概率统计(魏宗舒版)4

第四章大数定律与中心极限定律

4.1大数定律(一)依概率收敛第一章提到过，某一事件A发生的频率，当实验次数n增大时，会逐渐趋向于其概率。即若能否理解为对任意一组实验中的样本点ω，有，显然上述极限不成立，但是发生的概率很小。设第i次试验事件A发生第i次试验事件A不发生则由切比雪夫不等式则称{ξn}依概率收敛于ξ

.记为：定义设{ξn}为一个随机变量序列，ξ为一个随机变量，若任给的ε>0，有等价定义设{ξn}为一个随机变量序列，ξ一个随机变量，若任给的ε>0，δ>0存在N，使得当n>N时，则称{ξn}依概率收敛于ξ。表示不管ε有多小，当n→∞，ξn落在内的概率→1，即落在外的概率→0。ξn收敛于ξ的几种形式。对任意ωΩ，有1.逐点收敛2.一致收敛对任意ε>0，存在N，当n>N时，对所有ωΩ，有若存在AΩ，P(A)=1，使得对任意ωA，有3.几乎必然收敛ξn几乎必然收敛于ξ，可记为用集合的方式来表示即是其中ξn收敛于ξ的点ω构成的集合是4.几乎必然一致收敛若存在AΩ，P(A)=1，使得对任意ε>0，存在N，当n>N时，对所有ωA，有用集合的方式来表示即是，存在一个整数序列{nl}，l=1,2,…使得如果随机变量序列ξn的分布函数Fn(x)在连续点处收敛于ξ的分布函数F(x)，称ξn弱收敛于ξ,记作也称随机变量ξn依分布收敛于ξ。5.弱收敛也把它记为6.积分平均收敛各种收敛之间的关系几乎必然一致收敛几乎必然收敛弱收敛依概率收敛积分平均收敛依概率收敛存在子列几乎必然收敛(二)几个常用的大数定律1.伯努利大数定律定理4.1(伯努利定理)设μn是n重伯努利试验中事件A出现的次数，又A在每次试验中出现的概率为p(0<p<1),则A出现的频率fn(A)依概率收收敛于p，即对任意的ε>0，有证明:设第i次试验事件A发生第i次试验事件A不发生则由切比雪夫大数定律事实上，可以证明几乎处处收敛于p，即满足强大数定律。大数定律的一般定义定义4.1若是随机变量序列，如果存在常数使得成立，则称随机变量序列服从大数定律。则对任意的ε>0，有2.切比雪夫大数定律定理4.2设是一列两两不相关的随机变量，又设它们的方差有界，即存在常数C>0，使有证明；由切比雪夫不等式由于两两不相关，例4.1设是独立同分布的随机变量序列，均服从参数为λ的泊松分布，因为Eξi=λ，Dξi=λ，因此满足大数定律，即对任意ε>0，有3.马尔可夫大数定律定理4.3对随机变量序列，若有则服从大数定律，即对任意的ε>0，有大数定律的证明过程中利用了称其为马尔可夫条件。当随机变量序列独立且方差有界时显然有而如果随机变量序列独立同分布，方差存在即有界，显然满足马尔可夫条件，进而满足大数定律。即马尔可夫大数定律成立。而如果随机变量序列仅仅是独立同分布，方差是否存在未知，则同样可以证明其满足大数定律，但是不能用切比雪夫大数定律了，要用到特征函数的工具。3.辛钦大数定律定理4.4若为独立同分布随机变量序列,且数学期望存在：则对于任意，有（三）几个大数定的关系结论条件伯努利大数定律频率依概率收敛于概率切比雪夫大数定律平均值依概率收敛于其数学期望马尔可夫大数定律辛钦大数定律随机变量序列两两不相关且方差有界方差的平均值趋向于0独立同分布且数学期望存在则称{ξn}依概率收敛于η

.记为：定义4.2设{ηn}为一个随机变量序列，若任给的ε>0，有等价定义设{ηn}为一个随机变量序列，若任给的ε>0，δ>0存在N，使得当n>N时，则称{ηn}依概率收敛于η。4.2随机变量序列的两种收敛性或关于依概率收敛极限的唯一性若且关于依概率收敛极限保持运算的性质若且问？？这里只证明加法的情形，对任意的ε>0,依概率收敛性是否被连续函数所保持？即若，f(x)是连续函数，是否成立？考虑f(x)一致连续的情况，证明如下：对任意的ε>0，存在δ>0，使得当|x1-x2|<δ时，|f(x1)-f(x2)|<δ，故故有证明：对任意的，有例4.2设η，{ηn}都是服从退化分布的随机变量序列，且则，但。自然的问题分布函数证明：对当故但故只在不连续点0处定义4.3设F1(x),F2(x),F3(x),…是一列分布函数，如果对F(x)的每个连续点x，都有称分布函数{Fn(x)}弱收敛于分布函数F(x),并记作如果随机变量序列ηn的分布函数弱收敛于η的分布函数，也称ηn弱收敛于η,记作也称随机变量ηn依分布收敛于η。定理4.5若随机变量序列η1,η2,η3,…依概率收敛于随机变量η,即则相应的分布函数F1(x),F2(x),F3(x),…弱收敛于分布函数F(x)，即证明：对故而故即当时，同理有于是当时，有当F在x处连续时，令

有定理4.5的逆命题不真，即弱收敛不蕴含依概率收敛例4.3抛掷一枚均匀的硬币的试验，样本空间为Ω={H,T}定义两个随机变量：显然，它们有相同的分布函数令则不成立但仅在非常特殊的一些情况下弱收收敛才蕴含依概率收敛。定理4.6随机变量序列（c为常数）的充要条件是这里F(x)是η=c的分布函数，也就是退化分布：证明：作业：P226126选做38问题：由第3章知识随机变量的分布函数和其特征函数一一对应，那么依分布收敛（弱收敛）与其特征函数的收敛性是否等价？定理4.7分布函数列{Fn(x)}弱收敛于分布函数F(x)的充要条件是相应的特征函数列{φn(x)}收敛于F(x)的特征函数φ(x)。例4.4若ξλ是服从参数为λ的泊松分布的随机变量，证明：证明：已知ξλ特征函数是，故的特征函数为因为故故从而是标准正态分布随机变量的特征函数，由定理4.7定理4.4（辛钦大数定律）的证明：

因为ξk同分布，故设其特征函数为φ(t)，又因为Eξk=a存在，故有φ’(0)=ai，φ(t)在0处作泰勒展开ξk互独立，因此的特征函数为故由定理4.6

是退化分布的特征函数，再由定理4.7

考察射击命中点与靶心距离的偏差这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的总和,这些因素包括:瞄准误差、测量误差、子弹制造过程方面(如外形、重量等)的误差以及射击时武器的振动、气象因素(如风速、风向、能见度、温度等)的作用,所有这些不同因素所引起的微小误差是相互独立的,并且它们中每一个对总和产生的影响不大.问题:

某个随机变量是由大量相互独立且微小的随机变量相加而成的,研究其概率分布情况.4.3中心极限定理(一)问题的提法设ξn(n=1,2,…)相互独立。如果讨论ηn=

ξ1+ξ2+…+ξn(n=1,2,…)的收敛规律律，它的极限可能取到正负无穷，哪怕是ηn-Eηn也是如此，即可能出现因此无意义。如果讨论

的收敛规律律，由大数定律，其会收敛于它们的数学期望的平均值，即但这是我们已知的结论。因此，分母中n的数量级很关键，应当与ηn=

ξ1+ξ2+…+ξn(n=1,2,…)的标准差的数量级一致。即我们应当考虑ζn称为ηn的中心化随机变量。显然满足Eζn=0，Dζn=1。例如n重伯努利试验，Eξn=p，Dξn=pq，(q=1-p),

因此应当考虑的收敛规律(二)同分布的中心极限定理定理4.10若ξ1,ξ2,…是一列独立同分布随机变量，且定理4.9（棣模弗－拉普拉斯）在n重伯努利试验中，事件A在每次试验中出现的概率为p(0<p<1)，μn为n次试验中A出现的次数，则

则有例μn为n重伯努利试验中事件A出现的次数，试计算例4.5某单位内部有260架电话分机，每个分机有4%的概率要与外线通话，可以认为各个电话分机用不用外线是相线独立的，问总机要备有多少条外线才能以95%的把握保证各个分机在用外线时不必等候。解：令第i个分机要用外线第i个分机不用外线若260架分机中同时要求使用外线的分机数为μ260练习对于一个学生而言,来参加家长会的家长人数是一个随机变量.设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05，0.8，0.15.若学校共有400名学生,设各学生参加会议的家长数相互独立,且服从同一分布.(1)求参加会议的家长数X超过450的概率;(2)求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.解根据独立同分布的中心极限定理，由德莫佛－拉普拉斯定理知,例某类保险公司有100000人参加，每人每年付72元保险费。在一年内一个人死亡的概率为0.5%，死亡时其家属可向保险公司领得10000元，公司一年的总开支为70万元。问：(1)保险公司亏本的概率有多大？(2)保险公司一年的纯利润不少于90万元、100万元、150万元的概率各为多大？解：设ξ表示一年内死亡的人数，则ξ~B(n,p),其中n=100000，p=0.5%，保险公司每年的净收入为：72元100000-700000=6500000元（1）当该年死亡人数超过人时，公司就会亏本，于是由中心极限定理有：（2）公司纯利润不少于90万元的事件等驾于保险者年内死亡人数不多于650人-90人=560人，其概率为：同理，公司纯利润不少于100万元、150万元的概率分别为：关于二项分布的收敛性问题第二章泊松定理告诉我们，二项分布收敛于泊松分布，中收极限定理则告诉我们，二项分布收敛于正态分布。是否有矛盾？二项分布收敛于泊松分布的条件是npn→λ;而二项分布收敛于正态分