2022衡水中学地理内部学习资料专题06 离心率（新高考地区专用）（解析版）

专题06离心率技巧导图技巧导图技巧详讲技巧详讲焦点三角形中的离心率1.椭圆（1）椭圆：设椭圆焦点三角形两底角分别为、，则(正弦定理)。2.双曲线：利用焦点三角形两底角来表示:。双曲线的渐进线与离心率关系直线与双曲线相交时，两个交点的位置两个交点在双曲线的两支：两个交点在双曲线的同一支:两个交点在双曲线的左支:两个交点在双曲线的右支:焦点弦与离心率关系，则有(为直线与焦点所在轴的夹角)。例题举证例题举证技巧1焦点三角形中的离心率【例1】(1)．已知，是双曲线：的左、右焦点，点在上，与轴垂直，，则双曲线的离心率为（）A．2 B．2 C． D．（2）（2020·安徽省高三三模）已知椭圆：的左右焦点分别为，，若在椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】（1）C（2）A【解析】（1）不妨设代入双曲线方程得，.故答案选：C（2），（当且仅当时取等号），，由椭圆定义知：，又，，，，又，离心率的取值范围为.故选：.【举一反三】1．（2020·沙坪坝区·重庆一中高三月考）已知点P在以为左，右焦点的椭圆上，在中，若，，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】中，所以故选：B2．（2020·全国高三专题练习）已知点是以、为焦点的椭圆上一点，若，，则椭圆的离心率（）A． B． C． D．【答案】A【解析】点是以、为焦点的椭圆上一点，，，，，可得，，由勾股定理可得，即，，因此，该椭圆的离心率为.故选：A.3．（2019·辽宁沈阳市·沈阳二中高三月考（理））椭圆的离心率为，、是椭圆的两个焦点，是圆上一动点，则的最小值是（）A． B． C． D．0【答案】A【解析】椭圆的离心率为，即.，故，当时等号成立.根据余弦定理：.故选：.技巧2点差法中的离心率【例2】（1）（2020·四川外国语大学附属外国语学校）过点作直线与椭圆相交于两点，若是线段的中点，则该椭圆的离心率是（）A． B． C． D．（2）（2020·安徽省潜山第二中学）已知A，B是椭圆E：的左、右顶点，M是E上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为，则E的离心率为A． B． C． D．【答案】（1）B（2）D【解析】（1）设，，由直线的斜率为可得，由线段的中点为可得，，由点在椭圆上可得，作差得，所以，即，所以，所以该椭圆的离心率.故选：B.（2）由题意方程可知，，设,则,，整理得：，①又，得，即，②联立①②，得，即，解得．故选D．【举一反三】1．已知双曲线：，斜率为2的直线与双曲线相交于点、，且弦中点坐标为，则双曲线的离心率为（）A．2 B． C． D．3【答案】B【解析】设、，则，，所以，所以，又弦中点坐标为，所以，，又，所以，即，所以双曲线的离心率.故选：B.2．（2020·全国高三专题）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴，∴点在以为直径的圆上，又点在椭圆内部，∴，∴，即，∴，即，又，∴，故选：B.3．（2020·全国高三专题练习）若，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，当，且，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意可知，，，，，由椭圆定义可知，.故选：C.技巧3渐近线与离心率【例3】已知圆的一条切线与双曲线有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意，圆心到直线的距离，解得，圆的一条切线与双曲线有两个交点，所以，所以，所以.故选：D.【举一反三】1．若双曲线（，）与直线无公共点，则离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】若双曲线与直线无公共点，等价为双曲线的渐近线的斜率，即，即，即，即，则，则，，离心率满足，即双曲线离心率的取值范围是，故选：A．2．已知双曲线(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是（）A． B．(1,2), C． D．【答案】A【解析】已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，，离心率，，故选．3．（2020·河南新乡市·高三）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过原点作斜率为的直线交的右支于点，若，则双曲线的离心率为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】题可知，，，，所以，可得.在中，由余弦定理可得，即，解得.双曲线的离心率为.故选：D.技巧4焦点弦与离心率【例4】（2020·石嘴山市第三中学高三三模）已知椭圆的左右焦点分别为，过作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，且，则椭圆的离心率=（）A． B． C． D．【答案】D【解析】椭圆的左右焦点分别为，过且斜率为的直线为联立直线与椭圆方程消后，化简可得因为直线交椭圆于A，B，设由韦达定理可得且，可得，代入韦达定理表达式可得即化简可得所以故选：D．【举一反三】1．（2020·河南省高三月考）倾斜角为的直线经过椭圆右焦点，与椭圆交于、两点，且，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设到右准线距离为，则，因为，则，所以到右准线距离为，从而倾斜角为，，选B.2．（2020·全国高三专题练习）已知、是双曲线(，)的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，交另一条渐近线于点，且，则该双曲线的离心率为（）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【解析】（1）当时，设，则，设，由题意可知，，，，则，，，代入得，即，解得，则，（2）当时，设，，设，则，，由题意可知，，，，则，，，则，则，代入得，即，解得，则，故选：B.3．（2019·浙江高三其他模拟）已知过双曲线的右焦点F，且与双曲线的渐近线平行的直线l交双曲线于点A，交双曲线的另一条渐近线于点B（A，B在同一象限内），满足，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．2【答案】B【解析】双曲线的渐近线方程为，如图，不妨设在第一象限，直线的方程为，与联立，得；直线与联立，得．由，得，即，得，即，则，故选：B．技巧强化技巧强化1．已知倾斜角为的直线与双曲线C：（，）相交于A，B两点，是弦的中点，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为倾斜角为的直线与双曲线C：（，）相交于A，B两点，所以直线的斜率，设，则①②由①②得则因为是弦的中点，因为直线的斜率为1即所以，则，故选：D2．设F是双曲线的右焦点.过点F作斜率为-3的直线l与双曲线左、右支均相交.则双曲线离心率的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为双曲线的两条渐近线方程为，当过点F且斜率为-3的直线l与渐近线平行时.直线l只与双曲线右支有一个交点，数形结合可知，当渐近线的斜率满足，即时，直线l与双曲线左、右支均相交，所以.故选:C.3．（2019·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三月考）已知，分别是椭圆的左、右焦点，P是此椭圆上一点，若为直角三角形，则这样的点P有（）.A．2个 B．4个 C．6个 D．8个【答案】C【解析】由题意，则，当为椭圆短轴顶点时，，，，即，短轴顶点有2个，过或作轴垂直与椭圆相交的点在4个，都是直角三角形，因此共有6个．故选：C.4．（2020·广东广州市）已知,分别是椭圆的左,右焦点,椭圆上存在点使为钝角,则椭圆的离心率的取值范围是A． B． C． D．【答案】A【解析】设椭圆的上顶点为，则∵椭圆上存在点，使为钝角,故答案为A5．（2020·河北石家庄市）已知椭圆，点M,N为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H，使,则离心率e的取值范围为A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意设，则可得：故选A．6．（2020·全国高三专题练习）椭圆C：的左焦点为F，若F关于直线x＋y＝0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）A． B．C． D．－1【答案】D【解析】设F（－c,0）关于直线x＋y＝0的对称点为A（m，n），则，解得m＝，n，代入椭圆方程可得化简可得e4－8e2＋4＝0，又0＜e＜1，解得e＝－1.故选：D.7．（2020·全国高三专题练习）已知椭圆（a>b>0）的左右焦点分别为F1，F2．P是椭圆上一点．PF1F2为以F2P为底边的等腰三角形，当60°<PF1F2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（） B．（） C．（） D．（0）【答案】B【解析】由题意可得，即，所以，又，则，所以，则，即．故答案选B．8．（2020·广东肇庆市）已知椭圆的左右顶点分别为，是椭圆上异于的一点，若直线的斜率与直线的斜率乘积，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意可知.设，代入椭圆方程得.代入得，即，与对比后可得，所以椭圆离心率为.故选D.9．（2020·全国高三专题练习）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，焦距为2c，直线与双曲线的一个交点M满足，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】由题意，直线过左焦点且倾斜角为60°，∴，，∴，即∴，∴，双曲线定义有，∴离心率.11．（2020·全国）若、为椭圆：()长轴的两个端点，垂直于轴的直线与椭圆交于点、，且，则椭圆的离心率为______【答案】【解析】设、，因为，，所以，所以，所以.故答案为：12．（2020·全国高三专题练习）已知椭圆的离心率为，过右焦点作倾斜角60°的直线交于，两点（A在第一象限），则________.【答案】【解析】因为离心率为，所以,设直线的方程代入椭圆方程：得：，又∵点在第一象限，故，所以13．（2020·全国高三专题练习）设双曲线的左、右焦点分别为、，若在双曲线的右支上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是____.【答案】【解析】由双曲线的定义可得，又，则，，所以，.因此，双曲线的离心率的取值范围是.故答案为：.14．（2020·台州市书生中学高三其他）已知椭圆，，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆的下顶点，直线交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为【答案】【解析】如图，点在椭圆上，所以，由，代入上式得，在，，又，所以，即，15．（2020·开鲁县第一中学）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，是以为底边的等腰三角形，若，则该椭圆的离心率的取值范围是【答案】【解析】由题意可得

PF2=F1F2=2c，再由椭圆的定义可得PF1=2a-PF2=2a-2c．

设∠PF2F1=，则，△PF1F2中，由余弦定理可得

cos=由-1＜cosθ

可得3e2+2e-1＞0，e＞，由cosθ＜，可得2ac＜a2，e=，综上16．（2020·四川省绵阳南山中学高三）设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为【答案】【解析】设，则由椭圆的定义，可以得到,在中，有，解得在中，有整理得，17．（2020·河北省高三）已知椭圆，，，过点的直线与椭圆交于，，过点的直线与椭圆交于，，且满足，设和的中点分别为