2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：15锐角三角函数（含解析）

2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：15锐角三角函数一．选择题（共13小题）1．（2022•椒江区校级二模）如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形顶点上，则图中∠ACB的正切值为（）A．23 B．13 C．22 2．（2022•鹿城区校级模拟）某滑梯示意图及部分数据如图所示．若AE＝1m，则DF的长为（）A．tanαtanβ B．tanβtanα C．sinβsinα 3．（2022•鹿城区校级二模）如图，梯子AB＝AC＝l，∠ACB＝α，两梯脚之间的距离BC的长为d．则d与l的关系式为（）A．d＝l•sinα B．d＝2l•cosα C．d＝2l•sinα D．d＝l•cosα4．（2022•婺城区模拟）如图，小华在课外时间利用仪器测量红旗的高度，从点A处测得旗杆顶部B的仰角为α，并测得到旗杆的距离AC为m米，若AD为h米，则红旗的高度BE为（）A．（mtanα+h）米 B．（mtana+hC．mtanα D．mtana5．（2022•景宁县模拟）如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示tanα的值，错误的是（）A．CDBD B．ACBC C．CDAC 6．（2022•浦江县模拟）某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置AB绕点O旋转A′到A′B′的位置，已知OA＝a米，若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆最外点A升高的高度为（）A．atanα米 B．acosα米 C．asina米 D．asinα7．（2022•鹿城区校级三模）铁路道口的栏杆如图．已知栏杆长为3米，当栏杆末端从水平位置上升到点C处时，栏杆前端从水平位置下降到点A处，下降的垂直距离AD为0.5米（栏杆的粗细忽略不计），上升前后栏杆的夹角为α，则栏杆末端上升的垂直距离CE的长为（）A．(3tanα-0.5)米 BC．（3tanα﹣0.5）米 D．（3sinα﹣0.5）米8．（2022•温州校级模拟）为了疫情防控工作的需要，某学校在学校门口的大门上方安装了一个人体体外测温摄像头，摄像头到地面的距离DE＝2.7米，小明身高BF＝1.5米，他在点A测得点D的仰角是在点B测得点D仰角的2倍，已知小明在点B测得的仰角是a，则体温监测有效识别区域AB的长为（）米．A．65tanα-65tan2α BC．65tan2α9．（2022•西湖区模拟）如图，边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、E在格点上，连接AE、BC，点D在BC上且满足AD⊥BC，则∠AED的正切值是（）A．12 B．2 C．52 D10．（2022•杭州模拟）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝2，∠BOC＝α，则OA2的值为（）A．4tan2α-4 B．sin2α﹣4 C．4sin2α11．（2022•乐清市一模）如图，一只正方体箱子沿着斜面CG向上运动，∠C＝α，箱高AB＝1米，当BC＝2米时，点A离地面CE的距离是（）米．A．1cosα+2sinα C．cosα+2sinα D．2cosα+sinα12．（2022•洞头区模拟）如图1是放置在水平地面上的落地式话筒架．图2是其示意图，主杆AB垂直于地面，斜杆CD固定在主杆的点A处，若∠CAB＝α，AB＝120cm，AD＝40cm，则话筒夹点D离地面的高度DE为（）cmA．120+40sinα B．120+40cosα C．120+40sinα D13．（2022•金华）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知BC＝6m，∠ABC＝α，则房顶A离地面EF的高度为（）A．（4+3sinα）m B．（4+3tanα）m C．（4+3sinα）m D．（4+二．填空题（共7小题）14．（2022•婺城区校级模拟）金华新金婺大桥是华东第一的独塔斜拉桥，如图1是新金婺大桥的效果图．2022年4月13日开始主塔吊装作业．如图2，我们把吊装过程抽象成如下数学问题：线段OP为主塔，在离塔顶10米处有一个固定点Q（PQ＝10米）．在东西各拉一根钢索QN和QM，已知MO等于214米．吊装时，通过钢索MQ牵拉，主塔OP由平躺桥面的位置，绕点O旋转到与桥面垂直的位置．中午休息时∠PON＝60°，此时一名工作人员在离M6.4米的B处，在位于B点正上方的钢索上A点处挂彩旗．AB正好是他的身高1.6米．（1）主塔OP的高度为米，（精确到整数米）（2）吊装过程中，钢索QN也始终处于拉直状态，因受场地限制和安全需要，QN与水平桥面的最大张角在37°到53°之间（即37°≤∠QNM≤53°），ON的取值范围是．（注：tan37°≈0.75，3≈1.7315．（2022•丽水模拟）如图，图1是图2推窗的左视图，AF为窗的一边，窗框边AB＝1米，EF是可移动的支架，点C是AB的中点，点E可以在线段BC上移动．若AF＝2EF＝1米．（1）当E与B重合时，则∠AFE＝．（2）当E从点C到点B的移动过程中，点F移动的路径长为米．（结果保留π，参考数据：若sinα＝0.25，则α取14°）16．（2022•鹿城区校级三模）图1是一款摆臂遮阳蓬的实物图，图2是其侧面示意图，点A，O为墙壁上的固定点，摆臂OB绕点O旋转过程中，遮阳蓬AB可自由伸缩，蓬面始终保持平整．如图2，∠AOB＝90°，OA＝OB＝1.5米，光线l与水平地面的夹角约为tanα＝3，此时身高为1米的小朋友（MN＝1米）站在遮阳蓬下距离墙角1.2米（QN＝1.2米）处，刚好不被阳光照射到，此时小朋友的头顶M距离遮阳蓬的竖直高度（MP）为米；同一时刻下，旋转摆臂OB，点B的对应点B'恰好位于小朋友头顶M的正上方，当小朋友后退至刚好不被阳光照射到时，其头顶距离遮阳蓬的竖直高度为米．17．（2022•鹿城区二模）小郑在一次拼图游戏中，发现了一个很神奇的现象：（1）他先用图形①②③④拼出矩形ABCD．（2）接着拿出图形⑤．（3）通过平移的方法，用①②③④⑤拼出了矩形ABMN．已知AE：EO＝2：3，图形④的面积为15，则增加的图形⑤的面积为：，当CO=312，EH＝4时，tan∠BAO＝18．（2022•义乌市模拟）图1是某折叠式躺椅的实物图，图2是靠背垂直地面时的侧面展开图，此时四边形ABCD是矩形，AB＝20cm，AD＝305cm，DE＝60cm，BF＝30cm．点H在BC上，椅子的支撑杆AF、BG、CE分别绕B、H、D转动并带动AI转动，支撑杆LK、JM不动．躺椅在转动时：（1）若直线EF过点J，当∠ADE＝120°时，△AFJ的面积是cm2．（2）若12＜tan∠EDI＜2，EF与地面的夹角为α，则tanα的取值范围是19．（2022•衢州一模）三折伞是我们生活中常用的一种伞，它的骨架是一个“移动副”和多个“转动副”组成的连杆机构，如图1是三折伞一条骨架的结构图，当“移动副”（标号1）沿着伞柄移动时，折伞的每条骨架都可以绕“转动副”（标号2﹣9）转动；图2是三折伞一条骨架的示意图，其中四边形CDEF和四边形DGMN都是平行四边形，AC＝BC＝13cm，DE＝2cm，DN＝1cm．（1）若关闭折伞后，点A、E、H三点重合，点B与点M重合，则BN＝cm．（2）在（1）的条件下，折伞完全撑开时，∠BAC＝75°，则点H到伞柄AB距离是cm．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，结果精确到0.1cm）20．（2022•金华）图1是光伏发电场景，其示意图如图2，EF为吸热塔，在地平线EG上的点B，B′处各安装定日镜（介绍见图3）．绕各中心点（A，A'）旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点F处．已知AB＝A'B'＝1m，EB＝8m，EB'＝83m，在点A观测点F的仰角为45°．（1）点F的高度EF为m．（2）设∠DAB＝α，∠D'A'B'＝β，则α与β的数量关系是．三．解答题（共11小题）21．（2022•宁波模拟）21、由于发生山体滑坡灾害，武警救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点c处有生命迹象．在废墟一侧地面上探测点A，B相距2m，探测线与该地面的夹角分别是30°和60°（如图所示），试确定生命所在点C的深度．（参考数据：2≈1.414，3≈1.732，结果精确到22．（2022•婺城区模拟）大跳台滑雪比赛的某段赛道如图所示，中国选手谷爱凌从离水平地面100米高的A点出发（AB＝100米），沿俯角为30°的方向先滑行一定距离到达D点，然后再沿俯角为60°的方向滑行到地面的C处，求：（1）若AD＝140米，则她滑行的水平距离BC为多少米？（2）若她滑行的两段路线AD与CD的长度比为4：3，求路线AD的长．23．（2022•北仑区校级三模）图1是淘宝上常见的“懒人桌”，其主体由一张桌面以及两根长度相等的支架组成，支架可以通过旋转收拢或打开，图2是其打开示意图，经操作发现，当∠ADC＝∠BCD≥90°时，可稳定放置在水平地面上，经测量，AD＝BC＝30cm，CD＝40cm．（1）当其完全打开且置于水平地面上时，测得∠ADC＝140°，求AB距离；（2）在（1）的基础上，若要在该桌上办公，已知眼睛与桌面的垂直距离以30cm为佳，实际办公时，眼睛与桌面的垂直距离为34.8cm，若保持身体不动，通过旋转支架AD以及BC抬高桌面，则A点应向内移动多少厘米，才能达到最佳距离？（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）24．（2022•嘉兴一模）图1是小明家电动单人沙发的实物图，图2是该沙发主要功能介绍，其侧面示意图如图3所示．沙发通过开关控制，靠背AB和脚托CD可分别绕点B，C旋转调整角度．“n°某某”模式时，表示∠ABC＝n°，如“140°看电视”模式时∠ABC＝140°．已知沙发靠背AB长为50cm，坐深BC长为54cm，BC与地面水平线平行，脚托CD长为40cm，∠DCD'＝∠ABC﹣80°，初始状态时CD⊥BC．（1）求“125°阅读”模式下∠DCD'的度数．（2）求当该沙发从初始位置调至“125°阅读”模式时，点D运动的路径长．（3）小明将该沙发调至“150°听音乐”模式时，求点A，D′之间的水平距离（精确到个位）．（参考数据：3≈1.7，sin70°≈0.9，cos70°≈0.3）25．（2022•嘉兴二模）如图1是学生常用的一种圆规，其手柄AB＝8mm，两脚BC＝BD＝56mm，如图2所示，当∠CBD＝74°时．（1）求A离纸面CD的距离．（2）用该圆规作如图3所示正六边形，求该正六边形的周长．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，结果精确到0.1）26．（2022•金东区三模）如图，一个书架上放着8个完全一样的长方体档案盒，其中左边7个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放，档案盒的顶点D在书架底部，顶点F靠在书架右侧，顶点C靠在档案盒上，若书架内侧长为60cm，∠CDE＝53°，档案盒长度AB＝35cm．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）（1）求点C到书架底部距离CE的长度；（2）求ED的长度；（3）求出该书架中最多能放几个这样的档案盒．27．（2022•奉化区二模）图1是某种手机支架在水平桌面上放置的实物图，图2是其侧面的示意图，其中支杆AB＝BC＝20cm，可绕支点C，B调节角度，DE为手机的支撑面，DE＝18cm，支点A为DE的中点，且DE⊥AB．（1）若支杆BC与桌面的夹角∠BCM＝70°，求支点B到桌面的距离；（2）在（1）的条件下，若支杆BC与AB的夹角∠ABC＝110°，求支撑面下端E到桌面的距离．（结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.78，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）28．（2022•台州）如图1，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图2．梯子与地面所成的角α为75°，梯子AB长3m，求梯子顶部离地竖直高度BC．（结果精确到0.1m；参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）29．（2022•绍兴）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为37°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为4米．（1）求∠BAD的度数．（2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈330．（2022•绍兴）（1）计算：6tan30°+（π+1）0-12（2）解方程组：2x31．（2022•舟山）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2，已知AD＝BE＝10cm，CD＝CE＝5cm，AD⊥CD，BE⊥CE，∠DCE＝40°．（1）连结DE，求线段DE的长．（2）求点A，B之间的距离．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）

2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：15锐角三角函数参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．（2022•椒江区校级二模）如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形顶点上，则图中∠ACB的正切值为（）A．23 B．13 C．22 【解答】解：由勾股定理可求出：BC＝22，AC＝25，DF=10，DE=∴FDAC=2∴FDAC∴△FDE∽△CAB，∴∠DFE＝∠ACB，∴tan∠DFE＝tan∠ACB=1故选：B．2．（2022•鹿城区校级模拟）某滑梯示意图及部分数据如图所示．若AE＝1m，则DF的长为（）A．tanαtanβ B．tanβtanα C．sinβsinα 【解答】解：∵tanα=BEAE，AE＝∴BE＝tanα，∵BE＝CF，∴BE＝CF＝tanα，∴tanβ=∴DF=故选：A．3．（2022•鹿城区校级二模）如图，梯子AB＝AC＝l，∠ACB＝α，两梯脚之间的距离BC的长为d．则d与l的关系式为（）A．d＝l•sinα B．d＝2l•cosα C．d＝2l•sinα D．d＝l•cosα【解答】解：作AD⊥BC于点D，∵AB＝AC＝l，BC＝d，∴CD=12∵∠ACB＝α，cos∠ACD=CD∴cosα=1∴d＝2lcosα，故选：B．4．（2022•婺城区模拟）如图，小华在课外时间利用仪器测量红旗的高度，从点A处测得旗杆顶部B的仰角为α，并测得到旗杆的距离AC为m米，若AD为h米，则红旗的高度BE为（）A．（mtanα+h）米 B．（mtana+hC．mtanα D．mtana【解答】解：如图，DE＝m米，∠BAC＝α，DE＝h米，∵四边形ADEC为矩形，∴DE＝AC＝m米，AD＝CE＝h米，在Rt△ADC中，∵tan∠BAC=BC∴BC＝mtanα，∴BE＝BC+CE＝（mtanα+h）米．故选：A．5．（2022•景宁县模拟）如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示tanα的值，错误的是（）A．CDBD B．ACBC C．CDAC 【解答】解：∵AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，∴∠ACB＝∠CDB＝90°，∴∠B+∠BCD＝90°，∠BCD+∠ACD＝90°，∴∠B＝∠ACD＝∠α，∴tanB＝tan∠ACD，∴tanB＝tanα=CD故选：C．6．（2022•浦江县模拟）某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置AB绕点O旋转A′到A′B′的位置，已知OA＝a米，若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆最外点A升高的高度为（）A．atanα米 B．acosα米 C．asina米 D．asinα【解答】解：过点A′作A′D⊥AB，垂足为D，由旋转得：OA＝OA′＝a米，在Rt△A′DO中，∠AOA′＝α，∴A′D＝A′O•sin∠AOA′＝asinα（米），∴栏杆最外点A升高的高度为asinα米，故选：D．7．（2022•鹿城区校级三模）铁路道口的栏杆如图．已知栏杆长为3米，当栏杆末端从水平位置上升到点C处时，栏杆前端从水平位置下降到点A处，下降的垂直距离AD为0.5米（栏杆的粗细忽略不计），上升前后栏杆的夹角为α，则栏杆末端上升的垂直距离CE的长为（）A．(3tanα-0.5)米 BC．（3tanα﹣0.5）米 D．（3sinα﹣0.5）米【解答】解：如图：过点A作AF∥DE，交CE的延长线于点F，∵CE⊥DE，∴∠CED＝90°，∵AF∥DE，∴∠CFA＝∠CED＝90°，∠CAF＝∠CBE＝α，由题意可知：EF＝AD＝0.5米，AC＝3米，∵sin∠CAF=CF∴CF＝3sinα（米），∴CE＝CF﹣EF＝（3sinα﹣0.5）（米），即栏杆末端上升的垂直距离CE的长为（3sinα﹣0.5）米．故选：D．8．（2022•温州校级模拟）为了疫情防控工作的需要，某学校在学校门口的大门上方安装了一个人体体外测温摄像头，摄像头到地面的距离DE＝2.7米，小明身高BF＝1.5米，他在点A测得点D的仰角是在点B测得点D仰角的2倍，已知小明在点B测得的仰角是a，则体温监测有效识别区域AB的长为（）米．A．65tanα-65tan2α BC．65tan2α【解答】解：由题意得：∠DCA＝90°，CE＝BF＝1.5米，∵DE＝2.7米，∴DC＝DE﹣CE＝2.7﹣1.5＝1.2（米），在Rt△DCB中，∠DBC＝α，∴BC=DC在Rt△DCA中，∠DAC＝2∠DBC＝2α，∴AC=DC∴AB＝BC﹣AC＝（65故选：B．9．（2022•西湖区模拟）如图，边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、E在格点上，连接AE、BC，点D在BC上且满足AD⊥BC，则∠AED的正切值是（）A．12 B．2 C．52 D【解答】解：连接OD，∵AD⊥BC，O是AB中点，∴OD=12AB＝∴OD＝OA＝OE＝OD，∴点A、D、B、E在以O为圆心，1为半径的同一个圆上，∴∠ABC＝∠AED，∴tan∠AED＝tan∠ABD=1故选：A．10．（2022•杭州模拟）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝2，∠BOC＝α，则OA2的值为（）A．4tan2α-4 B．sin2α﹣4 C．4sin2α【解答】解：在Rt△OBC中，BC＝2，∠BOC＝α，∴OB=BC在Rt△ABO中，AB＝2，∴OA2＝OB2﹣AB2＝（2tanα）2﹣2=4ta故选：A．11．（2022•乐清市一模）如图，一只正方体箱子沿着斜面CG向上运动，∠C＝α，箱高AB＝1米，当BC＝2米时，点A离地面CE的距离是（）米．A．1cosα+2sinα C．cosα+2sinα D．2cosα+sinα【解答】解：过点B作BM⊥AD，垂足为M，由题意得：BE＝DM，∠ABC＝∠BEC＝∠ADC＝90°，∴∠C+∠CFD＝90°，∠AFB+∠BAF＝90°，∵∠CFD＝∠AFB，∴∠C＝∠BAF＝α，在Rt△ABM中，AB＝1米，∴AM＝AB•cosα＝cosα（米），在Rt△CBE中，BC＝2米，∴BE＝BC•sinα＝2sinα（米），∴DM＝BE＝2sinα米，∴AD＝AM+DM＝（cosα+2sinα）米，∴点A离地面CE的距离是（cosα+2sinα）米，故选：C．12．（2022•洞头区模拟）如图1是放置在水平地面上的落地式话筒架．图2是其示意图，主杆AB垂直于地面，斜杆CD固定在主杆的点A处，若∠CAB＝α，AB＝120cm，AD＝40cm，则话筒夹点D离地面的高度DE为（）cmA．120+40sinα B．120+40cosα C．120+40sinα D【解答】解：过点A作AF⊥DE，垂足为F，∵AB⊥BE，DE⊥BE，∴∠AFE＝∠ABE＝∠BEF＝90°，∴四边形AFEB是矩形，∴AB＝FE＝120cm，AB∥EF，∴∠D＝∠CAB＝α，在Rt△ADF中，AD＝40cm，∴DF＝AD•cosα＝40cosα（cm），∴DE＝DF+EF＝（40cosα+120）cm，∴话筒夹点D离地面的高度DE为（40cosα+120）cm，故选：B．13．（2022•金华）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知BC＝6m，∠ABC＝α，则房顶A离地面EF的高度为（）A．（4+3sinα）m B．（4+3tanα）m C．（4+3sinα）m D．（4+【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图，∵它是一个轴对称图形，∴AB＝AC，∵AD⊥BC，∴BD=12BC＝3在Rt△ADB中，∵tan∠ABC=AD∴AD＝BD•tanα＝3tanαm．∴房顶A离地面EF的高度＝AD+BE＝（4+3tanα）m，故选：B．二．填空题（共7小题）14．（2022•婺城区校级模拟）金华新金婺大桥是华东第一的独塔斜拉桥，如图1是新金婺大桥的效果图．2022年4月13日开始主塔吊装作业．如图2，我们把吊装过程抽象成如下数学问题：线段OP为主塔，在离塔顶10米处有一个固定点Q（PQ＝10米）．在东西各拉一根钢索QN和QM，已知MO等于214米．吊装时，通过钢索MQ牵拉，主塔OP由平躺桥面的位置，绕点O旋转到与桥面垂直的位置．中午休息时∠PON＝60°，此时一名工作人员在离M6.4米的B处，在位于B点正上方的钢索上A点处挂彩旗．AB正好是他的身高1.6米．（1）主塔OP的高度为82米，（精确到整数米）（2）吊装过程中，钢索QN也始终处于拉直状态，因受场地限制和安全需要，QN与水平桥面的最大张角在37°到53°之间（即37°≤∠QNM≤53°），ON的取值范围是90≤ON≤120．（注：tan37°≈0.75，3≈1.73【解答】解：（1）过点Q作QG⊥MN交于G点，∵MB＝6.4米，AB＝1.6米，∴tan∠AMB=1∴MG＝4QG，∵∠PON＝60°，∴QG＝OG•tan60°=3OG∵MO＝214米，∴214+33OG＝4解得OG=642∴OQ=QGsin∵QP＝10米，∴OP≈82米，故答案为：82；（2）在Rt△QNG中，GN＝QG•tan∠NQG，在Rt△OGQ中，OG=64212-3米，∴GN=64212-3×3∴ON=64212-3+642∵37°≤∠QNM≤53°，∴37°≤∠NQG≤53°，∵tan37°≈0.75，∴tan53°≈4∴34≤tan∠NQG∴90≤ON≤120，故答案为：90≤ON≤120．15．（2022•丽水模拟）如图，图1是图2推窗的左视图，AF为窗的一边，窗框边AB＝1米，EF是可移动的支架，点C是AB的中点，点E可以在线段BC上移动．若AF＝2EF＝1米．（1）当E与B重合时，则∠AFE＝76°．（2）当E从点C到点B的移动过程中，点F移动的路径长为8π45米．（结果保留π，参考数据：若sinα＝0.25，则α取【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥EF，交EF于点D，则∠ADF＝90°，∵AF＝AE＝1米，AF＝2EF，∴EF＝0.5米，DF＝DE＝0.25米，在Rt△ADE中，sin∠EAD=DE∴∠EAD＝14°，∴∠AFE＝∠AEF＝90°﹣∠EAD＝90°﹣14°＝76°；故答案为：76°；（2）点E从点C到点B的移动过程中，当EF垂直于AB时，∵AF＝2EF，∴∠EFA＝30°，即此时∠EAF取得最大值，当点E与点B重合时，由（1）知，∠EAD＝14°，AF＝AE，AD⊥EF，∴∠EAF＝28°，当E与B重合时，此时AF和AB重合，∴当E从点C到点B的移动过程中，点F的移动路径是以点A为圆心，1米长为半径，圆心角为32°的弧，路径长为：32π故答案为：8π16．（2022•鹿城区校级三模）图1是一款摆臂遮阳蓬的实物图，图2是其侧面示意图，点A，O为墙壁上的固定点，摆臂OB绕点O旋转过程中，遮阳蓬AB可自由伸缩，蓬面始终保持平整．如图2，∠AOB＝90°，OA＝OB＝1.5米，光线l与水平地面的夹角约为tanα＝3，此时身高为1米的小朋友（MN＝1米）站在遮阳蓬下距离墙角1.2米（QN＝1.2米）处，刚好不被阳光照射到，此时小朋友的头顶M距离遮阳蓬的竖直高度（MP）为0.3米；同一时刻下，旋转摆臂OB，点B的对应点B'恰好位于小朋友头顶M的正上方，当小朋友后退至刚好不被阳光照射到时，其头顶距离遮阳蓬的竖直高度为1.3米．【解答】解：∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠ABO＝45°，∴MP＝MB，∵OM＝QN＝1.2m，OB＝1.5m，∴MP＝MB＝1.5﹣1.2＝0.3（m），过点B′作B′C∥BN，与QN交于点C，过B′作B′F⊥AQ于F，过C作CD⊥B′F于点D，与AB′交于点E，则B′F＝OM＝QN＝1.2（m），∴FO＝B′M=OB'2∴B′N＝B′M+MN＝1.9（m），AF＝OA﹣FO＝0.6（m），∵B′C∥BN，∴∠B′CN＝∠α，∴tan∠B′CN=B∴B′D＝CN=1.93=∵DE∥AF，∴B'D∴DE=1915≈1.3即当小朋友后退至刚好不被阳光照射到时，其头顶距离遮阳蓬的竖直高度约为1.3m．故答案为：0.3；1.3．17．（2022•鹿城区二模）小郑在一次拼图游戏中，发现了一个很神奇的现象：（1）他先用图形①②③④拼出矩形ABCD．（2）接着拿出图形⑤．（3）通过平移的方法，用①②③④⑤拼出了矩形ABMN．已知AE：EO＝2：3，图形④的面积为15，则增加的图形⑤的面积为：152，当CO=312，EH＝4时，tan∠BAO＝【解答】解：（1）如图，在平移后的图形中分别标记O′，O″，F′，H′，E′和G′，由题意可知，AE：EO＝2：3G′H′＝FC＝NF′∴DF：FC＝2：3，NO′：O′F′＝1：2又∵图⑤和图④的高相等，∴图⑤和图④的面积比为1：2，∴图⑤的面积为152故答案为：152（3）由题意可知，S四边形AOCD=1S四边形AOMN=1S四边形AOCD+152=设DF＝2a，DG＝x，则CF＝G′H′＝3a，CO＝H′E′=312，CD＝NF＝5EF＝AG′＝4+x，AG＝E′F′=312∴AD＝x+312+x=3AN＝4+x+x＝4+2x，又∵ax=15综上解得：a＝3，x=5∵OB＝2x＝5，AB＝5a＝15，∴tan∠BAO=OB故答案为：1318．（2022•义乌市模拟）图1是某折叠式躺椅的实物图，图2是靠背垂直地面时的侧面展开图，此时四边形ABCD是矩形，AB＝20cm，AD＝305cm，DE＝60cm，BF＝30cm．点H在BC上，椅子的支撑杆AF、BG、CE分别绕B、H、D转动并带动AI转动，支撑杆LK、JM不动．躺椅在转动时：（1）若直线EF过点J，当∠ADE＝120°时，△AFJ的面积是18751511cm（2）若12＜tan∠EDI＜2，EF与地面的夹角为α，则tanα的取值范围是1137＜tan【解答】解：（1）若直线EF过点J，当∠ADE＝120°时，如图1所示，由题意可知，AB∥CD，∴∠F＝∠E，∠FAJ＝∠ADE＝120°，∴△FAJ∽△EDJ，∴AFDE∵AF＝AB+BF＝50cm，DE＝60cm，∴AFDE∴AJ=511AD=过点F作FN⊥DA交DA的延长线于点N，则∠ANF＝90°，在Rt△AFN中，∠FAN＝180°﹣∠FAJ＝60°，AF＝50cm，∴FN＝AFsin∠FAN＝50×sin60°＝253，∴△AFJ的面积=12×AJ×FN=（2）当tan∠EDI=12时，如图2所示，作EP⊥DI于点P，则∠EPD＝90°，设EF交AD于点由题意可知，AB∥CD，∴∠F＝∠QED，∠FAQ＝∠QDE，∴△FAQ∽△EDQ，∴AFDE∵AF＝AB+BF＝50cm，DE＝60cm，∴AFDE∴DQ=611AD=设EP＝x，则DP＝2x，由勾股定理得：EP2+DP2＝DE2，∴x2+（2x）2＝602，解得x＝125cm，∴EP＝125cm，DP＝245cm，PQ＝DP+DQ=4445∴tanα＝tan∠EQP=EP当tan∠EDI＝2时，如图所示，同理可求得DQ=180511cm，DP＝125cm，EP＝24∴PQ＝DP+DQ=3125∴tanα＝tan∠EQP=EP∵EF与地面的夹角α随着∠EDI的增大而增大，∴当12＜tan∠EDI＜2时，tanα的取值范围是1137＜故答案为：18751511cm2；1137＜19．（2022•衢州一模）三折伞是我们生活中常用的一种伞，它的骨架是一个“移动副”和多个“转动副”组成的连杆机构，如图1是三折伞一条骨架的结构图，当“移动副”（标号1）沿着伞柄移动时，折伞的每条骨架都可以绕“转动副”（标号2﹣9）转动；图2是三折伞一条骨架的示意图，其中四边形CDEF和四边形DGMN都是平行四边形，AC＝BC＝13cm，DE＝2cm，DN＝1cm．（1）若关闭折伞后，点A、E、H三点重合，点B与点M重合，则BN＝23cm．（2）在（1）的条件下，折伞完全撑开时，∠BAC＝75°，则点H到伞柄AB距离是69.8cm．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，结果精确到0.1cm）【解答】解：（1）∵关闭折伞后，点A、E、H三点重合，∴AC＝CD+DE，∴CD＝13﹣2＝11，∴CN＝CD﹣DN＝11﹣1＝10，∴BN＝BC+CN＝13+10＝23（cm），故答案为：23；（2）如图2，A、E、H三点共线并且AH⊥AB，过点F作FK⊥AE于点K，过点G作GJ⊥EH于点J，∵∠BAC＝75°，AC＝BC＝13cm，∴∠ACB＝30°，∵AC∥DE，DG∥MN，∴∠AFE＝∠EGH＝150°，∵AF＝EF，FK⊥AE，∴∠AFK＝∠EFK＝75°，AK＝EK，∵DE＝2cm，∴FC＝DE＝2cm，∴AF＝EF＝AC﹣FC＝13﹣2＝11cm，∴AK＝AF•sin75°＝11×0.97≈10.67，∴AE＝21.34，∵关闭折伞后，点A、E、H三点重合，点B与点M重合，∴BN＝MN＝23cm，EG＝GH，∴EG＝MN+DE＝23+2＝25cm，同理，EJ＝EG•sin75°＝25×0.97＝24.25，∴EH＝2EJ＝2×24.25＝48.5，∵∠BAC＝75°，∠FAE＝15°，∴AH＝AE+EH＝21.34+48.5≈69.8．∴AE⊥AB，∴点H到伞柄AB距离为69.8cm．故答案为：69.8．20．（2022•金华）图1是光伏发电场景，其示意图如图2，EF为吸热塔，在地平线EG上的点B，B′处各安装定日镜（介绍见图3）．绕各中心点（A，A'）旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点F处．已知AB＝A'B'＝1m，EB＝8m，EB'＝83m，在点A观测点F的仰角为45°．（1）点F的高度EF为9m．（2）设∠DAB＝α，∠D'A'B'＝β，则α与β的数量关系是α﹣β＝7.5°．【解答】解：（1）连接A′A并延长交EF于点H，如图，则四边形HEB′A′，HEBA，ABB′A′均为矩形，∴HE＝AB＝A′B′＝1m，HD＝EB＝8m，HA′＝EB′＝83m，∵在点A观测点F的仰角为45°，∴∠HAF＝45°，∴∠HFA＝45°，∴HF＝HD＝8，∴EF＝8+1＝9（m），故答案为：9；（2）作DC的法线AK，D′C′的法线A′R，如图所示：则∠FAM＝2∠FAK，∠FA′N＝2∠FA′R，∵HF＝8m，HA′＝83m，∴tan∠HFA′=3∴∠HFA′＝60°，∴∠AFA′＝60°﹣45°＝15°，∵太阳光线是平行光线，∴A′N∥AM，∴∠NA′M＝∠AMA′，∵∠AMA′＝∠AFM+∠FAM，∴∠NA′M＝∠AFM+∠FAM，∴2∠FA′R＝15°+2∠FAK，∴∠FA′R＝7.5°+∠FAK，∵AB∥EF，A′B′∥EF，∴∠BAF＝180°﹣45°＝135°，∠B′A′F＝180°﹣60°＝120°，∴∠DAB＝∠BAF+∠FAK﹣∠DAK＝135°+∠FAK﹣90°＝45°+∠FAK，同理，∠D′A′B′＝120°+∠FA′R﹣90°＝30°+∠FA′R＝30°+7.5°+∠FAK＝37.5+FAK，∴∠DAB﹣∠D′A′B′＝45°﹣37.5°＝7.5°，故答案为：α﹣β＝7.5°．三．解答题（共11小题）21．（2022•宁波模拟）21、由于发生山体滑坡灾害，武警救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点c处有生命迹象．在废墟一侧地面上探测点A，B相距2m，探测线与该地面的夹角分别是30°和60°（如图所示），试确定生命所在点C的深度．（参考数据：2≈1.414，3≈1.732，结果精确到【解答】解：如图所示，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，由题意可知，∠CAD＝30°，∠CBD＝60°，设CD＝x米，则BD=xtan60°，∵AB＝2米，AD＝AB+BD，∴AD＝2+BD，∴2+x解得x≈1.7，即生命所在点C的深度是1.7米．22．（2022•婺城区模拟）大跳台滑雪比赛的某段赛道如图所示，中国选手谷爱凌从离水平地面100米高的A点出发（AB＝100米），沿俯角为30°的方向先滑行一定距离到达D点，然后再沿俯角为60°的方向滑行到地面的C处，求：（1）若AD＝140米，则她滑行的水平距离BC为多少米？（2）若她滑行的两段路线AD与CD的长度比为4：3，求路线AD的长．【解答】解：（1）如图：过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点D作DF⊥BC，垂足为F，由题意得：DE＝BF，BE＝DF，AG∥DE，DH∥BC，∴∠GAD＝∠ADE＝30°，∠HDC＝∠DCF＝60°，在Rt△ADE中，AD＝140米，∴AE＝AD•sin30°＝140×12DE＝AD•cos30°＝140×32=∴DE＝BF＝703米，∵AB＝100米，∴BE＝AB﹣AE＝30（米），∴BE＝DF＝30米，在Rt△DFC中，CF=DFtan60°∴BC＝BF+CF＝803（米），∴她滑行的水平距离BC为803米；（2）∵AD与CD的长度比为4：3，∴设AD＝4x米，则CD=3x在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴AE=12AD＝2在Rt△DFC中，∠DCF＝60°，∴DF＝CD•sin60°=3x•32∴BE＝DF=32∵AB＝100米，∴AE+BE＝100，∴2x+32x＝解得：x=200∴AD＝4x=800∴路线AD的长为800723．（2022•北仑区校级三模）图1是淘宝上常见的“懒人桌”，其主体由一张桌面以及两根长度相等的支架组成，支架可以通过旋转收拢或打开，图2是其打开示意图，经操作发现，当∠ADC＝∠BCD≥90°时，可稳定放置在水平地面上，经测量，AD＝BC＝30cm，CD＝40cm．（1）当其完全打开且置于水平地面上时，测得∠ADC＝140°，求AB距离；（2）在（1）的基础上，若要在该桌上办公，已知眼睛与桌面的垂直距离以30cm为佳，实际办公时，眼睛与桌面的垂直距离为34.8cm，若保持身体不动，通过旋转支架AD以及BC抬高桌面，则A点应向内移动多少厘米，才能达到最佳距离？（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）【解答】解：（1）过点D作DM⊥AB，垂足为M，过点C作CN⊥AB，垂足为N，则CD＝MN＝40cm，AM＝BN＝cos∠DAB•AD≈0.77×30＝23.1（cm），∴AB＝23.1×2+40＝86.2（cm），答：AB的距离约为86.2cm；（2）由题意得，桌子要抬高34.8﹣30＝4.8（cm），即DM要变为sin∠DAB×30+4.8＝24（cm），∴AM==3＝18cm，即点A要向内移动23.1﹣18＝5.1（cm），答：向内移动5.1cm．24．（2022•嘉兴一模）图1是小明家电动单人沙发的实物图，图2是该沙发主要功能介绍，其侧面示意图如图3所示．沙发通过开关控制，靠背AB和脚托CD可分别绕点B，C旋转调整角度．“n°某某”模式时，表示∠ABC＝n°，如“140°看电视”模式时∠ABC＝140°．已知沙发靠背AB长为50cm，坐深BC长为54cm，BC与地面水平线平行，脚托CD长为40cm，∠DCD'＝∠ABC﹣80°，初始状态时CD⊥BC．（1）求“125°阅读”模式下∠DCD'的度数．（2）求当该沙发从初始位置调至“125°阅读”模式时，点D运动的路径长．（3）小明将该沙发调至“150°听音乐”模式时，求点A，D′之间的水平距离（精确到个位）．（参考数据：3≈1.7，sin70°≈0.9，cos70°≈0.3）【解答】解：（1）∵“125°阅读”模式下∠ABC＝125°，∴∠DCD'＝∠ABC﹣80°＝125°﹣80°＝45°；（2）∵∠DCD′＝45°，CD＝40cm，∴点D运动的路径长为：45π×40180=10π（3）如图，过点作AN⊥BC，交CB的延长线于点N，过点D′M⊥CD于点M，∵“150°听音乐”模式时∠ABC＝150°，∴∠DCD'＝∠ABC﹣80°＝150°﹣80°＝70°，∠ABN＝30°，在Rt△ABN中，BN＝AB•cos30°＝50×32=25在Rt△CMD′中，MD′＝CD′•sin70°≈40×0.9＝36，∴点A，D′之间的水平距离为：BN+BC+MD′＝43+54+36＝133（cm）．25．（2022•嘉兴二模）如图1是学生常用的一种圆规，其手柄AB＝8mm，两脚BC＝BD＝56mm，如图2所示，当∠CBD＝74°时．（1）求A离纸面CD的距离．（2）用该圆规作如图3所示正六边形，求该正六边形的周长．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，结果精确到0.1）【解答】解：（1）连接CD，延长AB交CD于点E，则AE⊥CD，∵BC＝BD＝56mm，∴∠CBE=12∠CBD＝37°，CD＝2在Rt△BCE中，BE＝BC•cos37°≈56×0.8＝44.8（mm），∵AB＝8mm，∴AE＝AB+BE＝8+44.8＝52.8（mm），∴A离纸面CD的距离约为52.8mm；（2）在Rt△BCE中，∠CBE＝37°，BC＝56mm，∴CE＝BC•sin37°≈56×0.6＝33.6（mm），∴CD＝2CE＝67.2（mm），∴正六边形的边长为67.2mm，∴正六边形的周长＝6×67.2＝403.2（mm），∴正六边形的周长约为403.2mm．26．（2022•金东区三模）如图，一个书架上放着8个完全一样的长方体档案盒，其中左边7个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放，档案盒的顶点D在书架底部，顶点F靠在书架右侧，顶点C靠在档案盒上，若书架内侧长为60cm，∠CDE＝53°，档案盒长度AB＝35cm．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）（1）求点C到书架底部距离CE的长度；（2）求ED的长度；（3）求出该书架中最多能放几个这样的档案盒．【解答】解：（1）由题意得：AB＝CD＝35cm，在Rt△CDE中，∠CDE＝53°，∴CE＝CD•sin53°≈35×0.8＝28（cm），∴点C到书架底部距离CE的长度约为28cm；（2）在Rt△CDE中，∠CDE＝53°，CD＝35cm，∴DE＝CD•cos53°≈35×0.6＝21（cm），∴ED长度约为21cm；（3）如图：由题意得：∠DGF＝∠CDF＝90°，∵∠CDE＝53°，∴∠FDG＝180°﹣∠CDE﹣∠CDF＝37°，∴∠DFG＝90°﹣∠FDG＝53°，设每一个档案盒的厚度为xcm，在Rt△DFG中，DF＝xcm，∴DG＝DF•sin53°≈0.8x（cm），由题意得：7x+0.8x+21＝60，∴x＝5，∴60÷5＝12（个），∴