高中数学空间几何体

． 空间几何体的三视图和直观图 中心投影与平行投影 空间几何体的三视图 空间几何体的直观图知识导图学法指导图的画法，这是画空间几何体的直观图的基础．．会用斜二测画法画出简单几何体的直观图．．充分利用直观图的作图规则，顺利实现实物图与直观图之间的转化．高考导航掌握直观图的画法是学好立体几何的基础，必须熟练、准确地掌握常见几何体的直观图的画法．学习过程中要重点把握直观图与原图形之间的关系.知识点一 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤知识点二 立体图形直观图的画法用斜二测画法画空间几何体的直观图时，与平面图形相比只多了一个

轴，其直观图中对应于

轴的是

′轴，平面

′′′表示

′′′和

′′行于

轴或在

轴上的线段，其平行性和长度都不变．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．2．用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角画

45

°(或

135

°小试身手．判断下列命题是否正确．正确的打“√”，错误的打“×”用斜二测画法画水平放置的∠

的两边分别平行于

轴和

轴，且∠＝，则在直观图中，∠＝ 用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变． ☆答案☆：× ×．水平放置的梯形的直观图是 A．梯形 B．矩形．三角形 ．任意四边形解析：斜二测画法的规则中平行性保持不变，故选A.☆答案☆：A．利用斜二测画法可以得到：①水平放置的三角形的直观图是三角形；②水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形；③水平放置的正方形的直观图是正方形；④水平放置的菱形的直观图是菱形．以上结论正确的是 A．①② B．①．③④ ．①②③④解析：根据斜二测画法的规则可知①②正确；对于

③④，只有平行于

轴的线段长度不变，所以不正确．☆答案☆：A．如图，矩形

′′′′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中

′′＝

，′′＝

，则原图形是 A．正方形B．矩形．菱形．一般的平行四边形解析：如图，在原图形

中，应有

＝′′＝×

＝

，＝′′＝

，所以

＝ ＋＝

＋＝

，所以

＝，故四边形

是菱形，故选

C.☆答案☆：类型一 水平放置的平面图形的直观图的画法例 画一个锐角为的平行四边形的直观图尺寸自定．【解析】 画轴：

如图

所示，以直线

为

轴，线段

的垂直平分线为

轴，建立直角坐标系

，再建立斜坐标系′′′，使∠′′′＝，如图

上取

′′＝，过

′作

′′∥′轴，上取

′′＝，过

′作

′′∥′轴，且

′′＝，如图

连线：连接

′′，′′，如图

′′′′即为一个锐角是的平行四边形

的直观图.以直线

AB

为

AB

的垂直平分线为

系

，再建立斜坐标系

′

′

′，利用斜二测画法画直观图．方法归纳在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，便于画点；原图中的共线点，在直观图中仍是共线点；原图中的平行线，在直观图中仍是平行线．跟踪训练

画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．解析：在已知的直角梯形

中，以底边

所在直线为

的腰

所在直线为

的

′轴和

′轴，使∠′′′＝，如图①②所示．在

′轴上截取

′′＝

′轴上截取

′′＝，过点

′作

′轴的平行线

l，在

l

上沿

′轴正方向取点

′使得′′＝.连接

′′，如图②.所得四边形

′′′′就是直角梯形

的直观图．如图③.观察图形先以

为

轴，

为

轴建平面直角坐标系，再用斜二测画直观图．类型二 立体图形的直观图的画法例

画正六棱柱

ABCDEF－′′′′E′F′的直观图尺寸自定．＝＝

，分别过点M，N

作

ED∥，＝＝

，分别过点M，N

作

ED∥，∥，ED＝＝，点

，使∠＝，∠＝②

轴上取

＝

轴上取

且

M，N

分别为

DE，

的中点．连接

，，EF，，得到正六棱柱的底面直观图

ABCDEF.③画侧棱．在六边形ABCDEF

所在平面的同侧过点

，，，，E，F

分别作

轴的平行线，在这些平行线上分别截取

′，′，′，′，EE′，FF′都等于侧棱长．④成图．顺次连接

′，′，′，′，E′，F′，并加以整理去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线就得到正六棱柱的直观图，如图所示.建立坐标系，根据画轴、画底面、画侧棱的顺序画直观图．方法归纳画柱体、锥体的直观图的步骤①画轴：通常以高所在直线为′轴建系．②画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面．③确定顶点：利用与

′轴平行或在

′轴上的线段确定有关顶点．④连线成图．画台体的直观图的步骤为中点，在

′轴上取

为中点，在

′轴上取

′′＝，在

′轴上取

M′N′＝MN，①画轴：通常以高所在直线为′轴建系．②画下底面．③画高，画上底面．④连线成图．跟踪训练

用斜二测画法画出六棱锥P－ABCDEF

中底面

ABCDEF

为正六边形，点P

在底面上的投影是正六边形的中心尺寸自定．解析：画出六棱锥

P－ABCDEF

的底面．①在正六边形

ABCDEF中，取

所在的直线为

轴，线段

的中垂线为

轴，两轴相交于点

如图，画相应的

′轴、′轴、′轴，三轴相交于点

′，使∠′′′＝，∠′′′＝如图；②在图中，以′以点

N′

′′∥′

′′＝

M′为中点，画

E′F′∥′轴，且

E′F′＝EF；③连接

′′，′′，′E′，F′′，得到正六边形

ABCDEF

水平放置的直观图′′′′E′F′.画正六棱锥P－ABCDEF′轴的正半轴上取点P′，点

P′异于点

′.P P P P PP′′，′′，′′，′′，′P P P P P并擦去

′轴、′轴和

′锥

P－ABCDEF

的直观图

P′－′′′′E′F′如图．建立坐标系，根据画底面、确定顶点、连线的顺序画直观图．类型三 直观图与原平面图形的面积关系例

如图所示，四边形

是一个梯形，∥，＝＝

为等腰直角三角形，

为

的梯形

的直观图的面积．作

′E′⊥′′于

E′，如图所示，在直观图中，′′＝作

′E′⊥′′于

E′，如图所示，在直观图中，′′＝的面积为×＋×

＝

.＋× 积为

×＝

.放置的梯形

的直观图仍为梯形，且上底和下底的长度都不变，＝

′′′′的高

′E′＝

′′′′ 方法二 因为梯形

的面积为 ＝

研究直观图的面积问题时，一定要注意：画三角形的直观图时，不仅是

′轴与

′轴的夹角也变为

或

，因此直观图中三角形的高不是原来高的一半．方法归纳解答此类题目的关键是首先要能够将水平放置的平面图形的直观图还原为原来的实际图形，其依据就是逆用斜二测画法，也就是使平行于

轴的线段长度变为原来的倍．求直观图的面积的关键是依据斜二测画法，求出相应的直观图的底边和高．在原来实际图形中的高线，在直观图中变为与水平直线成

即可．跟踪训练

已知水平放置的△

按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中

′′＝′′＝，∠′′′＝，则△

的面积为________．解析：∵∠′′′＝，′′＝′′＝，∴′′＝eq

\o\ac(△,，)∴

的高为

eq

\o\ac(△,，)∴

的面积为××＝☆答案☆：由斜二测画直观图，还原原图再计算．基础巩固

分钟，

分一、选择题每小题

分，共

分．关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是 A．原图形中平行于

轴的线段，其对应线段平行于′轴，长度不变B．原图形中平行于

轴的线段，其对应线段平行于

′轴，长度变为原来的．在画与直角坐标系

对应的

′′′时，∠′′′必须是

．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同解析：在画与直角坐标系

对应的

′′′时，∠′′′可以是

，也可以是

☆答案☆：．

山东日照校级检测在画水平放置的平面图形时，若在原 A．平行且相等 B．平行不相等．相等不平行 ．既不平行也不相等解析：在原图形中平行且相等的线段在直观图中保持平行且相等．☆答案☆：A．如图所示的直观图的平面图形是 A．等腰梯形B．直角梯形．任意四边形．平行四边形解析：由斜二测画法知，

⊥，∥，因此具有如图所示直观图的平面图形是直角梯形．☆答案☆：B．已知一条边在

轴上的正方形的直观图是一个平行四边形，此平行四边形中有一边长为，则原正方形的面积是 A． B．．

或

．以上都不对解析：根据直观图的画法，平行于

轴的线段长度不变，平行于的边如果平行于′轴，则正方形的边长为

，面积为；长为

的边如果平行于

′轴，则正方形的边长为

，面积为

☆答案☆：．若用斜二测画法把一个高为

的圆柱的底面画在′′′平面上，则该圆柱的高应画成 A．平行于

′轴且长度为

B．平行于

′轴且长度为

．与

′轴成

且长度为

．与

′轴成

且长度为

解析：平行于

轴的线段，在直观图中平行性和长度都不变，故选

A.☆答案☆：A二、填空题每小题

分，共

分．已知正三角形

的边长为 ，那么△

的直观图eq

\o\ac(△,A)′′′的面积为________．′′＝＝

′′＝＝

′′＝′′＝

×

＝

从图②可知，′′＝＝， ，4.＝′＝′′·

′′＝××

＝

eq

\o\ac(△,A)

4.☆答案☆：

＋，高为

，故面积为＋，高为

，故面积为×＋

＋×＝＋

.∠

＝

，

＝

＝

，⊥，则这个平面图形的面积为________．解析：

＋

☆答案☆：．一条边在

轴上的正方形的面积是

，按斜二测画法所得的直观图是一个平行四边形，则这个平行四边形的面积是________．解析：正方形的面积为

，则边长为，由斜二测画法的规则，知平行四边形的底为

，高为

，故面积为

☆答案☆：

三、解答题每小题

分，共

分．将图中所给水平放置的直观图绘出原形．解析：．画棱长为

的正方体的直观图．解析：作水平放置的正方形的直观图，使∠＝，＝

，＝

过点

作

′轴，使∠′＝，分别过点，，，，沿′轴的正方向取

＝＝＝＝

连接

，，，如下图①，擦去辅助线，把被遮住的线改为虚线，得到的图形如下图②就是所求的正方体的直观图．能力提升

分钟，

分．已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为

m，四棱锥的高为

m．如果按

的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为 A．

B．

．

．

解析：由比例尺可知，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为

和

，再结合直观图的画法，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为

，

☆答案☆：如图为△

水平放置的直观图△′′eq

\o\ac(△,O)′，由图判断 中，，，，

由小到大的顺序是______________________．解析：由题图可知，△

中，＝，＝，＝

，＝

☆答案☆：<<<eq

\o\ac(△,13)．用斜二测画法画出图中水平放置的

的直观图．过点

M′作

M′′∥′过点

M′作

M′′∥′轴，取

M′′＝.连接

′′，′′，直于

的直线分别为

轴与

作

垂直

轴于点

M，如图

另选一平面画直观图，任取一点

′，画出相应的

′轴、′轴，使∠′′′＝在

′轴上取点

′，M′，使

′′＝，′M′＝，如图

擦去辅助线，则 eq

\o\ac(△,O)′′′为水平放置的△

的直观图．．一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆