“函数”是核心。同时函数又是代数的“纽带”，代数式、方程、不等式等都与函数知识有直接的联系。中考考试说明对于函数一章的C级要求是“能解决函数与其他知识结合的有关试题，。函数与方程、不等式的综合题，历年来是中考热点之一，主要采用以函数为主线将函数图象、性质和方程及不等式的相关知识进行综合运用，渗透数形结合和转化的思想方法。函数、方程、不等式的结合，是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式，体现了一般到特殊的观念。也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系。如：代数式2a2+3a+1，可以看成是函数y=2x2+3x+1在x=a时的值；方程ax2+bx+c=0的根可以看成是函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标；不等式ax2+bx+c<0的解，可以看作在x轴下方的函数y=ax2+bx+c的图象上的点的横坐标。理解这三者之间的联系，会为学生解决问题提供优化的解题方法和策略。学生情况：该班学生的学习能力较强，有良好的学习习惯，乐于思考，喜欢探索。课堂参与意识浓厚，喜欢和同伴分享、交流想法，乐于尝试多种方法解决问题，思维灵活。从知识和技能层面来看，学生对函数、方程与不等式的基本经验是：已具备从函数角度去看方程、不等式的基本经验，但是体会不深刻，对于具体题目，不会主动构造函数，并利用函数解决问题；另外从方程、不等式角度看函数认识不深。鉴于以上设计本节课，根据本班学生的学习特点，充分发挥学生学习的主动性和积极性，采用问题探究情境梳理三者的联系，探究三者的本质，在例题中深化对三者本质的认识，以及转化应用，完成对知识的系统梳理。教学方式：启发式教学，问题情境教学教学手段与技术准备：学习用具：一副尺规和学案等。教学用具：投影仪、课件、三角板等。教学目标（内容框架）教学目标：.知识与技能：通过对问题的探究，逐步理解函数、方程与不等式间的本质联系。学会用三者的联系转化解决问题。.过程与方法：在问题解决中，经历思考、观察、发现、总结提升等探究过程，并逐步形成通过相互转化获取解题策略。.情感、态度与价值观：在问题解决中，感受数学问题的挑战性，并体验问题解决后的成就感。教学重点与难点：教学重点：运用函数、方程与不等式的联系解决问题。教学难点：在具体问题情境中三者如何转化帮助解决问题。教学过程（文字描述）环节一：问题情境中探究函数、方程与不等式的联系，理解三者本质联系；环节二：在具体情境中体会怎样转化帮助获取解题策略，进而深化对三者联系的认识;环节三：课堂检测反馈学生对所学掌握情况。教学过程（表格描述）教学阶段教师活动学生活动设置意图时间安排创设情境引入：今天这节课我们一起复习函数、方程与不等式。这三者之间有什么联系？知道它们的联系对我们解题有什么帮助？提出问题：学习方程和不等式时我们重点学习和研究的是它们的什么？它们与函数之间又有什么联系？板书：方程（解）函数（图象）不等式（解集）思考回答：方程重点学习的是解方程，不等式重点学习的是解不等式。开门见山引入课题，使学生明确探究目标。2分钟温故知新【问题1】解方程％2—%—2=0。学生口答：x=2,x=—1.温故引新【问题2】用图象求方程》2-%—2=0的近似解。提出问题：谁有图象？怎样从方程中构造函数？思考作答：构造方法一：令y=%2—%—2,y=0创设问题情境，探究函数与方程间

新课讲解还可以怎样构造？进一步探究：从数上看，方程的解转化为找函数的什么？从形上看，图象上哪些点的函数值相等，此时方程的解是谁？板书：解方程还可以通过找图象交点的横坐标来求解。横向探究：观察函数y1=x2-x—2和y2=0图象的交点，我们知道当x取交点的横坐标时，函数值相等。想~*相：：：：当x取别的值时，对应两函数图象上的点什么特点？观察x取何值时，抛物线上的点在x轴上方？x取何值时，抛物线上的点在x轴下方？这反映了什么？板书：我们还可以利用函数的图象解对应的不等式。怎样利」用图象解不等式呢？此时不等式的解集中的边界值2,-1，在对应方程中是谁？在函数图象上又是谁？（黑板上用红笔画虚线x一2，x一1表示边界）观察函数y1一x2,y2=x+2的图象，你能找到哪个方程的解？你怎么找到的？你能解不等式x2>x+2吗？怎样解？小结：通过刚才的探究，你发现方程的解，不等式的解集与函数图象间有什么联系？归纳：方程的解、函数图象交点的横坐标与不等式的解集不同背景下本质相同。在方程背景下是解，在函数图象背景下是图象交点的横坐标，在不等式背景下是解集的边界值。构造方法二：原方程变形为：x2=x+2令y一x2,y=x+2在网格纸中画图，探究怎样用图象来找方程的解。观察作答：当x取相同的值时，可能抛物线上的点在x轴上方；也可能抛物线上的点在x轴的下方。迁移运用：解不等式x2>x+2,转化求当x取何值时，抛物线的图象在直线的上方。观察图象，应在交点横坐标的外侧。尝试归纳：方程的解，是函数图象交点的横坐标，是不等式解集的边界。反之亦然。联系。横向探究函数与不等式间的联系，同时沟通方程与不等式间的联系。迁移运用，怎样利用函数图象找对应方程的解，不等式的解集。10分钟例1. 出示方程x3-x-1一0。思考：如何解方程？4

（1）判断方程了3—%—1=0有几个解？（2）求方程了3—%—1=0的近似解（结创设认知冲突一：不能果保留两个有效数字）用常规代数提示：函数y=了3的图象如下：尝试利用函数图象解方程。法解方程？怎么办？冰4-3-2-交流分享想法17-4-3-2-1 234x在思考中寻求新的解题l-2-策略，体会-3-运用函数图I 1 I 象解方程适用的问题情境。小结：完善如何运用函数图对于常见的方程如：一元一次方程，一兀二象解方程，以及体会何次方程我们会采用代数法求解；对于本题中时运用函数图象解方的这些高次方程我们不能用常规方法求其解，利用图象法可以直观明了了解方程有几个解，并通过交点横坐标找出解的近似值。程的问题情境。创设认知冲突二：可以例2. 设一元二次方程（了—1）（了-2）=m用常规方法解题，但太的两实根分别为a,P，且a〈P,独立思考，寻求解题突复杂，怎么办？则a,P满足（）破。A.1<a<P<2 b,1<a<2<P同伴交流，分享经验。尝试构造函数，把求方C.a<1<0<2 d,a<1且0>2板书演示，共享解题策程的解转化为找函数图小结：借助函数图象来研究对应方程根的情略获取过程。象交点的横况，常使复杂问题迎刃而解。坐标。完善对函数18引导交流：目前解方程有几种方法？图象解题的分什么情况下会用函数图象解方程？归纳完善认识，分享交认识。对函钟运用函数图象怎么样帮助我们巧妙解题？流经验。数图象的解题策略从要实践操作5

例3. 如图是一次函数J1-kx+m和二次函数J-ax2+bx+c的图象。2AP :观察图象，你能找到哪些方程的解，哪些不等式的解集？它们的解，解集分别是什么？变式已知一次函数J-kx+b，和二次函数J-x2—2x—3，若只有当—2Vx<2时，kx+b>x2—2x—3。求这个一次函数的解析式。引导题后反思：.解题过程中你的困难是什么？.解题突破是什么？.你是怎样转化运用题目中的条件"-2<x<2"？回顾解题过程你有什么收获？看图获取信息，发现问题并解决问题。独立思考获取解题策略同伴交流解题经验演示交流共享解题经验思考回答，及时归纳总结解题经验。我用，内化为我要用。创设开放性问题情境，从要我解题，变为我来发现问题，并解决问题。深化从函数图象怎样解方程，怎样寻求不等式的解集。沟通知识间的联系，解决三者去和来的问题，把题目条件中的不等式信息，转化为函数图象交点的横坐标。进而深化对三者本质联系的认识。分享交流.函数、方程与不等式间有什么联系？.怎样利用三者的联系解题？同伴交流，完善认知。归纳总结2分钟效果评价完成课堂检测题：独立完成课堂检测反馈8分钟学习效果评价设计评价方式.目标达成评价.学生情感态度评价评价量规.目标达成评价量规：在探究三者联系的环节，绝大部分同学能明了三者的本质联系；在例题解题环节，绝大部分同学能尝试运用三者的联系并转化条件解题；在课堂检测反馈环节，95%以上同学能正确完成检测题。.学生情感态度评价量规：在探究三者联系的环节，绝大部分同学能主动探究三者联系；在例题解题环节，解题遇到问题，能积极探求解题突破，寻求解题策略；在课堂检测反馈环节，积极主动完成题目，检测反馈所学。本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点（300-500字数）.通过问题搭建结构，沟通知识间联系以问题“用图象求方程x2-x-2=0的近似解。”浅入，探求从函数图象角度求方程解的方法，在此基础上沟通函数与方程的联系，利用函数图象提供了解方程的一种方法；反过来求函数图象交点坐标，可以借助解方程（组）来得到。进而通过研究图象上除交点外其他点的关系，得到解不等式方法。从而深出得到函数、方程与不等式三者间联系，完成知识间逻辑体系整理。.问题解决中建构认识，内化为己用创设用以往知识或经验不能解决问题的情境，为所学提供应用的土壤，在问题解决中体会、获取解题经验，深化对三者本质联系的认识。深入的解决棘手问题，浅出的体会三者的内在联系，并在问题解决中，体会知识间的去与来，经历“要我用”为“我要用”的过程，在具体问题中内化为己用，完成对三者本质联系的建构过程。课后反思因在八年级学过从函数角度看函数、方程与不等式，所以学生已经具备关于函数、方程与不等式的基本经验，知道可以用函数图象解方程与不等式，但仅限于知道，认为提供了解方程、不等式的一种方法，一种函数观点研究问题的视角，在实际解题中尤其需要用函数图象（题目没明显要求，如例2）来解题，或需要用函数图象解题但还是有同学转化为代数方法来解题（如2008北京中考23（3）），不会主动用函数图象来解题。所以本节课设计意图是通过问题探究建构知识间的联系，并通过解题应用内化为认知，从而从“要我用”变为“我要用”从整堂课来看，学生经历了搭建知识联系的过程，以及运用联系转化寻求解题策略的过程，从课上例题的解答，以及课后检测看，学生95%都能正确解答，但课堂上尤其前面搭建知识联系的过程，学生们还是过于沉闷，老师说的过多，是什么原因？难道仅仅是因为紧张？下面截取课堂表现以及课后老师的交流，进行反思，并提出改进建议，以期完善教学。.课堂微观表现被动亦步亦趋的参与从提出课题“函数与方程、不等式间有什么联系？明了这些联系对我们解题有什么帮助？”到构建联系完成用时大概15分钟，学生的主要参与是通过引导发现可以从方程中构建函数，然后在网格纸中画函数图象，通过找图象交点的横坐标完成解题。进而在教师引导下发现，除交点外，对于相同的x，对应的两个函数值存在大小关系，从而找到不等式的解集。最后在老师的强调下发现这三者的本质联系。老师我有新方法在例1.寻求方程x3-x-1=0有几个解，并求出它的近似解的解答中，李泓锟同学给出的解法是：由题知x丰0，（所以两边同除以x），得：x2-1-1=0x-T1（移项）得：x2-1=-x1这样求方程x3-x-1=0的解，转化为找函数y=x2-1与函数y=图象交点的横坐标。x学生的一句“牢骚”话课后贺思锦同学与我聊：“老师，这节课不好玩，我都快睡着了，您平时多幽默啊，忒没意思，您以后可别这么上。”听课老师的话李老师，说的多了，给学生的思考时间不够。.课后反思--“老师，让我们来解谜”一节课知识完成了，学生基本上也能解题了，但就是感觉哪儿别扭，缺少了数学的灵动之美。为什么贺思锦同学这么说？李泓锟同学的方法怎么得来的？是受前面构建联系后的启示吗？例题解题环节学生们的热情哪儿去了？为什么问题没有激发火花？带着这些问题进行了思考，加上与培训组老师的交流，以及冯启磊老师的点拨，我想这源于复习引入时我出了个迷，但却没没给学生们解谜机会，我带着他们，并告诉他们谜底是怎么来的。有了谜底，后面的例题，只不过就是套谜底，因为前面的学习，已经为学生铺好了台阶，向他们暗示了解决问题的方向。虽然也有解出题目的成就感，但少了解谜的探索与参与，后面的乐趣减低了很多。对于学生来说，见到一道题最有兴趣的是什么？那就是未解谜底时的新鲜感，没头没脑时的那种焦虑感，找到解题方法之后的兴奋感，经历了探索过程，但没找到方法，但通过交流时的顿悟…，只有这种感觉才能让他们真正获得成功的体验---成就感。皮亚杰认为，儿童有一种与生俱来的探索精神和好奇心，具有理解客观世界的内在欲望，这便是其探究世界的内部动机。正是这个内在动力驱使儿童主动、积极地发现知识。至于如何获得新知识，皮亚杰的认知建构主义理论认为，儿童通常是在自身经验的基础上建构自己的知识。如果教师仅仅是给学生解释概念，那么学生掌握的也不过是“死的知识”，因而，学生需要亲身探索和经历事物的机会。另外，在考试时，没有我们为他们引路，真正考察他们的就是这种自己迁移知识的能力，也就是发现问题，通过以往解题的经验，或分析解决问题的相关知识点，从而分析解决问题，这对于学生来说也是最难得的。很多学生就是拿到题目之后无从下手或眉毛胡子一把抓乱了套路，这些困难和问题应该是我们在复习课要突破的难点，消除的障碍。所以，把问题或题目交给学生，让他们按照自己的想法去做，在做的基础上提出自己的问题，在此基础上，老师再把复习的知识点作为一种友情提示，在他们最需要的时候给他们效果应该会更好。所以在课堂上，老师要放手，给机会让学生自己去解谜。.教学设计改进探究联系环节一改为：问题1：解方程%2-%-2二0。问题2：解方程％3-%-1二0。【设计思想】提出用常规方法解决不了的问题，让学生想招儿，运用已有知识或经验来解题，在此基础上交流分享方法与经验：如遇到棘手问题时怎么分析解决(包括信念上，具体方法上)获取如何解题的策略；在具体解法上获取如何构建适合的函数，如何把解方程转化为找函数图象交点的横坐标。让学生体会用函数图象解方程方法存在的必要性，并且沟通函数与方程的联系。探究联系环节二改为：问题3：通过刚才解题我们发现可以利用函数图象解方程，那利用刚才函数图象可以解哪个不等式？你是怎样解的？【设计思想】唤醒已有的解题经验，沟通函数与不等式的联系。探究联系环节三：函数与方程、不等式之间有什么联系？对我们解题有什么帮助？【设计思想】收获解题经验，归纳三者的初步联系：函数图象提供了解方程和不等式的方法。实践操作例1.设一元二次方程(%-1)(%-2)=m的两实根分别为a,P，且a<p，则a,0满足()A.1<a<0<2b,1<a<2<0

C.a<1<p<2 d,aV1且0>2【设计思想】构建应用联系的问题情境，内化知识为解题策略。例2,已知一次函数y=kx+b，和二次函数y=x2—2x