物理竞赛辅导(1)2005

力学部分主要公式：（1）.牛顿第二定律（2）.角动量定理对于质点,角动量对于刚体,角动量(3).保守力与势能关系(4).三种势能重力势能弹性势能万有引力势能(5).保守力的特点作功与路径无关(6)振动函数(7)旋转矢量(8).振动的微分方程圆频率:

(9).简谐振动的合成(10).阻尼振动(11).洛伦兹时空坐标变换和速度变换例1：两个均质圆盘转动惯量分别为和开始时第一个圆盘以的角速度旋转，第二个圆盘静止，然后使两盘水平轴接近，求：当接触点处无相对滑动时，两圆盘的角速度解：受力分析：无竖直方向上的运动以O1点为参考点，计算系统的外力矩：作用在系统上的外力矩不为0，故系统的角动量不守恒。只能用转动定律做此题。对于盘1：阻力矩两边积分对于盘2：两边积分于是有：不打滑条件：接触点处两盘的线速度相等可解得：例2:质量为2m,半径为R的均质圆盘形滑轮,挂质量分别为m和2m的物体,绳与滑轮之间的摩擦系数为,问为何值时绳与滑轮之间无相对滑动.解:受力分析:列方程:滑轮:不打滑的条件:由以上四式解得:绳中的张力分析任取线元此线元切向运动方程为：此线元法向运动方程为：利用近似：忽略二阶无穷小量，得到：两式相除得到：两式相除得到：解此方程得到：当时，于是得到摩擦系数为：例3.一个质量为m的卫星围绕着质量为M,半径为R的大星体作半径为2R的圆周运动.从远处飞来一个质量为2m,速度为的小流星.恰好沿着卫星运动方向追上卫星并和卫星发生激烈碰撞,结成新的星体,作用时间非常短.假定碰撞前后位置的变化可以忽略不计,新星的速度仍沿原来方向.（1）试用计算表明新星的轨道类型,算出轨道的偏心率.（2）如果小流星沿着卫星速度的反方向发生如上的碰撞给出新星体能否与大星体M碰撞的判断。（1）解:轨道类型与新星的机械能的正负有关.如果动能大于势能,新星可以摆脱地球的吸引,轨道成为非闭合的如果动能小于于势能,新星不能摆脱地球的吸引,轨道成为闭合的,即椭圆轨道.可以用新星的机械的正负来判断轨道的类型.偏心率的定义为为了计算碰后的机械能,首先要计算出碰后的速度.设碰后新星速度为碰撞过程动量守恒.碰前卫星的运动方程为求得碰前卫星的运动速度:碰撞过程动量守恒求得碰后新星的运动速度:此时的位置相当于在新星运动的近地点.我们计算新星近地点的机械能说明新星作椭圆轨道运动.下面我们讨论一下新星的机械能与远地点距离关系新星运动角动量守恒得到带入远地点的机械能表达式此能量应等于新星在近地点的机械能解得经化简得到偏心率（2）解：反方向碰撞，设碰后新星体的速度为碰前卫星的速度:质量为m碰前流星的速度:质量为2m碰撞过程动量守恒求得碰后新星的运动速度:此时的位置相当于在新星运动的远地点.我们计算新星远地点的机械能说明新星作椭圆轨道运动.新星运动角动量守恒得到带入近地点的机械能表达式此能量应等于新星在远地点的机械能解得经化简得到肯定与大星体相碰。例4、水平弹簧振子，弹簧的劲度系数为，振子的质量为，水平阻尼力的大小与振子的运动速度成正比比例系数为，求形成低阻尼振动的条件。解：据牛顿第二定律，得到或设特解为带入（1）式，得到得到两个特解低阻尼（欠阻尼）情况，振子作衰减振荡运动，e指数的变量必须是复数。需满足条件即：xta.低阻尼（欠阻尼）：b.临界阻尼：c.高阻尼（过阻尼）：例5两弹性系数都是的弹簧它们与质量为两固定端之间的距离为，等于两弹簧原长的和，微微波动一下滑块，使其作微小的振动运动，求振动圆频率。的绝缘滑块连接，滑块内植入一电量为的正点电荷两固定端处各放一电量为的正点电荷解：当位移为时，滑块受力滑块运动方程由于，对力作近似处理利用得到滑块振动方程变为振动圆频率为热学部分：(1).理想气体的状态方程:(2).理想气体的压强公式MP=VTRMmol(3).内能(4).分子按速律分布dNN24mv=vπ()mπ32e2kT22kTdv速率在VV+dV区间的分子数在总分子数中所占比例(5)玻耳兹曼分布律(6)三种速率a.平均速率

b.方均根速率vp=2kTmc.最概然速率dλπkTnP2=π2=122d(7).平均自由程

和平均碰撞频率(8).功:对于有限过程(9).热力学第一定律的微分形式(10).热容量理想气体定容热容量：定压热容量：(11).绝热过程方程(12).热机的效率(13).致冷系数(14).熵变(15).熵增加原理(16).熵与微观态的关系例1：P~V图中AC曲线代表一绝热曲线，MN曲线代表一等温过程问：任一过程AB是吸热还是放热？为什么？ACBMN解：ABCA构成一循环，总的内能增量这里ACBMN所以过程AB是吸热的。例21mol刚性双原子气体经历如图所示的循环，OPVV12V1P12P1abc解：气体对外作功（1）ab过程吸热：利用计算效率实际是放热。求循环效率。OPVV12V1P12P1abc（2）bc过程吸热（3）ca过程过程方程设为：这里：OPVV12V1P12P1abc取一微小过程寻找绝热点寻找吸热到放热的转变点而过程方程（a）当即：OPVV12V1P12P1abc系统吸热（b）当即：系统放热（c）当即：系统既不放热也不吸热OPVV12V1P12P1abcece过程吸热总吸热为：效率为例3绝热汽缸内有一不导热的隔板，把汽缸分成A,B

两室，每室中容有质量相同的同种单原子分子理想气体它们的压强都是，体积都是，温度都是。今通过A室中的电热丝对气体加热，转给气体的热量为，达到平衡时，A室的体积是B室的二倍，试求两室中气体的温度。ABL解：A室初态末态B室初态末态据理想气体的状态方程有两式相除，得到即：由于汽缸的体积是不变的，电热丝的热量全部变成了两室的内能增量：或写成：（1）（2）两式联立，可求得：据有因此末态两室的温度为例4某理想气体经历的正循环过程ABCDA和正循环过程AEFGA,各自效率分别为和试证ABEGFDCV02V0P02P03P0P0V

证明：对于循环过程ABCDAA-B和B-C为吸热过程共吸热ABEGFDCV02V0P02P03P0P0V此循环过程对外作功为效率：对于循环过程AEFGAA-E和E-F为吸热过程共吸热ABEGFDCV02V0P02P03P0P0V此循环过程对外作功为效率：

所以证毕。例5刚性容器中装有温度为的1摩尔氮气，在此气体与温度也是的热源之间工作一个制冷机，它从热源吸热，向容器中的气体放出热量经一段时间后，容器中的氮气的温度升至试证明该过程中制冷机必须消耗的功工作物质证明：据热力学第一定律，应有功：要证明的表达式是用温度表示的，下面将热量用温度来表示。据熵增加原理写出与温度的关系。将气体、冷机工作物质和热源视为大系统。工作物质大系统是孤立系统，其熵永不增加。据熵增加原理，大系统熵变其中气体熵变：（这里为摩尔热容量）热源熵变：工作物质冷机工作物质熵变：所以功：证毕。有例6、两个与大气接触的汽缸分别存有同种理想气体，细管绝热阀门K关闭，缸内气体温度和体积各为和，两缸上方均有轻质可动活塞，活塞与缸壁间无空隙且无摩擦，系统与外