高考数学(理)一轮复习课件：二项式定理

第三节二项式定理1.能用计数原理证明二项式定理；2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.1.二项展开式的通项公式的应用，利用通项公式求特定的项或特定项的系数，或已知某项，求指数n等是考查重点；2.赋值法、化归思想是解决二项展开式问题的基本思想和方法，也是高考考查的热点；3.题型以选择题和填空题为主，与其他知识点交汇则以解答题为主.1.二项式定理二项式定理二项展开式的通项二项式系数(a+b)n=__________________________________________(n∈N*)Tk+1=__________,二项展开式中各项的系数为_________________________________(k=0,1,2,…,n)它表示第______项【即时应用】(1)(a+b)n展开式中，二项式系数(k=0,1,2,…,n)与展开式中项的系数______(填：“一定”，“不一定”)相同.(2)=______.(3)的展开式中，x3的系数等于______.【解析】(1)二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念,二项式系数是指它只与各项的项数有关，而与a,b无关；而项的系数是指该项中除变量外的部分，它不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a,b所代表的项有密切关系.(2)原式=(1-2)11=-1.(3)的通项为Tr＋1＝令6－r＝3，得r＝2，r－3＝0，故x3的系数为(－1)2＝15.答案：(1)不一定(2)-1(3)152.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即_________.(2)增减性：①二项式系数当k＜_____时，二项式系数是递增的；②当k＞______时，二项式系数是递减的.3)最大值:①当n是偶数时，中间的一项___取得最大值；②当n是奇数时，中间两项_____和_____相等，且同时取得最大值.【即时应用】(1)二项式(1-x)4n+1的展开式中，系数最大的项为第______项.(2)若展开式中第6项的系数最大，则不含x的项等于______.【解析】(1)因为4n+1为奇数，所以展开式有4n+2项，则T2n+1=(-x)2n,T2n+2=(-x)2n+1，系数分别为所以系数最大的项为第2n+1项.(2)由已知，得第6项应为中间项，则n=10.令30-5r=0，得r=6.∴T6+1==210.答案：(1)2n+1(2)2103.各个二项式系数的和(1)(a+b)n的展开式的各个二项式系数的和等于___，即_____________________；(2)二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即=______________=_____.2n2n-1【即时应用】(1)若(x－)n的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项的系数之和为______.(2)已知(3-x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0-a1+a2-a3+a4等于______.(3)已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0+a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于______．【解析】(1)依题意，得＝15，即＝15，n(n－1)＝30(其中n≥2)，由此解得n＝6，因此展开式中所有项的系数之和为(1－)6＝(2)由题意，可知令x＝－1，代入式子，可得a0-a1+a2-a3+a4＝［3－(－1)］4＝256.(3)分别令x＝1、x＝－1,得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0,a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝32，由此解得a0＋a2＋a4＝16，a1＋a3＋a5＝－16，所以(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)＝－256.答案:(1)(2)256(3)-256

求二项展开式中特定的项或特定项的系数【方法点睛】1.理解二项式定理应注意的问题(1)Tr+1通项公式表示的是第“r+1”项，而不是第“r”项；(2)通项公式中a和b的位置不能颠倒；(3)展开式中第r+1项的二项式系数与第r+1项的系数在一般情况下是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心,以防出错.2.求特定项的步骤(1)根据所给出的条件(特定项)和通项公式建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n为正整数，r为非负整数，且r≤n)；(2)根据所求项的指数特征求所要求解的项.【例1】(1)(2012・宁波模拟)在的展开式中，系数为有理数的项共有______项.(2)(2012・烟台模拟)(x+-1)5展开式中的常数项为______.(3)在的展开式中，系数绝对值最大的项是第几项？【解题指南】(1)先明确系数为有理数的项的特征，然后由二项展开式的通项找出符合条件的项的个数.(2)可将括号内的三项分成两组看成两项，再利用二项式定理求解，也可直接展开所给式子进行求解.(3)设第r+1项系数的绝对值最大，据此可构造含有r的不等式组，求出r的范围后，再求项数.【规范解答】(1)∵要求系数为有理数的项，则r必须能被4整除.由0≤r≤20且r∈N知，当且仅当r=0,4,8,12,16,20时所对应的项系数为有理数.答案:6(2)方法一：∵(x+-1)5=［(x+)-1］5,∴它的展开式的通项为：Tr+1=(0≤r≤5).当r=5时，Tr+1=×1×(-1)5=-1，当0≤r＜5时，(x+)5-r的通项公式为

∵0≤r≤5且r∈Z,∴r只能取1或3,相应的k值分别为2或1，即或所以，其常数项为

(-1)+(-1)3+(-1)=-51.方法二：由于本题只是5次展开式，也可以直接展开［(x+)-1］5，即［(x+)-1］5=(x+)5-5(x+)4+10(x+)3-10(x+)2+5(x+)-1.由x+的对称性知，只有在x+的偶次幂中，其展开式才会出现常数项，且是各自的中间项.所以，其常数项为：答案:-51(3)设第r+1项系数的绝对值最大，则即：5≤r≤6，故系数绝对值最大的项是第6项和第7项.【互动探究】在本例(3)中，条件不变，求系数最大的项和最小的项？【解析】由本例(3)知，展开式的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正.故系数最大的项为：系数最小的项为：【反思・感悟】求二项式n次幂的展开式中的特定项，一般利用结合律，借助于二项式定理的通项求解；当幂指数比较小时，可以直接写出展开式的全部或局部.【变式备选】已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列.(1)求证：展开式中没有常数项；(2)求展开式中所有的有理项.

二项式系数和或各项的系数和【方法点睛】赋值法的应用(1)对形如(ax+b)n、(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x=1即可；对形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x=y=1即可.(2)若f(x)=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=【提醒】“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解题易出现漏项等情况，应引起注意.【例2】(2012・梅州模拟)设(2x-1)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，求：(1)a0+a1+a2+a3+a4;(2)|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|；(3)a1+a3+a5；(4)(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2.【解题指南】(2x-1)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5为关于x的恒等式，求系数和的问题可用赋值法解决.【规范解答】设f(x)=(2x-1)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则f(1)=a0+a1+a2+…+a5=1,f(-1)=a0-a1+a2-a3+a4-a5=(-3)5=-243.(1)∵a5=25=32,∴a0+a1+a2+a3+a4=f(1)-32=-31.(2)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|=-a0+a1-a2+a3-a4+a5=-f(-1)=243.(3)∵f(1)-f(-1)=2(a1+a3+a5),∴a1+a3+a5==122.(4)(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2=(a0+a1+a2+a3+a4+a5)(a0-a1+a2-a3+a4-a5)=f(1)×f(-1)=-243.【反思・感悟】1.赋值法是解这类问题的重要方法，运用赋值法求值要抓住代数式的结构特征，通过特殊值代入构造相应的结构.2.本题是关于二项展开式各项系数的常见问题，应掌握f(1),f(-1)的意义，借助f(1)求展开式各项的系数和是常用的方法.【变式训练】1.已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且a1＋a2＋…＋an－1＝29－n，则n＝______.【解析】易知an＝1，令x＝0得a0＝n，所以a0＋a1＋…＋an＝30.又令x＝1，有2＋22＋…＋2n＝a0＋a1＋…＋an＝30，即2n＋1－2＝30，所以n＝4.答案:42.已知(1－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若5a1＋2a2＝0，则a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝.【解析】由二项式定理，得代入已知得－5n＋n(n－1)＝0，所以n＝6，令x＝－1得(1＋1)6＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6，即a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝64.答案:64【变式备选】设(x2-x-1)50=a100x100+a99x99+a98x98+…+a0.(1)求a100+a99+a98+…+a1的值；(2)求a100+a98+a96+…+a2+a0的值.【解析】(1)令x=0,得a0=1;令x=1,得a100+a99+a98+…+a1+a0=1,所以a100+a99+a98+…+a1=0.(2)令x=-1,得a100-a99+a98+…-a1+a0=1,①而a100+a99+a98+…+a1+a0=1,②①+②整理可得a100+a98+a96+…+a2+a0=1.

二项式定理的综合应用【方法点睛】二项式定理的综合应用(1)利用二项式定理进行近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1+x)n≈1+nx.(2)利用二项式定理证明整除问题或求余数问题:在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都有除式的因式，要注意变形的技巧.(3)利用二项式定理证明不等式:由于(a+b)n的展开式共有n+1项，故可以对某些项进行取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的.【例3】(1)求证：4×6n＋5n＋1－9能被20整除.(2)根据所要求的精确度，求1.025的近似值.(精确到0.01).【解题指南】(1)将6拆成“5+1”，将5拆成“4+1”,进而利用二项式定理求解.(2)把1.025转化为二项式，适当展开，根据精确度的要求取必要的几项即可.【规范解答】(1)4×6n＋5n＋1－9＝4(6n－1)＋5(5n－1)＝4［(5＋1)n－1］＋5［(4＋1)n－1］＝20［(5n－1＋＋…＋)＋(4n－1＋＋…＋)］，是20的倍数，所以4×6n＋5n＋1－9能被20整除.(2)1.025=(1+0.02)5=∴当精确到0.01时，只要展开式的前三项和，1+0.10+0.004=1.104，近似值为1.10.【互动探究】将本例(2)中精确到0.01改为精确到0.001，如何求解?【解析】由本例(2)知，当精确到0.001时，只要取展开式的前四项和,1+0.10+0.004+0.00008=1.10408.近似值为1.104.【反思・感悟】利用二项式定理证明整除问题时，首先需注意(a＋b)n中，a，b中有一个是除数的倍数；其次展开式有什么规律，余项是什么，必须清楚.2.求0.9986的近似值，使误差小于0.001.【解析】0.9986＝(1－0.002)6＝1＋6×(－0.002)1＋15×(－0.002)2＋…＋(－0.002)6.因为T3＝(－0.002)2＝15×(－0