2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：9三角形（含解析）

2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：9三角形一．选择题（共14小题）1．（2022•金华）如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL2．（2022•衢州）线段a，b，c首尾顺次相接组成三角形，若a＝1，b＝3，则c的长度可以是（）A．3 B．4 C．5 D．63．（2022•杭州）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（）A．线段CD是△ABC的AC边上的高线 B．线段CD是△ABC的AB边上的高线 C．线段AD是△ABC的BC边上的高线 D．线段AD是△ABC的AC边上的高线4．（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（）A．42 B．6 C．210 D．355．（2022•鹿城区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC延长线上一点，且∠BAC＝2∠CAD，已知BC＝4，AD＝7，则△ACD的面积为（）A．7 B．14 C．21 D．286．（2022•湖州）如图，已知在锐角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连结EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是（）A．12 B．9 C．6 D．327．（2022•浦江县模拟）如图，已知△AHB是等腰直角三角形．∠AHB＝90°，△AHG，△BHC，△ABE是等边三角形，GH交AE于点F．CH交BE于点D．记四边形EFHD的面积为S1，△BCD的面积S2，则S1A．3-33 B．23-25 C8．（2022•金华）如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是（3，1），（4，﹣2），下列各地点中，离原点最近的是（）A．超市 B．医院 C．体育场 D．学校9．（2022•龙湾区模拟）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，在△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的各边为边分别向外作正方形，再将较小的两个正方形按图2所示放置，连结MG，DG．若MG⊥DG，且BQ﹣AF=32，则A．43 B．52 C．152 10．（2022•瑞安市校级三模）如图（1）是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图示意图，图（2）中，在线段AE和CG上分别取点P和点Q，使AP＝CQ，连接PD、PB、QD和QB，则构成了一个“压扁”的弦图．“压扁”的弦图（四边形PBQD）中，4个直角三角形的面积（如图（2）中的阴影部分）依次记作S1，S2，S3，S4，连接PQ并延长交BC于点M．若AE＝3EF＝3，S1＝S3＝S2+S4，则CM的长为（）A．2 B．31314 C．1411 11．（2022•奉化区二模）如图，等边△ABC和等边△DEF的边长相等，点A、D分别在边EF，BC上，AB与DF交于G，AC与DE交于H．要求出△ABC的面积，只需已知（）A．△BDG与△CDH的面积之和 B．△BDG与△AGF的面积之和 C．△BDG与△CDH的周长之和 D．△BDG与△AGF的周长之和12．（2022•永嘉县三模）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周辞算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD．连结CE，若CE＝AD，则tan∠BCE的值为（）A．12 B．23 C．34 13．（2022•温州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF，作GM⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L．若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，CE=10+2A．5 B．3+52 C．22 D14．（2022•江北区模拟）如图，在锐角三角形△ABC中，分别以三边AB，BC，CA为直径作圆．记三角形外的阴影面积为S1，三角形内的阴影面积为S2，在以下四个选项的条件中，不一定能求出S1﹣S2的是（）A．已知△ABC的三条中位线的长度 B．已知△ABC的面积 C．已知BC的长度，以及AB，AC的长度和 D．已知AB，AC的长度及∠ACB的度数二．填空题（共8小题）15．（2022•嘉兴）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件．16．（2022•丽水模拟）如图，已知∠B＝∠D，请再添上一个条件，使△ABC≌△ADC（写出一个即可）．17．（2022•婺城区校级模拟）勾股定理是初中数学最重要的定理之一，如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置在最大正方形内．记四边形ABCD的面积为S1，△CDE的面积为S2，四边形DEFG的面积为S3，四边形FGHI的面积为S4，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出．18．（2022•嘉兴二模）一副含45°和30°角的直角三角形纸板ABC和DEF按图1摆放，BC＝DE＝12，∠ABC＝∠DEF＝90°．现将点D从B点向A点滑动，边DE始终经过BC上一点G，BG＝2．H是DF边上一点，满足DH＝DG（如图2），当点E到达G点时运动停止．当E到达G点时BD的长为；运动过程中AH的最小值是．19．（2022•龙港市模拟）如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝2，点P在边CD上，M，N分别是AP，EF的中点，连结AC，MN，且MN＝AM，MN⊥AM，则AC的长为，△ACP的面积为．20．（2022•乐清市三模）研究任务画出平分直角三角形面积的一条直线研究成果中线法分割法等积法BD是AC边上的中线若AEBE=DE∥BF成果应用如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，直线EF平分△ABC的面积．①若EF⊥AC，AFCF=2，则AC的值为②若BE＝CF，AE＝EF，则AC的值为．21．（2022•西湖区模拟）如图，Rt△ABC≌Rt△EFD，∠BAC＝∠FED＝90°，tanB=43，点D为BC中点，连结AD，在Rt△EFD绕点D旋转的过程中，当点E落在直线AB上时，AEAB的值为22．（2022•温州模拟）如图1，是一种锂电池自动液压搬运物体叉车，图2是叉车侧面近似示意图．车身为四边形ABCD，AB∥DC，BC⊥AB，底座AB上装着两个半径为30cm的轮胎切于水平地面，AB＝169cm，BC＝120cm．挡货架AE上有一固定点T与AD的中点N之间由液压伸缩杆TN连接．当TN⊥AD时，TN的延长线恰好经过B点，则AD的长度是cm；一个长方体物体准备装卸时，AE绕点A左右旋转，托物体的货叉PQ⊥AE（PQ沿着AE可上下滑动），PQ＝65cm，AE＝AD．当AE旋转至AF时，PQ下降到P'Q'的位置，此时F，D，C三点共线，且FQ'＝52cm，则点P'到地面的距离是cm．三．解答题（共9小题）23．（2022•嘉兴）小东在做九上课本123页习题：“1：2也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1：2．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．（1）你赞同他的作法吗？请说明理由．（2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB．①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数．②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由．24．（2022•绍兴）如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD＝α．（1）如图，当P与E重合时，求α的度数．（2）当P与E不重合时，记∠BAD＝β，探究α与β的数量关系．25．（2022•鹿城区校级模拟）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，过点B，C分别作BF⊥AD，CE⊥AD，垂足为E，F．（1）求证：BF＝CE．（2）若BF＝3，AE＝2，求AC的长．26．（2022•温州校级模拟）如图，AD是△ABC的中线，CE⊥AD，BF⊥AD交AD的延长线于点F．（1）求证：△CDE≌△BDF；（2）若AE＝3，BF＝2，求AC的长．27．（2022•萧山区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．（1）求证：DE＝DF．（2）若AB＝13，BC＝10，求DE的长．28．（2022•下城区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上（不与点A，点C重合），连接BD，BD＝AB．（1）设∠C＝50°时，求∠ABD的度数；（2）若AB＝5，BC＝6，求AD的长．29．（2022•柯城区校级三模）定义：若三角形的一条边上的高线与这条边相等，则称这个三角形为“标准三角形”．如：在△ABC，CD⊥AB于点D，AB＝CD，则△ABC为标准三角形．【概念感知】判断：对的打“√”，错的打“×”．（1）等腰直角三角形是标准三角形．（2）顶角为30°的等腰三角形是标准三角形．【概念理解】若一个等腰三角形为标准三角形，则此三角形的三边长之比为．【概念应用】（1）如图，若△ABC为标准三角形，CD⊥AB于点D，AB＝CD＝1，求CA+CB的最小值．（2）若一个标准三角形的其中一边是另一边的5倍，求最小角的正弦值．30．（2022•婺城区模拟）如图，BE是△ABC的角平分线，延长BE至D，使得BC＝CD．（1）若∠ABD＝20°，求∠BCD的度数；（2）若AB＝2，BC＝4，AC＝3，求CE长．31．（2022•衢江区二模）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝6，过点C作CD∥AB，O是BC中点，E是线段AB上的动点，射线EO交CD于点F．圆圆想探究在点E运动过程中，AE与EF的数量关系，她设AE＝x，EF＝y，利用几何画板绘图、测量，得到如表所示的几组对应值，并在图②中描出了以各组对应值为坐标的点．x012344.556y9.497.625.833.163.003.16（1）当x＝3时，求EF的长；（2）在图②中描出y关于x的函数图象，并根据图象填空：当y最小时，x≈（保留1位小数）；（3）当EF﹣AE＝2时，利用函数图象求AE的长（保留1位小数）．

2023年浙江省中考数学第一轮复习卷：9三角形参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2022•金华）如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL【解答】解：在△AOB和△DOC中，OA=∴△AOB≌△DOC（SAS），故选：B．2．（2022•衢州）线段a，b，c首尾顺次相接组成三角形，若a＝1，b＝3，则c的长度可以是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵线段a＝1，b＝3，∴3﹣1＜c＜3+1，即2＜c＜4．观察选项，只有选项A符合题意，故选：A．3．（2022•杭州）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（）A．线段CD是△ABC的AC边上的高线 B．线段CD是△ABC的AB边上的高线 C．线段AD是△ABC的BC边上的高线 D．线段AD是△ABC的AC边上的高线【解答】解：A、线段CD是△ABC的AB边上的高线，故本选项说法错误，不符合题意；B、线段CD是△ABC的AB边上的高线，本选项说法正确，符合题意；C、线段AD不是△ABC的BC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；D、线段AD不是△ABC的AC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；故选：B．4．（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（）A．42 B．6 C．210 D．35【解答】解：如图所示：∵BM＝NC＝4，BN＝CP＝2，且∠B＝∠C＝90°，∴△BMN≌△CNP（SAS），∴MN＝NP，∠BMN＝∠CNP，∵∠BMN+∠BNM＝90°，∴∠BNM+∠CNP＝90°，∴∠MNP＝90°，∴△NMP为等腰直角三角形，此时PM最长，在Rt△BMN和Rt△NCP中，根据勾股定理得：MN＝NP=22+则PM=MN2故选：C．5．（2022•鹿城区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC延长线上一点，且∠BAC＝2∠CAD，已知BC＝4，AD＝7，则△ACD的面积为（）A．7 B．14 C．21 D．28【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，因为AB＝AC，BC＝4，所以∠BAE因为∠BAC＝2∠CAD，所以∠BAE＝∠CAE＝∠CAD，过点C作CF⊥AD于点F，根据角的平分线的性质，得到CF＝CE＝2，所以S△故选A．6．（2022•湖州）如图，已知在锐角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连结EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是（）A．12 B．9 C．6 D．32【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD=12BC＝3，AD⊥在Rt△EBD中，∠EBC＝45°，∴ED＝BD＝3，∴S△EBC=12BC•ED=12×6故选：B．7．（2022•浦江县模拟）如图，已知△AHB是等腰直角三角形．∠AHB＝90°，△AHG，△BHC，△ABE是等边三角形，GH交AE于点F．CH交BE于点D．记四边形EFHD的面积为S1，△BCD的面积S2，则S1A．3-33 B．23-25 C【解答】解：连接DF，过点D作DH⊥BC于H，连接EH并延长交AB于M，设CH＝a，∵△AHB是等腰直角三角形．∠AHB＝90°，△AHG，△BHC，△ABE是等边三角形，∴∠ABH＝45°，∠ABD＝∠C＝∠BHC＝60°，∴∠HBD＝15°，∠CDH＝30°，∠CBD＝45°，∴DH＝BH=3a，CD＝2a∴BD=6a，BH＝CH＝BC＝（1+3）∴BE＝AB=2a+6∴DE＝BE﹣BD=2a∵AE＝BE，AH＝BH，∴EH垂直平分AB，∴∠BEM＝30°，∵∠CDB＝∠EDH＝∠HBD+∠BHC＝75°，∴∠EHD＝∠EDH＝75°，∴EH＝DE=2a同理可得∠HAF＝15°，∠AHF＝60°，在△HAF和△HBD中，∠HAF∴△HAF≌△HBD中（AAS），∴AF＝BD，∴DF∥AB，∴EH⊥DF，∴△EDF是等边三角形，∴DF＝DE=2a∴四边形EFHD的面积为S1=12DF•EH=12×2a△BCD的面积S2=12BC•DH=12×（1+3）a×3a=∴S1故选：A．8．（2022•金华）如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是（3，1），（4，﹣2），下列各地点中，离原点最近的是（）A．超市 B．医院 C．体育场 D．学校【解答】解：如右图所示，点O到超市的距离为：22点O到学校的距离为：32点O到体育场的距离为：42点O到医院的距离为：12∵5＜∴点O到超市的距离最近，故选：A．9．（2022•龙湾区模拟）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，在△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的各边为边分别向外作正方形，再将较小的两个正方形按图2所示放置，连结MG，DG．若MG⊥DG，且BQ﹣AF=32，则A．43 B．52 C．152 【解答】解：延长HG交AD于P，延长FG交DE于I，则四边形DIGP为正方形，∴∠GDM＝45°，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则c2＝a2+b2①，BQ＝c﹣b，AF＝c﹣a，∵BQ﹣AF=3∴a﹣b=32∵MG⊥DG，∴∠GMD＝45°，∴MP＝PD，∴c﹣a＝a﹣b③，联立①②③得c2解得a=6则AB的长为152故选：C．10．（2022•瑞安市校级三模）如图（1）是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图示意图，图（2）中，在线段AE和CG上分别取点P和点Q，使AP＝CQ，连接PD、PB、QD和QB，则构成了一个“压扁”的弦图．“压扁”的弦图（四边形PBQD）中，4个直角三角形的面积（如图（2）中的阴影部分）依次记作S1，S2，S3，S4，连接PQ并延长交BC于点M．若AE＝3EF＝3，S1＝S3＝S2+S4，则CM的长为（）A．2 B．31314 C．1411 【解答】解：如图，过点M作MS⊥CG于点S，设PQ交BF、DG于点T、K，根据题意得：AE＝CG＝BF＝DH，BE＝DG，四边形EFGH是正方形，∠AEB＝∠DGC＝90°，∵AE＝3EF＝3，∴CG＝AE＝DH＝3，EF＝FG＝EH＝1，EH∥FG，∵AP＝CQ，∴PE＝GQ，∴△BPE≌△DQG（SAS），∴S△BPE＝S△DQG，即S4＝S2，∵S1＝S3＝S2+S4，∴S1＝S3＝2S4，∴12DH∴PE=∴CQ=∵EH∥FG，∴∠PET＝∠GQK，∵∠PET＝∠KGQ＝90°，PE＝GQ，∴△PET≌△QGK，∴ET＝KG，设KG＝ET＝a，则FT＝1﹣a，∵HG∥EF，∴△KGQ∽△TFQ，∴KGFT=GQ解得：a=311∴tan∵∠SQM＝∠KQG，∴tan∠在Rt△BCF中，BF＝3，CF＝CG+FG＝4，∴tan∠∴可设SM＝3x，则CS＝4x，∴SQ=CQ-CS=12∴tan∠解得：x=∴CM=故选：D．11．（2022•奉化区二模）如图，等边△ABC和等边△DEF的边长相等，点A、D分别在边EF，BC上，AB与DF交于G，AC与DE交于H．要求出△ABC的面积，只需已知（）A．△BDG与△CDH的面积之和 B．△BDG与△AGF的面积之和 C．△BDG与△CDH的周长之和 D．△BDG与△AGF的周长之和【解答】解：如图，连接AD，过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥EF于N，则∠BAM＝∠FDN＝30°，∵等边△ABC和等边△DEF的边长相等，∴AM＝DN，∵AD＝AD，∴Rt△ADM≌Rt△DNA（HL），∴∠DAM＝∠NDA，∴∠BAD＝∠FDA，∵等边△ABC和等边△DEF的边长相等，∴BC＝AC＝AB＝DF，∠B＝∠F＝60°，∵AD＝AD，∴△ABD≌△DFA（ASA），∴S△ABD＝S△DFA，∴S△BDG＝S△FAG，同理：△ACD≌△DEA（SAS），∴S△ACD＝S△DEA，∴S△CDH＝S△EAG，选项A：当△BDG与△CDH的面积之和已知时，S△BDG+S△CDH可求出，而四边形AGDH的面积没办法求出，即△ABC的面积没办法求出，故选项A不符合题意；选项B：当△BDG与△AGF的面积之和已知时，S△BDG可以求出，而四边形AGDC的面积没办法求出，即△ABC的面积没办法求出，故选项B不符合题意；选项C：当△BDG与△CDH的周长之和时，BD+BG+DG+CD+DH+CH可以求出，∵△ABD≌△DFA，∴BD＝AF，∠BAD＝∠FDA，∴BG＝AG，∵AB＝DF，∴BG＝FG，同理：CD＝AE，DH＝AH，CH＝EH，∴BD+BG+DG+CD+DH+CH＝BD+BG+AG+CD+AH+CH＝（BD+CD）+（BG+AG）+（AH+CH）＝BC+AB+AC＝3BC，即BC可以求出，过点A作AM⊥BC于M，∵△ABC是等边三角形，∴BM=12根据勾股定理得，AM=32∴S△ABC=12BC•AM=34BC选项D：当△BDG与△AGF的周长之和已知时，可以求出BD+BG+DG，但求不出△ABC的边长，即△ABC的面积没办法求出，故选项B不符合题意；故选：C．12．（2022•永嘉县三模）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周辞算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD．连结CE，若CE＝AD，则tan∠BCE的值为（）A．12 B．23 C．34 【解答】解：如图，令CE交BG于点M，过点M作MN⊥BC于点N，设CH＝4x，∵Rt△AFB≌Rt△BGC≌Rt△CHD≌Rt△DEA，∴AF＝BG＝CH＝DE＝4x，FB＝GC＝HD＝EA，∵四边形EFGH是正方形，∴EF＝FG＝GH＝HE，∠CHE＝∠AFG＝90°，∵CE＝AD，∴HD＝EH＝EF＝FG＝FB＝CG＝GH＝2x，∴BC=在△EFM和△CGM中，∠EFM∴△EFM≌△CGM（AAS），∴FM＝GM＝x，在△BMN和△BCG中，∠MBN∴△BNM∽△BGC（AA），∴BMBC=MNGC，即即BN4∴MN=35∴CN=∴tan∠故选：C．13．（2022•温州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF，作GM⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L．若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，CE=10+2A．5 B．3+52 C．22 D【解答】解：设CF交AB于点P，过C作CN⊥AB于点N，如图：设正方形JKLM边长为m，∴正方形JKLM面积为m2，∵正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，∴正方形ABGF的面积为5m2，∴AF＝AB=5m由已知可得：∠AFL＝90°﹣∠MFG＝∠MGF，∠ALF＝90°＝∠FMG，AF＝GF，∴△AFL≌△FGM（AAS），∴AL＝FM，设AL＝FM＝x，则FL＝FM+ML＝x+m，在Rt△AFL中，AL2+FL2＝AF2，∴x2+（x+m）2＝（5m）2，解得x＝m或x＝﹣2m（舍去），∴AL＝FM＝m，FL＝2m，∵tan∠AFL=AP∴AP5∴AP=5∴FP=AP2+AF2=(5m∴AP＝BP，即P为AB中点，∵∠ACB＝90°，∴CP＝AP＝BP=5∵∠CPN＝∠APF，∠CNP＝90°＝∠FAP，∴△CPN∽△FPA，∴CPFP=CN∴CN＝m，PN=12∴AN＝AP+PN=5+1∴tan∠BAC=BC∵△AEC和△BCH是等腰直角三角形，∴△AEC∽△BCH，∴BCAC∵CE=10∴25∴CH＝22，故选：C．14．（2022•江北区模拟）如图，在锐角三角形△ABC中，分别以三边AB，BC，CA为直径作圆．记三角形外的阴影面积为S1，三角形内的阴影面积为S2，在以下四个选项的条件中，不一定能求出S1﹣S2的是（）A．已知△ABC的三条中位线的长度 B．已知△ABC的面积 C．已知BC的长度，以及AB，AC的长度和 D．已知AB，AC的长度及∠ACB的度数【解答】解：∵S1＝S3个半外圆﹣S6个弓形＝S3个外半圆﹣（S3个内半圆﹣2S△ABC﹣S2），∴S1＝2S△ABC+S2，∴S1﹣S2＝2S△ABC．A：若已知△ABC的三条中位线的长度，即可得到△ABC三边的长度，再根据海伦公式S=p(p-a)(p-b)(p-c)（a，b，c是三角形的三边，p=12（a+b+c）），据此求得三角形的面积，即可得到S1﹣S2的值，故A选项不符合题意；BC：∵已知AB，AC两边长度和，∴AB，AC的长度不确定，∴△ABC的面积也不确定，∴不一定能求出S1﹣S2的值，故C选项符合题意；D：如解图，过点A作AD⊥BC于点D．∵AD＝AC•sin∠ACB，在△ADC和△ADB中，∴CD=AC2-∴S△ABC=12•AD•（BD+CD），据此即可求得S1﹣S2的值，故故选C．二．填空题（共8小题）15．（2022•嘉兴）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件∠B＝60°（答案不唯一）．【解答】解：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故答案为：∠B＝60°．（答案不唯一）16．（2022•丽水模拟）如图，已知∠B＝∠D，请再添上一个条件∠BCA＝∠DCA（答案不唯一），使△ABC≌△ADC（写出一个即可）．【解答】解：添加的条件是∠BCA＝∠DCA，理由是：在△ABC和△ADC中，∠BCA∴△ABC≌△ADC（AAS），故答案为：∠BCA＝∠DCA（答案不唯一）．17．（2022•婺城区校级模拟）勾股定理是初中数学最重要的定理之一，如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置在最大正方形内．记四边形ABCD的面积为S1，△CDE的面积为S2，四边形DEFG的面积为S3，四边形FGHI的面积为S4，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出S2．【解答】解：设大正方形的面积为c，中正方形的面积为b，小正方形的面积为a，如图2，∵S1+S阴影=12（c﹣a），S1+S2=∵c＝a+b，∴b＝c﹣a，∴S1+S阴影＝S1+S2，∴S2＝S阴影，∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出S2，故答案为：S2．18．（2022•嘉兴二模）一副含45°和30°角的直角三角形纸板ABC和DEF按图1摆放，BC＝DE＝12，∠ABC＝∠DEF＝90°．现将点D从B点向A点滑动，边DE始终经过BC上一点G，BG＝2．H是DF边上一点，满足DH＝DG（如图2），当点E到达G点时运动停止．当E到达G点时BD的长为235；运动过程中AH的最小值是63-1【解答】解：当E与G重合时，在Rt△BDG中，DG＝DE＝12，BG＝2，∴BD=DG2如图2中，以BG为边，在BC的上方作等边△BGJ，作直线HJ交AB于点K，连接GH，过点A作AT⊥JH于点T．∵DG＝DH，∠GDH＝60°，∴△DGH是等边三角形，∴GD＝GH，∵∠JGB＝∠DGH＝60°，∴∠DGB＝∠HGJ，∵GB＝GJ，GD＝GH，∴△DGB≌△HGJ（SAS），∴∠HJG＝∠DBG＝90°，∴点H在过点J且垂直JG的直线上运动，根据垂线段最短可知，当AH与AT重合时，AH的值最小，∵∠KBJ＝∠KJB＝30°，∴BK＝KJ，∵GB＝GJ，GK＝GK，∴△GKB≌△GKJ（SSS），∴∠BGK＝∠JGK＝30°，∴BK＝BG•tan30°=2∴AK＝AB＝BK＝12-2∵AT⊥KT，∠AKT＝60°，∴AT＝AK•sin60°＝（12-233）×3∴AH的最小值为63-1故答案为：235，63-119．（2022•龙港市模拟）如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝2，点P在边CD上，M，N分别是AP，EF的中点，连结AC，MN，且MN＝AM，MN⊥AM，则AC的长为23，△ACP的面积为3．【解答】解：如图，作MG∥CD交AC于G，∵M是AP的中点，∴G是AC的中点，连接EM，∴EM∥CD，∴∠MEF＝60°，过点N作NH⊥ME于点H，∵N是EF的中点，∴EN=12EF＝∴HE=12EN∴NH=3HE=∵MN⊥AM，∴∠AMG+∠NMH＝90°，∵六边形ABCDEF是正六边形，AB＝2，∴AB＝AF＝BC＝EF＝2，∠ABC＝∠AFE＝∠BCD＝120°，∴∠BAC＝∠BCA＝30°，∴∠ACD＝90°，∴∠AGM＝90°，∴∠GAM+∠GMA＝90°，∴∠NMH＝∠GAM，在△AGM和△MHN中，∠AGM∴△AGM≌△MHN（AAS），∴GM＝NH=3∵GM∥CP，GM=12∴CP＝2GM=3连接BG，∵AB＝BC，且G是AC中点，∴AC＝2AG，AC⊥BG，∴BG=12AB＝1，AG=3BP=3，∴AC＝2AP=23∴△ACP的面积=12×AC•CP=1故答案为：23；320．（2022•乐清市三模）研究任务画出平分直角三角形面积的一条直线研究成果中线法分割法等积法BD是AC边上的中线若AEBE=DE∥BF成果应用如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，直线EF平分△ABC的面积．①若EF⊥AC，AFCF=2，则AC的值为32②若BE＝CF，AE＝EF，则AC的值为163【解答】解：①如图1，连接BF，设AC＝b，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，∴BC=A∴S△ABC=12AB•BC=12×由研究成果分割法得：若AEBE=n，则∵AFCF=∴n+1n解得：n＝3，∴AEBE=∵AB＝4，∴AE＝3，BE＝1，∵AF+CF＝b，AFCF=∴AF=23b，CF=∵S△AEF=12S△∴12AF•EF=12×即12×23b×EF∴EF=3在Rt△AEF中，AF2+EF2＝AE2，∴（23b）2+（3b2-16b）2＝3解得：b＝32，故答案为：32；②如图2，设D是AC的中点，连接DE、BD、BF，过点E作EG⊥AC于点G，由研究成果等积法得：点D是AC的中点，DE∥BF，∴AEBE=ADDF，设AEBE=n，则AE根据研究成果分割法得：若AEBE=n，则∴AE＝n•BE，∵AE+BE＝AB＝4，∴（n+1）BE＝4，∴BE=4n+1，又∵BE＝CF，∴CF=4∴AF=n+1n∴AC＝AF+CF=4∵AE＝EF，EG⊥AF，∴AG=12AF∵cosA=AG∴AG•AC＝AB•AE，16即2n-1∵n＞0，∴n＝2，∴AC=8故答案为：16321．（2022•西湖区模拟）如图，Rt△ABC≌Rt△EFD，∠BAC＝∠FED＝90°，tanB=43，点D为BC中点，连结AD，在Rt△EFD绕点D旋转的过程中，当点E落在直线AB上时，AEAB的值为43【解答】解：设AB＝6m，则在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，tanB=4∴AC＝8m，BC＝10m，∵Rt△ABC≌Rt△EFD，∴EF＝AB＝6m，DE＝AC＝8m，DF＝BC＝10m．∵点D为BC的中点，∴AD＝BD＝CD＝5m．过点D作DM⊥AB于点M，∴AM＝BM＝3m，∴DM＝4m．根据题意可知，需要分两种情况：当点E在射线BA的上时，如图，在Rt△DME中，由勾股定理可知，ME＝43m，∴AE＝（43-3）m∴AEAB当点E在射线AB上时，如图，在Rt△DME中，由勾股定理可知，ME＝43m，∴AE＝（43+3）m∴AEAB综上，AEAB的值为43-故答案为：43-322．（2022•温州模拟）如图1，是一种锂电池自动液压搬运物体叉车，图2是叉车侧面近似示意图．车身为四边形ABCD，AB∥DC，BC⊥AB，底座AB上装着两个半径为30cm的轮胎切于水平地面，AB＝169cm，BC＝120cm．挡货架AE上有一固定点T与AD的中点N之间由液压伸缩杆TN连接．当TN⊥AD时，TN的延长线恰好经过B点，则AD的长度是130cm；一个长方体物体准备装卸时，AE绕点A左右旋转，托物体的货叉PQ⊥AE（PQ沿着AE可上下滑动），PQ＝65cm，AE＝AD．当AE旋转至AF时，PQ下降到P'Q'的位置，此时F，D，C三点共线，且FQ'＝52cm，则点P'到地面的距离是77cm．【解答】解：连接BD，过D点D作DG交DG⊥AB于点G，如图2，∵N为AB的中点，且TN⊥AD，∴AN＝DN，∠ANB＝∠DNB＝90°，∵BN为△ABN与△DBN共公共边，在Rt△ABN和Rt△DBN中，∴BD＝AB＝169cm，∵AB∥DC，BC⊥AB，∴∠DCB＝90°，∴CD=BD2-BC∵BC⊥AB，DG⊥AB，∴BC∥DG，∴四边形DGBC为矩形，∴BG＝DC＝119cm，DG＝BC＝120cm，∴AG＝AB﹣BG＝169﹣119＝50cm，∴AD=DG2+如图3，过P′作P′H∥AB，过点Q′作Q′L⊥AB延长线，交AB延长线于点LL，交P′H于点I，过AA作AK⊥FC于点KK，则AK＝BC＝120cm，∠Q′HP′＝∠Q′AL＝∠F，∵AF＝AD＝130cm，∴FK=AF2-AK∴cos∠F=513，tan∠F=125，sin∵DF∥P′H，∴∠F＝∠P′HQ′，在Rt△P′Q′H中，P′Q′＝65cm，∴Q′H=P'Q在Rt△Q′IH在，Q′I＝Q′H•sin∠Q′H′I=32512×12在Rt△Q′AL中，Q′A＝AF﹣FQ′＝130﹣52＝78（cm），∴IL＝Q′L﹣LQ′＝72﹣25＝47，∵轮胎的半径为30cm，∴点P'到地面的距离是77cm．故答案为：130，77．三．解答题（共9小题）23．（2022•嘉兴）小东在做九上课本123页习题：“1：2也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1：2．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．（1）你赞同他的作法吗？请说明理由．（2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB．①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数．②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由．【解答】解：（1）赞同，理由如下：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝BC，∠A＝∠B＝45°，∴cos45°=AC∵AC＝AP，∴APAB∴点P为线段AB的“趣点”．（2）①由题意得：∠CAB＝∠B＝45°，∠ACB＝90°，AC＝AP＝BC，∴∠ACP=∴∠BCP＝90°﹣67.5°＝22.5°，∴∠CPB＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，∵△DPE∽△CPB，D，A重合，∴∠DPE＝∠CPB＝112.5°，∴∠CPE＝∠DPE+∠CPB﹣180°＝45°；②点N是线段ME的趣点，理由如下：当点D为线段AC的趣点时（CD＜AD），∴ADAC∵AC＝AP，∴ADAP∵ACAB=12，∠∴△ADP∽△ACB，∴∠ADP＝∠ACB＝90°，∴∠APD＝45°，DP∥CB，∴∠DPC＝∠PCB＝22.5°＝∠PDE，∴DM＝PM，∴∠MDC＝∠MCD＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴MD＝MC，同理可得MC＝MN，∴MP＝MD＝MC＝MN，∵∠MDP＝∠MPD＝22.5°，∠E＝∠B＝45°，∴∠EMP＝45°，∠MPE＝90°，∴MPME∴点N是线段ME的“趣点”．24．（2022•绍兴）如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD＝α．（1）如图，当P与E重合时，求α的度数．（2）当P与E不重合时，记∠BAD＝β，探究α与β的数量关系．【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝50°，∵AE平分∠BAC，P与E重合，∴D在AB边上，AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣∠BAC）÷2＝65°，∴α＝∠ACB﹣∠ACD＝25°；答：α的度数为25°；（2）①当点P在线段BE上时，如图：∵将△APC沿AP翻折得△APD，∴AC＝AD，∵∠BCD＝α，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，又∵∠ADC+∠BAD＝∠B+∠BCD，∠BAD＝β，∠B＝40°，∴（90°﹣α）+β＝40°+α，∴2α﹣β＝50°，②如图2，当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F，如图：∵将△APC沿AP翻折得△APD，∴AC＝AD，∵∠BCD＝α，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，又∵∠ADC＝∠AFC+∠BCD，∠AFC＝∠ABC+∠BAD，∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD+∠BCD＝40°+β+α，∴90°﹣α＝40°+α+β，∴2α+β＝50°；综上所述，当点P在线段BE上时，2α﹣β＝50°；当点P在线段CE上时，2α+β＝50°．25．（2022•鹿城区校级模拟）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，过点B，C分别作BF⊥AD，CE⊥AD，垂足为E，F．（1）求证：BF＝CE．（2）若BF＝3，AE＝2，求AC的长．【解答】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD∵BF⊥AD，CE⊥AD，∴∠BFD＝∠CED＝90°在△BFD和△CED中∠BFD∴△BFD≌△CED（AAS），∴BF＝CE；（2）解：在△AEC中，CE＝BF＝3，AE＝2，∴AC=26．（2022•温州校级模拟）如图，AD是△ABC的中线，CE⊥AD，BF⊥AD交AD的延长线于点F．（1）求证：△CDE≌△BDF；（2）若AE＝3，BF＝2，求AC的长．【解答】（1）证明：∵CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠CED＝∠BFD＝90°，∵AD为BC边上的中线，∴BD＝CD，在△CED和△BFD中，∠CED∴△CED≌△BFD（AAS）；（2）解：由（1）得：△CED≌△BFD，∴CE＝BF＝2，∵AE＝3，∴AC=A27．（2022•萧山区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．（1）求证：DE＝DF．（2）若AB＝13，BC＝10，求DE的长．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，D为BC中点，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE＝DF．（2）解：∵AB＝AC＝13，BC＝10，∴BD＝CD=12BC=12∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴AD=AB∵12AB•DE=12BD•AD＝S∴12×13DE=12∴DE=60∴DE的长为601328．（2022•下城区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上（不与点A，点C重合），连接BD，BD＝AB．（1）设∠C＝50°时，求∠ABD的度数；（2）若AB＝5，BC＝6，求AD的长．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝50°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝80°，∵BD＝AB，∴∠BDA＝∠A＝80°，∴∠ABD＝180°﹣∠A﹣∠BDA＝20°，（2）解：过点A作AM⊥BC于点M，BN⊥AC于点N，设AN＝x，则CN＝5﹣x，∵AB＝AC，AM⊥BC，∴M是BC的中点，∵AB＝5，BC＝6，∴AM=A∵BN2＝AB2﹣AN2＝BC2﹣CN2，∴25﹣x2＝36﹣（5﹣x）2，∴x=7∴AD＝2AN=1429．（2022•柯城区校级三模）定义：若三角形的一条边上的高线与这条边相等，则称这个三角形为“标准三角形”．如：在△ABC，CD⊥AB于点D，AB＝CD，则△ABC为标准三角形．【概念感知】判断：对的打“√”，错的打“×”．（1）等腰直角三角形是标准三角形．√（2）顶角为30°的等腰三角形是标准三角形．×【概念理解】若一个等腰三角形为标准三角形，则此三角形的三边长之比为1：1：2或5：5：2．【概念应用】（1）如图，若△ABC为标准三角形，CD⊥AB于点D，A