高考数学总复习：第4章《平面向量、数系的扩充与复数的引入》【1】

第一节平面向量的概念及其线性运算[主干知识梳理]一、向量的有关概念1．向量：既有大小又有

的量叫向量；向量的大小叫做向量的

．2．零向量：长度等于

的向量，其方向是任意的．3．单位向量：长度等于

的向量．方向模01个单位4．平行向量：方向相同或

的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．5．相等向量：长度相等且方向

的向量．6．相反向量：长度相等且方向

的向量．相反相同相反二、向量的线性运算b＋aa＋(b＋c)b＋aa＋(b＋c)三、向量的数乘运算及其几何意义1．定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作

，它的长度与方向规定如下： (1)|λa|＝

； (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向

；当λ<0时，λa的方向与a的方向

；当λ＝0时，λa＝

．λa|λ||a|相同相反02．运算律：设λ，μ是两个实数，则 (1)λ(μa)＝(λμ)a； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb.四、共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得

．b＝λa[基础自测自评]1．下列命题正确的是() A．不平行的向量一定不相等 B．平面内的单位向量有且仅有一个 C．a与b是共线向量，b与c是平行向量，则a与c是方向相同的向量 D．若a与b平行，则b与a方向相同或相反A[对于B，单位向量不是仅有一个，故B错；对于C，a与c的方向也可能相反，故C错；对于D，若b＝0，则b的方向是任意的，故D错，综上可知选A.]2．如图所示，向量a－b等于()

A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2 C．e1－3e2 D．3e1－e2

[关键要点点拨]共线向量定理应用时的注意点(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．向量的有关概念

③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中假命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4③不正确．两向量不能比较大小．④不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．答案C[规律方法]1．平面向量的概念辨析题的解题方法 准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．2．几个重要结论 (1)向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性； (2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量； (3)向量平行与起点的位置无关．

[跟踪训练]1．设a0为单位向量， ①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0； ②若a与a0平行，则a＝|a|a0； ③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0. 上述命题中，假命题的个数是() A．0 B．1 C．2 D．3D[向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.]向量的线性运算

答案D答案A[规律方法]在进行向量的线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则求解，并注意利用平面几何的性质，如三角形中位线、相似三角形等知识．答案C答案2共线向量

[规律方法]1．当两向量共线时，只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，解决向量共线问题要注意待定系数法和方程思想的运用．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．【答案】D【高手支招】判断与向量有关的基本概念问题，首先考虑向量为零向量时是否成立，这样可快速作出判断．2．(2012·浙江高考)设a，b是两个非零向量．() A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b| C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|C[由|a＋b|＝|a|－|b|两边平方，得a2＋b2＋2a·b＝|a|2＋|b|2－2|a|·|b|，即a·b＝－|a|·|b|，故a与b