电容元件与电感元件

第五章电容元件与电感元件

只包含电阻元件和电源元件的电路——电阻（resistive）电路,否则便是动态（dynamic）电路。

(动态电路至少包含有一个动态元件。)

电容元件（capacitor）、电感元件（inductor）均属动态元件。动态元件的VCR?描述动态电路的方程?

含动态元件的动态电路也属于集总电路，也必须服从两类约束;

分析动态电路的基本方法还是叠加法、分割法；前面所学的2b法，支路法、网孔电流法、节点电压法、观察法仍然可用。§1电容元件的VCR

§2电容的储能状态变量§3电容与电感的对偶性（duality）本章先介绍两种储能元件

———电容元件和电感元件。

常用的几种电容器电容(Electriccapacity)构成：由两个金属极，中间夹有绝缘材料（介质）构成。作用：隔断直流电，通过交流电的作用。常用于级间耦合、滤波、去耦、旁路及信号调谐等。种类：从原理分：无极性的、有极性的；固定电容、可调电容。从材料分：CBB电容（聚乙烯），涤纶电容、瓷片电容、云母电容、独石电容、电解电容（最常见）、钽电容等。有机半导体铝电解电容构造图

§1电容元件的VCR

绝缘介质电容器是一种能够存储电荷乃至电场能量的器件。理想电容器应该只具有存储电荷从而在电容器中建立电场的作用。充电电容（元件）的VCR有两种形式

一种电荷与电压相约束的器件。

电容元件的定义：如果一个二端元件在任一时刻，其电荷与电压之间的关系由u-q平面上一条曲线所确定，则称此二端元件为电容元件。符号和特性曲线如下图7(a)和(b)所示。

通过坐标原点一条直线的电容元件称为线性电容元件，否则为非线性电容元件。(a)电容元件的符号(c)线性时不变电容元件的符号(b)电容元件的特性曲线(d)线性时不变电容元件的特性曲线在物理意义上：它只具有存储电荷、从而存储电场能量的作用。其参数为电容C：其数学表达式为：式中的系数C为常量，与直线的斜率成正比，称为电容，单位是法[拉],用F表示。电容器其他几种模型电容器的几种电路模型

电容元件的VCR一对于线性时不变电容元件来说，在采用电压电流关联参考方向的情况下，可以得到以下关系式：此式表明电容中的电流与其电压对时间的变化率成正比，它与电阻元件的电压电流之间存在确定的约束关系不同，电容电流与此时刻电压的数值之间并没有确定的约束关系。动态元件.在直流电源激励的电路模型中，当各电压电流均不随时间变化的情况下，电容元件相当于一个开路(i=0)。例：已知C=1F如u(t)=10sin(5t)V，其波形如图7-3(a)所示，则iC(t)为图7-3(b)所示。因为有：图7-3电流总比电压慢半拍例：已知电容的电压u(t)如图(a)所示，求电流iC(t),并画出波形图。

解：根据图7(a)波形，按照时间分段来求解：

1.当0t2s时，uC(t)=10t，根据式7－2可以得到图b0-2线段：

2.当2st4时，uC(t)=20，根据式7－2可以得到图b2-4线段：图(a)图（b）3.当4st8时，uC(t)=－5t，根据式7－2可以得到图b4-8线段：上述例子表明：

（a）u、i

波形不同。此为动态元件一般规律，（除正弦波等少数例外。）特别是当u为直流电压时i=0。（b）尽管电流是不连续的，但电容电压却是连续的——

电容电压的连续性质（continuityproperty）利用电容电压的连续性，可以确定电路中开关发生作用后一瞬间的电容电压值，在已知电容电流iC(t)的条件下，其电压uC(t)为电容元件的VCR二上式表明：

更实用的形式：设初始时刻为t=0某时刻t的电容电压与从-∞到该时刻所有电流有关—电容电压的记忆性质（memoryproperty）即u(0)累计了t=0以前所有时刻i的作用,称为电容的初始电压。例:电路如图7－6(a)所示，已知电容电流波形如图7－6(b)所示，试求电容电压uC(t)，并画波形图。图7-6根据以上计算结果，可以画出电容电压的波形如图(c)所示，由此可见任意时刻电容电压的数值与此时刻以前的全部电容电流均有关系。例如，当1s<t<3s时，电容电流iC(t)=0，但是电容电压并不等于零，电容上的2V电压是0<t<1s时间内电流作用的结果。图7-6上式表示t>0某时刻电容电压uc(t)等于电容电压的初始值uc(0)加上t=0到t时刻范围内电容电流在电容上积累电荷所产生电压之和，就端口特性而言，等效为一个直流电压源uc(0)和一个初始电压为零的电容的串联如下图所示。电容的两个基本的性质

(1)电容电压的记忆性。任意时刻T电容电压的数值uC(T)，要由从-到时刻T之间的全部电流iC(t)来确定。也就是说，此时刻以前流过电容的任何电流对时刻T的电压都有一定的贡献。这与电阻元件的电压或电流仅仅取决于此时刻的电流或电压完全不同，我们说电容是一种记忆元件。图7－7(a)所示的峰值检波器电路，就是利用电容的记忆性，使输出电压波形[如图(b)中实线所示]保持输入电压uin(t)波形[如图(b)中虚线所示]中的峰值。图7－7峰值检波器电路的输入输出波形

(2)电容电压的连续性电流的波形可以是不连续的，但电容电压的波形是连续的。即电容电流在闭区间[t1,t2]有界时，电容电压在开区间(t1,t2)内是连续的。这可以从电容电压、电流的积分关系式中得到证明（从略）。电容电压不能突变的性质，常用下式表示：

对于初始时刻t=0来说，上式表示为：利用电容电压的连续性，可以确定电路中开关发生作用后一瞬间的电容电压值，下面举例加以说明。

试求：(1)u(0)；(2)u(t)、t≥0；(3)u(1)和u(－0.5)；(4)作出t≥0时该电容的等效电路。已知电容C=4F，对所有t、i(t)波形如图所示，电容电压u(t)与i(t)参考方向关联。

（1）根据已知条件，t≤0时仅在－1≤t≤0时，i(t)=2A。u(0)记忆了t=0以前所有电流的充电作用。

例题解:电流发生跃变时可以看作电路中开关发生作用（换路）

，其后一瞬间（t=0+）时的电容电压值叫初始值。（2）t≥0时，不能忽略初始电压u(0)，它反映了t≤0电流对t≥

0时u（t）的影响。t≥

0时（3）u(0+)=u(0-)=0.5V（4）t≥

0时的等效电路i1(t)—i(t)在t≥0时的部分；t≤0的部分已不必再考虑。例7－3图7－8所示电路的开关闭合已久，求开关在t=0时刻

断开瞬间电容电压的初始值uC(0+)。解：开关闭合已久，各电压电流均为不随时间变化的恒定

值，造成电容电流等于零，即图7－8电容相当于开路。此时电容电压为当开关断开时，在电阻R2和R3不为零的情况下，电容电流为有限值，电容电压不能跃变，由此得到图7－8§5-2电容的储能状态变量若电压和电流都是随时间变化的，则算得的功率也是随时间变化的。则每一瞬间的功率叫瞬时功率。电容的瞬时功率:功率波形图：功率随时间变化的曲线（见下页）。结论：电容的功率有正有负，说明电容有时吸收功率，有时放出功率。电阻的p恒为正。一、瞬时功率：求电容元件的瞬时功率和储能。

解：如右图所示：例：已知电容u波形如(b)所示，u、i关联参考方向时的iC(t)、pC(t)、wC(t)的波形图。

二、电容的储能结论：电容将电能转换为电场能储存在其中。其能量总为正。某时刻电容的储能取决于该时刻的，与其电流值无关。电容是无源元件；某一时刻t的电容电压反映同时刻储能状况。（储能元件）电容电压的连续性和记忆性均来自电容的储能本性。电场能电容在t1~t2期间储存或释放的能量：结论：t1~t2

期间电容储存或释放的能量只与初始时刻和终了时刻的电压值有关，而与此期间内的其他电压值无关。>0电容从外电路吸取能量<0电容向外电路释放能量

由于电容电压确定了电容的储能状态，在动态电路分析中称电容电压为状态（state）变量。它满足：（a）给定初始状态[即uc(0)]和所有t≥0的输入[即i(t)]就能确定在t≥0时的状态[即uc(t)]。见VCR的积分形式，。（b）由状态变量可确定电路中任一变量。见下章。作为状态变量，uc是分析含电容动态电路时的主要对象。三、状态变量

§3电容与电感的对偶性（duality）对偶关系习题课

习题1答案5-12已知u(0)=4V，则该电容t≥0时的VCR为

与教案中例题不同，此处u(0)的成因不详，也无需且不可能追究。其极性已如图中所示，其值为4V，已成定局。但t≥0时，i、u的参考方向为非关联的，故应选B项。习题1

答案5-13

解

t≥0的等效电路如图，

代表初始电压源的极性、数值是已知的，与i无关。C部分的u1和i的参考方向是非关联的。习题课

习题2答案5-14

已知2H电感的电流波形如图所示，试求电压波形。设u、i为关联参考方向。i波形图上t=6s时，i=3.5A。习题2

答案5-15

解

利用分段作出波形图：习题课

习题3答案5-16

与直流电源接通已久的电路如图所示，试求每一电阻所消耗的功率；电路所储存的能量；每一电源所提供的功率并校核电路的功率平衡关系。

2H习题3

答案5-17

解电路在直流电源长久作用下，电感看作短路，电容看作开路，如图所示。1Ω电阻的功率：2Ω电阻的功率：5-18

电路总共储存能量为4J+8J=12J。该项能量是电源接入时，由电源提供的。在电源持续作用下，这能量