版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
第五章留数§2留数的一般理论一、定义定义如果函数f(z)在z0的邻域D内解析,那么根据柯西积分定理
但是,如果z0为f(z)的一个孤立奇点,则沿在z0的某个去心邻域0<|z-z0|<R内包含z0的任意一条正向简单闭曲线C的积分一般就不等于零.因此f(z)=...+c-n(z-z0)-n+...+c-1(z-z0)-1
+c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...0<|z-z0|<R两端沿C逐项积分:称C-1为f(z)在z0的留数,记作Res[f(z),z0],即
如果z0是f(z)的可去奇点,则Res[f(z),z0]=0.如果z0是本性奇点,则只好将其按洛朗级数展开.如果z0是极点,则有一些对求c-1有用的规则.
求函数在孤立奇点z0处的留数即求它在洛朗级数中
(z-z0)-1项的系数c-1即可.但如果知道奇点的类型,对求留数可能更有利.证明由于z0是f(z)的1阶极点,所以在z0的某个去心邻域内的Laurent级数展开式为故所以二.留数的计算规则
规则1
如果z0为f(z)的一阶极点,则规则2
如果z0为f(z)的m阶极点,则事实上,由于
f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...,
(z-z0)mf(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+...+c-1(z-z0)m-1+c0(z-z0)m+...,令两端zz0,右端的极限是(m-1)!c-1,两端除以(m-1)!就是Res[f(z),z0],即得规则2,当m=1时就是规则1。例求和在孤立奇点处的留数.
z=0是g(z)的1阶极点,于是易知z=1和z=2都是f(z)的1阶极点,故例求在孤立奇点处的留数.处解析,且所以是f(z)的1阶极点,并且显然和都在例求在z=0处的留数.可知,z=0是f(z)的3阶极点,定理一(留数定理)
设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点z1,z2,...,zn外处处解析.C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,则Dz1z2z3znC1C2C3CnC三、留数定理[证]把在C内的孤立奇点zk(k=1,2,...,n)用互不包含的正向简单闭曲线Ck围绕起来,则根据复合闭路定理有注意定理中的条件要满足。例如不能应用留数定理。由规则1,得我们也可以用规则3来求留数:这比用规则1要简单些.例4
解:所以原式=定义
设函数f(z)在圆环域R<|z|<(R≥0)内解析,即无穷远点为f(z)的孤立奇点。C为圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线,则积分四、在无穷远点的留数理解为C的负方向。的值与C无关,称其为f(z)在点的留数,记作f(z)在圆环域R<|z|<内解析,则洛朗展开式为:
这就是说,f(z)在点的留数等于它在点的去心邻域R<|z|<+内洛朗展开式中z-1的系数相反数.定理二
如果f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那么f(z)在所有各奇点(包括点)的留数总和必等于零.证:除点外,设f(z)的有限个奇点为zk(k=1,2,...,n).且C为一条绕原点的并将zk(k=1,2,...,n
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 福利院义养合同
- 扶持创业协议书最简单处理方法
- 夫妻关联责任协议书范本
- 高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)第04讲数列的通项公式(练习)(原卷版+解析)
- 医院洁净、消毒、运送、病房护理、专业设施设备运行维护服务项目需求
- 2021-2022学年吉林省榆树一中物理高一下期末检测试题含解析
- 2021-2022学年湖南省怀化市中方县一中物理高一下期末综合测试试题含解析
- 2021-2022学年湖北省仙桃、天门、潜江市物理高一第二学期期末检测模拟试题含解析
- 2021-2022学年河南省周口中英文学校物理高一第二学期期末质量检测试题含解析
- 2021-2022学年河南省淮阳县第一高级中学物理高一下期末学业水平测试试题含解析
- WMO四年级初级测评专项训练
- 第27课 中国特色社会主义的开创与发展 说课课件-2023-2024学年高一上学期统编版(2019)必修中外历史纲要上
- 四上科学2-2《呼吸与健康生活》课件
- 高级摄影师理论试卷合集
- 中央电大专科《生产与运作管理》考试小抄及中央电大专科《小企业管理》考试小抄
- 幼儿入园焦虑与教师应对策略研究
- 危急值【放射科】-课件
- 诊断学呼吸系统常见症状课件
- 双方自愿达成调解协议书
- 高三励志主题班会65张课件
- 心理健康教育教师工作考核制度
评论
0/150
提交评论