物理热学第二章(热平衡态的统计分布律)

1第二章热平衡态的统计分布律2§2-1统计规律与分布函数的概念§2-2Maxwell分布律§2-3Maxwell-Boltzmann分布律§2-4能量均分定理与热容§2-5微观粒子运动状态的一般讨论(简介)第二章热平衡态的统计分布律3引言研究目标：热力学平衡状态下微观粒子运动状态的统计分布规律一定条件下，诸如速度、速率、运动能量等微观状态都有一定的统计规律统计物理研究方法：大量微观粒子+无规运动—热力学系统研究对象：第二章热平衡态的统计分布律4统计规律:大量个别、偶然事件集体、必然规律统计物理:大量粒子系统的物理规律，热现象为主§2-1.统计规律与分布函数的概念一.统计规律性概念内容:从粒子微观量用统计平均方法导出系统宏观量.特点: 单个粒子遵从牛顿力学整体行为服从统计规律(不能用牛顿力学解决)第二章热平衡态的统计分布律5气体分子热运动模型的图象:相当稀疏,标准状态下:线度~10-10m;距离~10-7m(dV=dxdydz

宏观小、微观大)碰撞频繁,~1010次/s,碰撞时间~10-13s两次碰撞间经历的路程~10-7m,速率~500m/s碰撞遵循力学规律除分子与分子、分子与器壁相互碰撞的瞬间外，气体分子间相互作用的分子力是极其微小的。

整体行为服从统计规律第二章热平衡态的统计分布律6求物理量M

的统计平均值状态A出现的概率归一化条件Ni

是M的测量值为Mi的次数，实验总次数为N如第二章热平衡态的统计分布律7平衡态下气体分子速度分量的统计平均值为气体处于平衡状态时，气体分子沿各个方向运动的概率相等，故有第二章热平衡态的统计分布律8由于气体处于平衡状态时，气体分子沿各个方向运动的概率相等，故有

平衡态下气体分子速度分量平方的统计平均值为第二章热平衡态的统计分布律9二.伽耳顿板实验若无小钉：必然事件若有小钉：偶然事件一个小球落在哪里有偶然性实验现象少量小球的分布每次不同大量小球的分布近似相同(1)统计规律是大量偶然事件的总体所遵从的规律。(2)统计规律和涨落现象是分不开的。结论第二章热平衡态的统计分布律10三.随机变量与分布函数

伽尔顿板：小槽编号i，小球总数N,i内小球∆N、占面积∆Ai=∆xihi,则,C为单位面/体积内小球小球落入i小槽内的概率为：由此例抽象出表示某事件是否发生的一些量的数值：1.随机变量——随机变量第二章热平衡态的统计分布律11

如伽尔顿板：小槽编号i，只能取自然数，则——离散随机变量小槽编号i可连续变化的坐标x——连续随机变量第二章热平衡态的统计分布律122.概率分布设离散随机变量{xi}中xi出现的概率为P(xi)，则离散随机变量的概率分布：归一化条件:离散随机变量的平均值：连续随机变量的概率分布{Pi}：当∆xi→dx时，∆P→dP第二章热平衡态的统计分布律133.概率分布函数X的概率分布函数：概率分布函数也具有归一性：所以，随机变量x的平均值:对任意物理量G=G(x),其平均值:——随机变量x-x+dx内的数值的概率（概率密度）第二章热平衡态的统计分布律14例微观粒子的速度分布函数:微观粒子的能量分布函数：表示组成系统的微观粒子中能量处在ε附近单位区间内的粒子数占总粒子数的比例.表示组成系统的微观粒子中速度处在附近单位区间内的粒子数占总粒子数的比例.（概率密度）（概率密度）第二章热平衡态的统计分布律15有N个粒子，其速率分布函数为(1)作速率分布曲线并求常数a(2)速率大于v0

和速率小于v0

的粒子数解例求(1)由归一化条件得O第二章热平衡态的统计分布律16(2)因为速率分布曲线下的面积代表一定速率区间内的分子数与总分子数的比率，所以因此，v>v0

的分子数为(2N/3)同理v<v0

的分子数为(N/3)的分子数与总分子数的比率为第二章热平衡态的统计分布律17例

假设有大量的某种粒子，总数目为N，其速率分布函数为fv0v0v0v0vvc0vvc0v,均为正常数，且为已知0v画出该速率分布函数曲线根据概率分布函数应满足的基本条件，确定系数c求速率在区间的粒子数~3000v解法提要0~0vfvvc0v2+v抛物线方程ddvf0得fMax4c0v20vp0v200vfv4c0v2v0v218概率分布函数应满足归一化条件fv80dv1本题v0vfv000vvc0vvdv要求0v361c1得c60v3均为正常数，且为已知例

假设有大量的某种粒子，总数目为N，其速率分布函数为fvvc0v0v0v0v0vvc0v,0v画出该速率分布函数曲线根据概率分布函数应满足的基本条件，确定系数c求速率在区间的粒子数~3000v解法提要0~0vfvvc0v2+v抛物线方程ddvf0得fMax4c0v20vp0v200vfv4c0v2v0v2N~0速率在300v区间的粒子数N0300vfvdvN0300vv0vvdv60v3N6201NN得19§2-1.Maxwell速度分布律一、速度空间与速度分布律的概念位形空间：以位置分量为坐标架建立的空间速度空间：以速度分量为坐标架建立的空间经典物理中，微粒运动状态用坐标和动量描述

附近微小变化形成体积元

附近微小变化形成体积元直角坐标下，直角坐标下，第二章热平衡态的统计分布律20速度空间:速率空间:+dyxzO体积元体积元第二章热平衡态的统计分布律21N个粒子系统中有dN(vx,vy,vz)个粒子处在vx~vx+dvx,vy~vy+dvy,vz~vz+dvz

区间中，这种粒子占总粒子数的概率：——粒子的速度分布函数N个粒子系统中dN(vx,vy,vz)个粒子处在vx~vx+dvx,vy~

vy+dvy,vz~vz+dvz

区间单位速度空间的概率。——概率密度速度附近粒子的概率密度即粒子的速度分布函数。第二章热平衡态的统计分布律22无外界影响时，粒子的运动完全无规vx,vy,vz为独立随机事件，可分别考察.如：根据独立事件概率乘法规则，有又所以同理可得，在三维空间第二章热平衡态的统计分布律23二.Maxwell速度分布律和速率分布律其中T为热力学温度,m为每个粒子的质量。称为Boltzmann常量.热动平衡时，热力学系统的粒子按速度分布的分布律Maxwell（1859）用统计物理方法推导得出：1.Maxwell速度分布律的表述yxzO第二章热平衡态的统计分布律24定义为附近单位速率间隔内的分子数占分子总数的百分比,有

对自由粒子,M-分布给出:分子数体积元区间第二章热平衡态的统计分布律252.Maxwell速率分布律物理意义:速率在附近、单位速率间隔内的分子数占总分子数的比率;或:分子速率处在附近单位速率间隔内的概率显然应有

归一化条件+d第二章热平衡态的统计分布律263.Maxwell速率分布律的性质与特征(1)麦克斯韦速率分布曲线Of(v)对于相同,比率与的关系呈两头小,中间大。仅是的函数.曲线下面的总面积，等于分布在整个速率范围内所有各个速率间隔中的分子数与总分子数的比率的总和(归一化条件)第二章热平衡态的统计分布律27①m

一定,T越大,这时曲线向右移动②T一定,

m

越大,这时曲线向左移动v

p越大,

v

p越小,T1f(v)vOT2(>T1)m1f(v)vOm2(>m1)由于曲线下的面积不变,由此可见(2)

不同气体,不同温度下的速率分布曲线的关系第二章热平衡态的统计分布律281.实验装置2.测量原理(1)能通过细槽到达检测器D

的分子所满足的条件(2)通过改变角速度ω的大小，选择速率v

三.Maxwell速率分布律的实验验证密勒－库士实验：与实验曲线相符第二章热平衡态的统计分布律29(3)通过细槽的宽度，选择不同的速率区间(4)沉积在检测器上相应的金属层厚度必定正比相应速率下的分子数Of(v)第二章热平衡态的统计分布律30四.分子速率的三种统计平均值1.最概然速率—与的最大值对应的速率2.(算术)平均速率在整个速率区间平均：3.方均根速率

就相同的速率间隔而言,分子的速率处在所在间隔里的概率最大，也称最可几速率第二章热平衡态的统计分布律31mm'f()O1

2f()O思考:在M-速率分布下有:即:f()O第二章热平衡态的统计分布律32一般三种速率用途各不相同讨论分子的碰撞次数用说明讨论分子的平均平动动能用讨论速率分布一般用第二章热平衡态的统计分布律33由M－分布律及压强公式可以导出理想气体状态方程:第二章热平衡态的统计分布律34氦气的速率分布曲线如图所示.解例求(2)氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率O(1)试在图上画出同温度下氢气的速率分布曲线的大致情况，(2)第二章热平衡态的统计分布律35根据麦克斯韦速率分布律，试求速率倒数的平均值。根据平均值的定义，速率倒数的平均值为解例第二章热平衡态的统计分布律36根据麦克斯韦速率分布率，试证明速率在最概然速率vp~vp+Δv

区间内的分子数与温度成反比(设Δv

很小)将最概然速率代入麦克斯韦速率分布定律中,有例证第二章热平衡态的统计分布律37分子碰壁数的计算单位时间作用于单位面积的分子数mxdA对速度在的分子作如图斜柱体，dt内，作用于dA的该组分子数dt内，作用于dA的所有分子数积分38分子碰壁数实用：镀膜，泻流,分离同位素（自学）39§2-3Maxwell-Boltzmann分布律无外力场时，气体内n、p、T处处均匀；有外力场时，气体内n、p不再均匀分布；气体内不同处分子的势能不同。一.重力场中粒子按高度的分布非均匀的稳定分布hh+dh平衡态下气体的温度处处相同，气体的压强为第二章热平衡态的统计分布律40比较两式得：——等温气压公式是h=0

处气体的压强其中：Ohn积分得：在重力场中，粒子数密度随高度增大而减小，m越大，n

减小越迅速；T越高，n

减小越缓慢。第二章热平衡态的统计分布律41实验测得常温下距海平面不太高处，每升高10m，大气压约降低133.3Pa。试用恒温气压公式验证此结果(海平面上大气压按1.013×105Pa计，温度取273K)。解例等温气压公式将上式两边微分，有第二章热平衡态的统计分布律42二.Boltzmann分布律平衡态下温度为T的气体中，位于空间某一小区间x~x+dx，y~y+dy

，

z~z+dz中的分子数为它适用于任何形式的保守力场式中εp是位于(x,y,z)处分子的势能在势场中的分子总是优先占据势能较低的状态——Boltzmann分布律适用于任何势场中任何物质的分子及其它微观粒子第二章热平衡态的统计分布律43在麦克斯韦速度分布率中，有一因子三.Maxwell-Boltzmann分布律分子在空间的位置分布由势能决定：即分子按速度的分布由动能决定：第二章热平衡态的统计分布律44故：平衡态下温度为T的气体中,速度在区间vx~vx+dvx

,vy~vy+dvy,vz~vz+dvz

,且位置在区间x~x+dx，y~y+dy，z~z+dz内的分子数为——Maxwell-Boltzmann分布律其中是分子的总能量，C是与无关的比例因子。第二章热平衡态的统计分布律45M-B分布律:在温度为T的平衡态下,任何保守系统在某一状态区间的粒子数与该状态区间的粒子能量

有关,且与Boltzmann因子成正比.定义分布函数:——Maxwell-Boltzmann分布函数Maxwell-Boltzmann分布律给出了分子数按能量的分布规律，因此，又称玻耳兹曼能量分布律。46根据玻耳兹曼分布律,在重力场中,存在于x~x+dx,y~y+dy,z~z+dz

区间内,具有各种速度的分子数为取z

轴垂直向上，地面处z=0，可得在大气中取一无限高的直立圆柱体，截面积为A,设柱体中分子数为N.设大气的温度为T,空气分子的质量m.求此空气柱的玻耳兹曼分布律中的n0.解例解得第二章热平衡态的统计分布律47拉萨海拔约为3600m

，气温为273K，忽略气温随高度的变化。当海平面上的气压为1.013×105Pa时，由等温气压公式得设人每次吸入空气的容积为V0,在拉萨应呼吸x

次(1)拉萨的大气压强；(2)若某人在海平面上每分钟呼吸17次，他在拉萨呼吸多少次才能吸入同样的质量的空气。=29×10-3kg/mol解例求则有第二章热平衡态的统计分布律48§2-4能量均分定理与热容

一.分子自由度单原子分子可视作质点，具有3个平动自由度。刚性双原子分子可视作由刚性杆连接的两个质点，具有3个平动自由度，2个转动自由度。刚性多原子分子可视作刚体，具有3个平动自由度，3个转动自由度。分子结构

分子模型自由度数目单原子双原子多原子356质点刚体由刚性杆连接的两个质点49说明⑴分子的自由度不仅取决于其内部结构，还取决于温度。(2)实际上，双原子、多原子分子并不完全是刚性的，还有振动自由度。但在常温下将其分子作为刚性处理，能给出与实验大致相符的结果，因此可以不考虑分子内部的振动，认为分子都是刚性的。*非刚性双原子分子具有3个平动自由度，2个转动自由度，1个振动自由度。50“常温”下气体分子一般采用刚性模型:

单原子分子

i=3; 双原子分子

i=5非直线多原子分子

i=6“高温”下振动模式及能量不可忽略单原子分子

i=3; 双原子分子

i=6非直线三原子分子

i=9一般多原子分子i=3N第二章热平衡态的统计分布律51二.能量均分定理理想气体分子的平均平动动能为由于气体分子运动的无规则性，各自由度没有哪一个是特殊的，因此，可以认为气体分子的平均平动动能是平均分配在每一个平动自由度上的。52在温度为T

的平衡状态下，分子的每个自由度的平均动能均为。推广：——能量按自由度均分定理说明能量按自由度均分定理是经典统计规律。经典统计规律，可用玻耳兹曼分布证明。是频繁碰撞的结果有局限性：低温下需要用量子理论！53每个气体分子的平均势能为每个气体分子的平均热运动总能量为

若某种气体分子具有t个平动自由度和r个转动自由度，s个振动自由度，每个气体分子平均总动能为令i=t+r+2s54气体分子的平均总动能等于气体分子的平均总能量。即为对于刚性分子刚性双原子分子:单原子分子:刚性多原子分子：55三.理想气体的内能内能:系统内部所有粒子间各种能量的总和.不包括:系统整体运动的机械能及系统与外场相互作用的势能。内能U=粒子热运动动能+粒子间相互作用势能对理想气体，只包括分子的平动，转动，振动动能和振动势能：若不涉及化学反应与核反应，则热力学系统中理想气体的内能:第二章热平衡态的统计分布律56

焦耳定律:理想气体的内能仅仅是温度的函数i=t+r+2s每个气体分子的平均总能量为1mol理想气体的内能为mol理想气体的内能为57四.理想气体的摩尔热容热量Q：因温度不同，系统与外界经边界交换的能量（与机械功不同，无宏观位移！）。比热容c：单位质量的物体在温度升高(或降低)1K时所吸收(或放出)的热量，与过程有关。热容C：物体质量与比热容的