2023年九年级数学中考一轮复习《圆》解答题专题训练（含解析）

2022-2023学年九年级数学中考一轮复习《圆》解答题专题训练（附答案）1．如图，在平面直角坐标系中，以A（5，1）为圆心，以2个单位长度为半径的⊙A交x轴于点B、C，解答下列问题：（1）将⊙A向左平移个单位长度与y轴首次相切，得到⊙A′，此时点A′的坐标为，阴影部分的面积S＝；（2）求BC的长．2．如图，AO是△ABC的中线，⊙O与AB边相切于点D．（1）要使⊙O与AC边也相切，应增加条件（任写一个）；（2）增加条件后，请你说明⊙O与AC边相切的理由．3．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC＝BC，D为⊙O中上一点，延长DA至点E，使CE＝CD．（1）求证：AE＝BD；（2）若AC⊥BC，画出图形，探究线段AD、BD、CD之间的数量关系并证明．4．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于A、E、D，且AB∥CD，若OB＝6cm，OC＝8cm，求（1）∠BOC的度数；（2）⊙O的半径；（3）AB+CD的值．5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，⊙O的切线DE交AC于点E．（1）求证：E是AC中点；（2）若AB＝10，BC＝6，连接CD，OE，交点为F，求OF的长．6．如图，点D在⊙O上，过点D的切线交直径AB延长线于点P，DC⊥AB于点C．（1）求证：DB平分∠PDC；（2）若DC＝6，tan∠P＝，求BC的长．7．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．（1）求证：∠CBF＝∠CAB；（2）连接BD，AE交于点H，若AB＝5，tan∠CBF＝，求BH的值．8．如图，AB，AC分别是半⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作半⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P．连接PC并延长与AB的延长线交于点F．（1）求证：PC是半⊙O的切线；（2）若∠CAB＝30°，AB＝10，求线段BF的长．9．如图，AB是⊙O的直径，且点C为⊙O上的一点，∠BAC＝30°，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且∠ECF＝∠E．（1）证明：CF是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为1，且AC＝CE，求MO的长．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的面积．11．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，D是AB上一点，以BD为直径的⊙O切AC于点E，交BC于点F，连接DF．（1）求证：DF＝2CE；（2）若BC＝3，sinB＝，求线段BF的长．12．如图，以等腰△ABC中的腰AB为直径作⊙O，交底边BC于点D．过点D作DE⊥AC，垂足为E．（I）求证：DE为⊙O的切线；（II）若⊙O的半径为5，∠BAC＝60°，求DE的长．13．如图，已知：△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB＝，∠D＝30度．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AC＝6，求AD的长．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，交CA的延长线于点F．（1）求证：EF⊥AB；（2）若∠C＝30°，EF＝，求EB的长．15．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DC+DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长度．16．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC＝30°，CD⊥OC于C，ED⊥AB于F，（1）判断△DCE的形状；（2）设⊙O的半径为1，且OF＝，求证：△DCE≌△OCB．17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．（1）若∠POC＝60°，AC＝12，求劣弧PC的长；（结果保留π）（2）求证：OD＝OE；（3）求证：PF是⊙O的切线．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线．（2）如果⊙O的半径为5，sin∠ADE＝，求BF的长．19．如图，AB是⊙O的直径，∠B＝∠CAD．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点E是的中点，连接AE交BC于点F，当BD＝5，CD＝4时，求AF的值．20．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，AB∥OC．（1）求证：AC平分∠OAB．（2）过点O作OE⊥AB于点E，交AC于点P．若AB＝2，∠AOE＝30°，求PE的长．

参考答案1．解：（1）根据直线和圆相切的位置关系与数量之间的联系，得点A′的坐标是（2，1）；则移动的距离是5﹣2＝3；根据平移变换的性质，则阴影部分的面积即为图中平行四边形的面积＝2×3＝6；（2）如图，连接AC，过点A作AD⊥BC于点D，则BC＝2DC．由A（5，1）可得AD＝1．又∵半径AC＝2，∴在Rt△ADC中，DC＝∴BC＝2．2．（1）解：AB＝AC（或∠B＝∠C或AO平分∠BAC或AO⊥BC）．（2）证明：过O作OE⊥AC于E，连OD；∵AB切⊙O于D，∴OD⊥AB．∵AB＝AC，AO是BC边上中线，∴OA平分∠BAC，又∵OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，∴OE＝OD，∴AC是⊙O的切线．3．（1）证明：在△ABC中，∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA．在△ECD中，∵CE＝CD，∴∠E＝∠CDE，∵∠CBA＝∠CDE，（同弧上的圆周角相等），∴∠E＝∠CDE＝∠CAB＝∠CBA，∵∠E+∠ECD+∠EDC＝180°，∠CAB+∠ACB+∠ABC＝180°，∴∠ACB＝∠ECD，∴∠ACB﹣∠ACD＝∠ECD﹣∠ACD．∴∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD；（2）解：AD+BD＝CD，理由：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴∠DCE＝90°；又∵CD＝CE，∴△DCE为等腰直角三角形，∴DE＝CD，又∵DE＝AD+AE且AE＝BD，∴AD+BD＝CD．4．解：（1）连接OA，OE．∵直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于A、E、D，∴OA⊥AB，OE⊥BC，∴∠OAB＝∠OEB＝90°，OA＝OE在Rt△OAB与Rt△OEB中∴Rt△OAB≌Rt△OEB（HL）∴∠ABO＝∠OBE，AB＝BE同理可证：∠OCE＝∠OCD，CE＝CD，又∵AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB＝180°，∴∠OBC+∠OCB＝90°，∴∠BOC＝90°（2）在Rt△BOC中，BC＝＝10∴OB•OC＝BC•rr＝＝4.8即：⊙O的半径为4.8（3）由（1）可知：AB＝BE，CE＝CD，∴AB+CD＝BE+CE＝BC＝10即：BC的值为105．（1）证明：连接CD，∵∠ACB＝90°，BC为⊙O直径，∴ED为⊙O切线，且∠ADC＝90°；∵ED切⊙O于点D，∴EC＝ED，∴∠ECD＝∠EDC；∵∠A+∠ECD＝∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠A＝∠ADE，∴AE＝ED，∴AE＝CE，即E为AC的中点；∴BE＝CE；（2）解：连接OD，∵∠ACB＝90°，∴AC为⊙O的切线，∵DE是⊙O的切线，∴EO平分∠CED，∴OE⊥CD，F为CD的中点，∵点E、O分别为AC、BC的中点，∴OE＝AB＝＝5，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，由勾股定理得：AC＝8，∵在Rt△ADC中，E为AC的中点，∴DE＝AC＝＝4，在Rt△EDO中，OD＝BC＝＝3，DE＝4，由勾股定理得：OE＝5，由三角形的面积公式得：S△EDO＝，即4×3＝5×DF，解得：DF＝2.4，在Rt△DFO中，由勾股定理得：OF＝＝＝1.8．6．（1）证明：连接OD，如图，∵PD为切线，∴OD⊥PD，∴∠ODP＝90°，即∠ODB+∠PDB＝90°，∵CD⊥OB，∴∠DCB＝90°，∴∠CDB+∠DBC＝90°，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠CDB＝∠PDB，∴DB平分∠PDC；（2）解：作BE⊥PD，如图，∵DB平分∠PDC，BC⊥CD，BE⊥PD，∴BC＝BE，在Rt△PDC中，∵tanP＝＝＝，∴PC＝8，∴PD＝＝10，设BC＝x，则BE＝x，PB＝8﹣x，∵∠EPB＝∠CPD，∴Rt△PBE∽Rt△PDC，∴BE：DC＝PB：PD，即x：6＝（8﹣x）：10，解得x＝3，即BC的长为3．7．（1）证明：连接AE，∵AB是圆的直径，∴AE⊥BC，∵AB＝AC，∴AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE＝∠CAB，∵BF是⊙O的切线，∴∠CBF＝∠BAE，∴∠CBF＝∠CAB．（2）解：∵tan∠CBF＝tan∠EAB＝，∴＝，∵AB＝5，AB2＝BE2+AE2，∴25＝BE2+4BE2，∴BE＝，∵∠BAE＝∠CAE，∠EBD＝∠CAE，∴∠EBD＝∠EAB，∴tan∠EBD＝＝，∴EH＝，∴BH＝＝．8．（1）证明：连接OC，∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD＝CD，∴PA＝PC，在△OAP和△OCP中，，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OCP＝∠OAP∵PA是半⊙O的切线，∴∠OAP＝90°．∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC∴PC是⊙O的切线．（2）解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠CAB＝30°，∴∠COF＝60°，∵PC是半⊙O的切线，AB＝10，∴OC⊥PF，OC＝OB＝AB＝5，∴OF＝＝＝10，∴BF＝OF﹣OB＝5．9．（1）证明：如图，连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°；在Rt△EMB中，∵∠E+∠MBE＝90°，∴∠E＝30°；∵∠E＝∠ECF，∴∠ECF＝30°，∴∠ECF+∠OCB＝90°；∵∠ECF+∠OCB+∠OCF＝180°，∴∠OCF＝90°，∴CF为⊙O的切线；（2）解：在Rt△ACB中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴AC＝ABcos30°＝，BC＝ABsin30°＝1；∵AC＝CE，∴BE＝BC+CE＝1+，在Rt△EMB中，∠E＝30°，∠BME＝90°，∴MB＝BEsin30°＝，∴MO＝MB﹣OB＝．10．（1）证明：∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BC，∵AB＝AC，∴BE＝CE，∵AE＝EF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵AC＝AB，∴四边形ABFC是菱形．（2）设CD＝x．连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∴AB2﹣AD2＝CB2﹣CD2，∴（7+x）2﹣72＝42﹣x2，解得x＝1或﹣8（舍弃）∴AC＝8，BD＝＝，∴S菱形ABFC＝8．∴S半圆＝•π•42＝8π．11．（1）证明：连接OE交DF于G，∵AC切⊙O于E，∴∠CEO＝90°．又∵BD为⊙O的直径，∴∠DFC＝∠DFB＝90°．∵∠C＝90°，∴四边形CEGF为矩形．∴CE＝GF，∠EGF＝90°，∴DF＝2CE．（2）解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝3，，∴AB＝5，设OE＝x，∵OE∥BC，∴△AOE∽△ABC．∴，∴，∴，∴BD＝．在Rt△BDF中，∵∠DFB＝90°，sinB＝，∴cosB＝＝＝，∴BF＝．12．（I）证明：连接AD，连接OD；∵AB是直径，∴AD⊥BC，又∵△ABC是等腰三角形，∴D是BC的中点．∴OD∥AC，DE⊥AC．∴OD⊥DE．∴DE为⊙O的切线．（II）解：∵在等腰△ABC中，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形．∵⊙O的半径为5，∴AB＝BC＝10，．∴．13．（1）证明：如图，连接OA；∵sinB＝，∴∠B＝30°，∵∠AOC＝2∠B，∴∠AOC＝60°；∵∠D＝30°，∴∠OAD＝180°﹣∠D﹣∠AOD＝90°，∴AD是⊙O的切线．（2）解：∵OA＝OC，∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝6，∵∠OAD＝90°，∠D＝30°，∴AD＝•AO＝．14．（1）证明：连接AD、OD，∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，又∵AB＝AC，∴CD＝DB，又CO＝AO，∴OD∥AB，∵FD是⊙O的切线，∴OD⊥EF，∴FE⊥AB；（2）∵∠C＝30°，∴∠AOD＝60°，∴∠F＝30°，∴OA＝OD＝OF，∵∠AEF＝90°，EF＝，∴AE＝，∵OD∥AB，OA＝OC＝AF，∴OD＝2AE＝2，AB＝2OD＝4，∴EB＝3．15．（1）证明：连接OC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵AC平分∠PAE，∴∠DAC＝∠CAO，∴∠DAC＝∠OCA，∴PB∥OC，∵CD⊥PA，∴CD⊥OC，CO为⊙O半径，∴CD为⊙O的切线；（2）解：过O作OF⊥AB，垂足为F，∴∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，∴四边形DCOF为矩形，∴OC＝FD，OF＝CD．∵DC+DA＝6，设AD＝x，则OF＝CD＝6﹣x，∵⊙O的直径为10，∴DF＝OC＝5，∴AF＝5﹣x，在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2＝OA2．即（5﹣x）2+（6﹣x）2＝25，化简得x2﹣11x+18＝0，解得x1＝2，x2＝9．∵CD＝6﹣x大于0，故x＝9舍去，∴x＝2，从而AD＝2，AF＝5﹣2＝3，∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，∴AB＝2AF＝6．16．解：（1）△DCE为等腰三角形，理由为：∵∠ABC＝30°，圆周角∠ABC与圆心角∠AOC都对，∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，又∵OA＝OC，∴△OAC为等边三角形，∴∠OAC＝∠OCA＝60°，∵OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∴∠DCE＝180°﹣90°﹣60°＝30°，又∵EF⊥AF，∴∠AFE＝90°，∴∠E＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴∠DCE＝∠E，∴DC＝DE，则△DCE为等腰三角形；（2）∵OA＝OB＝1，OF＝，∴AF＝AO+OF＝1+＝，OA＝AC＝OC＝1，在Rt△AEF中，∠E＝30°，∴AE＝2AF＝+1，∴CE＝AE﹣AC＝+1﹣1＝，又∵AB为圆O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∠B＝30°，∴cos30°＝，即BC＝ABcos30°＝，∴CB＝CE＝，在△OBC和△DCE中，∵，∴△OBC≌△DCE（ASA）．17．（1）解：∵AC＝12，∴CO＝6，∴＝＝2π；答：劣弧PC的长为：2π．（2）证明：∵PE⊥AC，OD⊥AB，∠PEA＝90°，∠ADO＝90°在△ADO和△PEO中，，∴△POE≌△AOD（AAS），∴OD＝EO；（3）证明：法一：如图，连接AP，PC，∵OA＝OP，∴∠OAP＝∠OPA，由（2）得OD＝EO，∴∠ODE＝∠OED，又∵∠AOP＝∠EOD，∴∠OPA＝∠ODE，∴AP∥DF，∵AC是直径，∴∠APC＝90°，∴∠PQE＝90°∴PC⊥EF，又∵DP∥BF，∴∠ODE＝∠EFC，∵∠OED＝∠CEF，∴∠CEF＝∠EFC，∴CE＝CF，∴PC为EF的中垂线，∴∠EPQ＝∠QPF，∵△CEP∽△CAP∴∠EPQ＝∠EAP，∴∠QPF＝∠EAP，∴∠QPF＝∠OPA，∵∠OPA+∠OPC＝90°，∴∠QPF+∠OPC＝90°，∴OP⊥PF，∴PF是⊙O的切线．法二：设⊙O的半径为r．∵OD⊥AB，∠ABC＝90°，∴OD∥BF，∴△ODE∽△CFE又∵OD＝OE，∴FC＝EC＝r﹣OE＝r﹣OD＝r﹣BC∴BF＝BC+FC＝r+BC∵PD＝r+OD＝r+BC∴PD＝BF又∵PD∥BF，且∠DBF＝90°，∴四边形DBFP是矩形∴∠OPF＝90°∴OP⊥PF，∴PF是⊙O的切线．方法3、∵AC为直径，∴∠ABC＝90°又∵∠ADO＝90°，∴PD∥BF∴∠PCF＝∠OPC∵OP＝OC，∴∠OCP＝∠OPC∴∠OCP＝∠PCF，即∠ECP＝∠FCP∵PD∥BF，∴∠ODE＝