材料物理基础-第七章1

第七章薛定谔方程和波函数7.1薛定谔方程的建立7.2薛定谔方程的解-波函数的性质7.3一维定态的薛定谔方程7.4线性谐振子7.5氢原子2

1.理解微观粒子运动状态的描述波函数性质及其统计解释。2.掌握微观粒子运动的动力学方程波函数随时间演化的规律Schrödinger方程。3.掌握定态及其性质。4.通过对三个实例的讨论,掌握定态Schrödinger方程的求解的基本思路与步骤。

学习要求3

微观粒子因具有波粒二象性，其运动状态的描述必然有别于经典力学对粒子运动状态的描述，即微观粒子的运动状态不能用坐标、速度、加速度等物理量来描述。这就要求在描述微观粒子的运动时，要有创新的概念和思想来统一波和粒子这样两个在经典物理中截然不同的物理图像。微观粒子状态的描述

德布罗意指出：微观粒子的运动状态可用一个复函数来描述，函数—称为波函数。★

描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平面波7.1薛定谔方程的建立4

这些问题在1926年Schrodinger提出了波动方程之后得到了圆满解决。

微观粒子量子状态用波函数完全描述，波函数确定之后，粒子的任何一个力学量的平均值及其测量的可能值和相应的几率分布也都被完全确定，波函数完全描写微观粒子的状态。因此量子力学最核心的问题就是要解决以下两个问题：(1)在各种情况下，找出描述系统的各种可能的波函数；(2)波函数如何随时间演化。5从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻t

粒子的状态r

和p

。因为初条件知道的是坐标及其对时间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程。经典粒子运动方程经典情况自由粒子：不受外力场的作用，在空间中其动量和能量都不随时间变化的粒子。自由粒子的波函数如何确定自由粒子的波函数呢？

回顾一下电磁学中平面电磁波的数学描述。即平面电磁波的数学表达式更方便地写为以下指数形式因为在求解电磁场方程组时涉及到对上述函数的一阶或二阶偏导数运算，最后的结果取其实部，由此为计算带来方便。试分析一下平面电磁波和自由粒子的波函数有何异同？平面电磁波和自由粒子的能量和动量都不随时间和空间变化，二者在空间中的运动都是“自由的”。

它们分别需要一个代表波的数学函数来描述。平面电磁波是一种纯粹的经典波，而微观粒子的波与粒子属性密切联系。在波函数的数学形式上应当有相似之处，但粒子的波函数应当包含其粒子性，即通过波粒二象性来联系——爱因斯坦关系与德布罗意关系。薛定谔的创造性思维：利用爱因斯坦关系和德布罗意关系，把平面电磁波表达式中表述波属性的物理量波矢量与圆频率用动量和能量替换，便得到自由粒子的波函数8这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量E。将Ψ对坐标二次微商，得：描写自由粒子波函数:应是所要建立的方程的解。将上式对t微商，得：(1)–(2)式9讨论：通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，如果能量关系式E=p2/2μ

写成如下方程形式：(1)–(2)式以上方程便是自由粒子波函数随时间演化的方程，称为自由粒子的薛定谔方程。10势场V(r)中运动的粒子该方程称为Schrodinger方程，也常称为波动方程。若粒子处于势场V(r)

中运动，则能动量关系变为：将其作用于波函数得：利用类比的方法也可以建立起薛定谔方程，它与用微分的方法来建立方程所得的结果是一致的。

通过逻辑思维对经典力学、几何力学、波动光学、量子力学的相似之处及过渡关系进行比较，得出量子力学的波动方程与光波的波动方程相似，以此作为基础而建立起薛定谔方程的。需要注意的是，薛定谔方程是实验的综合，不是推导和证明出来的，薛定谔方程的正确性是靠它与大量实验相符合而得以证实的。127.2薛定谔方程的解-波函数的性质7.2.1薛定谔方程的解量子力学解决实际问题1）写出微观粒子系统的势能函数。2）写出薛定谔方程，通过求解，得到具体的波函数。3）所求得的每一个解表示该微观粒子系统的某一种稳定状态，与这个解相对应的能量E，就是该微观粒子系统在此稳定状态时的总能量。一般地当势场仅仅是空间坐标的函数时波函数可分解为：代入薛定锷方程得（1）（2）两边同除=E由（1）式可得：由（2）式可得：在整个空间粒子的概率分布是不随时间变化的，这就是（稳定的态）的含义。定态薛定谔方程整个波函数形式：特点：波函数由空间部分函数与时间部分函数相乘；B．时间部分函数是确定的，为：定态波函数几率密度w

与t

无关，几率分布不随时间而变，因此称为定态。重点要掌握如何用定态薛定谔方程求解问题。求解问题的思路：1.写出具体问题中势函数U(r)的形式代入方程2.用分离变量法求解3.用归一化条件和标准条件确定积分常数只有E取某些特定值时才有解本征值本征函数4.讨论解的物理意义，即求|

|2，得出粒子在空间的概率分布。7.2.2波函数的物理意义1、用波函数Ψ（r,t）来描述微观粒子的量子态。量子力学中的波函数所描述的是粒子在空间分布的概率的概率波，而非经典波那样代表实在的物理量的波动。2、玻恩在这个基础上，提出了关于波函数的统计解释：波函数模的平方代表时刻、在处

粒子出现的几率密度。一般地说，任一波函数的模方在全空间的积分值并非等于1，而是一个有限的数值A，即3、

量子力学的二个态的迭加原理：如果Ψ1与Ψ2是体系的可能状态，那么它们的线性迭加态Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2，（c1

、c2是复数）也是这个体系的一个可能状态。

4、态的迭加原理如果Ψ1、Ψ2、Ψ3…是体系可能的状态，则它们的线性迭加态Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2+c3Ψ3…=∑ciΨi

也是体系的一个可能状态。当体系处在迭加态Ψ时，体系部分处在Ψ1态、也部分处在Ψ2态，…等，即各有一定几率处在迭加之前的各个态Ψi。5、粒子流密度和粒子数守恒定律

（或几率流密度和几率守恒定律）

本节要引入几率流密度概念,

由薛定谔方程出发，讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间变化。所以可以看作对薛定谔方程的讨论。设Ψ已归一化，q为单粒子的电荷，则

|Ψ|2=几率密度(w)；

|Ψ|2dV=dV的几率；

|Ψ|2q=电荷密度(ρ)；

|Ψ|2qdV=dV的电荷。

几率流密度（J）含义=单位时间垂直流过单位面积几率。

J公式=？先介绍几率的连续方程。

若从数学上能推出如下公式：通过类比，就可定义为几率流密度J，这个方程也就是几率的连续方程。

(一)、几率的连续方程与几率流密度类比：已知电荷有连续方程：其中，ρ电荷密度,电流密度。

薛定谔方程为:

(1)对上述方程取复共轭得

(2)

在非相对论情况下，实物粒子没有产生和湮灭，所以，在随时间的演化过程中，粒子数目保持不便。对一个粒子来说，在全空间中找到粒子的概率之总和应不随时间变化,即:

下面推导这个公式：定义：几率流密度

得几率的连续方程：(二)、几率守恒定律对几率的连续方程：

两边对一个封闭的体积V积分，并利用高斯公式，得：表示：左=体积V内单位时间几率的增加量=右=单位时间从体积外流向体积内的几率量，这就是几率守恒定律。有连续方程一定有守恒定律，两者是等价的。几率守恒定律表明几率不会凭空产生，也不会凭空消失。(三)、质量、电荷守恒定律

1．wm=mw：质量密度，Jm=mJ：质量流密度。质量守恒定律

2．we=qw：电荷密度，Je=qJ：电流密度。电荷守恒定律(四)、波函数标准条件：连续，单值，有限。单值与有限，由波函数的统计含义所定。连续，由几率的连续方程所确定。

另外，一般情况下，还要求波函数一阶导数也连续。说明：

几率守恒具有定域性质。当粒子在某地的概率减小了，必然在另外一些地方的概率增加了，使总概率不变，并且伴随着有什么东西在流动来实现这种变化。连续性就意味着某种流的存在。例7.1如果粒子1处于

1

态，粒子2处于

2

态，那么由粒子1和粒子2组成的体系的态是否是

1+2?解：

由粒子1和粒子2组成的体系1+2的态不是

1+2.。知道，态叠加原理指的是同一体系自身状态的叠加，而复合体系1+2的最简单的态也是

1

和2

两者的积，即

。？例7.2如果知道粒子分别以概率1/3和2/3处于能量为E1

和E2

的态1

和2

，那么该粒子的态

是否是解：

该粒子的态

不一定是.因为并不知道

1

和2

之间的相位关系，所以只能写成其中

1

和

2

是待定常数，相位差

1

2

是一个具有物理意义的量。处于上述态

下的粒子的空间概率密度分布为

一、一维势阱实例如：金属中的自由电子。金属粒子有规则的排列成行，1）电子在金属内部势能为常数，认定为零；2）表面有一个势阶。总之，此时电子势能可以近似认为是一个方势阱形式。

7.3一维(无限深)势阱二、微分方程

的三种解形式。

这是二阶常系数微分方程，有三种等价的解：

a.b.c.依方便,随取一种形式的解.

一维无限深势阱求解

一个粒子处在这样势阱内,其质量为μ.

具体例子:金属中电子可以看成处在有限深势阱内.-a0aV(x)IIIIII一维无限深势阱的薛定谔方程与求解.

这是定态问题,只需解出定态波函数φn与定态能量En即可.

定态薛定谔方程:在阱内在阱外波函数连续性决定的边界条件为波函数有界的要求粒子无法穿过无限深的势阱，阱外的解求解过程

0aV(x)IIIn取零无物理意义粒子被束缚在势阱中，能量只能取一系列离散值，即它的能量是量子化的。每一个值对应于一个能级，这些能量值称为能量本征值，而n称为量子数。粒子最低能量称为基态能量。粒子最小能量的存在意味着物质世界不可能有绝对静止状态。相邻两能级的间隔：1.能级和能级差结果讨论与分析①相邻能级间的差值，随量子数n的增加而增加，随粒子质量m和势阱宽度a的增大而减小。

②对宏观物体，由于其质量很大，运动范围也大，E

很小，故其能量可看作是连续变化的。

③对微观粒子，若在宏观范围内运动则E很小，其能量量子化不显著；如果是在原子尺寸大小的范围内运动，则E

很大，能量量子化就很明显。④当n→∞,ΔEn/E≈2/n→0,能级分布可视为连续的。2.波函数归一化因子一维无限深方势阱中运动粒子的归一化波函数3.粒子在势阱中的概率密度不同量子数，在阱内某一特定的点，粒子出现的概率不同。n-1个节点，当n→∞时，粒子在势阱内各处出现的概率相等，量子力学的结果过滤到经典力学的情况。例7.3：在核内的质子和中子可粗略地当成是处于无限深势阱中而不能逸出，它们在核中的运动也可以认为是自由的。按一维无限深方势阱估算，质子从第一激发态到基态转变时，放出的能量是多少MeV？核的线度按1.0×10-14m计。解：质子基态能量为第一激发态的能量为从第一激发态转变到基态所放出的能量为实验中观察到的核的两定态之间的能量差一般就是几个MeV的量级。例7.4一维无限深阱中有10个电子，电子质量为m，势阱宽度为l。若忽略电子间的相互作用，应用量子物理的基本原理计算系统处于最低能量时，势阱中电子的最大能量。解：

处于势阱中电子的状态是由电子的能态和电子的自旋态决定的。根据泡利不相容原理，每个能级上只能有自旋方向相反的两个电子，所以系统处于最低能量时，势阱中10个电子由最低能级开始依次逐级充填。显然，势阱中最大能量电子的量子数n=5，得：例7.5阱宽为[0，a]的1维无限深势阱中运动的粒子状态由波函数

描写

。求归一化常数A。解:

由归一化条件，积分得：（二）势垒的贯穿——量子隧道效应物理模型势能突增的空间区域形象化地称为势垒。例如，金属表面以外的区域对于内部电子所形成的突增势能就是一个势垒。势垒对粒子的作用一般表现为散射作用。对于一维情况，粒子被势垒散射后，或者穿过势垒，或者被反射。解决势垒问题的中心思想就是找到粒子穿透和反射的概率。是以粒子的动量和能量作为已知量为前提的。

一维空间中，能量为E的自由运动的粒子在如图方型势垒上散射，求解之。（1）E>V0定态Schrödinger方程为：其解的一般形式为：

上述解再乘上时间因子就分别得到向左向右传播的平面波，但在x>a的区域没有向左传播的平面波，故C’=0。再利用x=0和x＝a处的连续条件，有：可解得：而相应的概率流密度为相应的透射系数和反射系数为：透射系数

反射系数

而当，即时，D=1,R=0,此时粒子完全透射，没有反射，称之为共振透射。（2）E<V0这时k2是虚数，可令k2＝ik3则为实数，可得到透射系数为

可见，能量低于势垒高度的粒子有一定概率穿过势垒。当V0→∞时，D→0。对任意形状的势垒，可将上式推广为：

若入射粒子的能量E

很小，以致k3a>>1,

则有（3）若为势阱，V0→-V0,仍有:透射系数反射系数且反射系数一般不为零。从Ⅰ区入射的粒子，部分被反射回去，其余的贯穿势垒区（Ⅱ区）而透射到Ⅲ区。透射系数T不为零。即使微观粒子的能量E小于势垒高度U0，被散射的粒子也有穿透势垒的可能性，并且穿透后的能量E不变。这种现象称为隧道效应。隧道效应是量子力学中特有的物理现象，是微观粒子波动性的表现，在经典物理中是不可能发生的。例7.6：求动能E为3eV的电子隧穿高度U0=10eV，宽度a=0.4nm和a=0.8nm势垒的概率？电子换成质子的结果？解：说明电子的隧穿概率对势垒宽度a，质量m非常敏感。当m、U0-E以及a为微观尺度时,（特别是对于电子）穿透系数有一定的值；当m及a增加时，T则大幅度降低。如果m及a为宏观尺度，T将趋于零而实际上无法测量，势垒贯穿是一种微观效应，是微观粒子波动性典型表现。扫描隧道显微镜scanningtunnelingmicroscopemetal1metal2insulator隧道效应应用宾尼（GBinnig）罗赫尔（H.Rohrer）

瑞士苏黎世IBM公司的两位科学家宾尼和罗赫尔研制成了STM，可以很精确地观察材料表面结构，成了研究表面物理和其他实验研究的重要显微工具，二人与电子显微镜的发明者鲁斯卡分享了1986年诺贝尔物理学奖。567.4线性谐振子（一）引言 （1）何谓谐振子 （2）为什么研究线性谐振子（二）线性谐振子（1）方程的建立（2）求解（3）应用标准条件（4）厄密多项式（5）求归一化系数（6）讨论（三）实例57（一）引言（1）何谓谐振子量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述的势场中运动的粒子。在经典力学中，当质量为的粒子，受弹性力F=-kx作用，由牛顿第二定律可以写出运动方程为：其解为x=Asin(ωt+δ)。这种运动称为简谐振动，作这种运动的粒子叫谐振子。若取V0=0，即平衡位置处于势V=0点，则58（2）为什么研究线性谐振子自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。例如双原子分子，两原子间的势V是二者相对距离x的函数，如图所示。在x=a处，V有一极小值V0。在x=a附近势可以展开成泰勒级数：axV(x)0V059取新坐标原点为(a,V0)，则势可表示为标准谐振子势的形式： 可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往可以用线性谐振动来近似描述。60（二）线性谐振子（1）方程的建立（2）求解（3）应用标准条件（4）厄密多项式（5）求归一化系数（6）讨论（1）方程的建立线性谐振子的Hamilton量：则Schrodinger方程可写为：为简单计，引入无量纲变量ξ代替x，此式是一变系数二阶常微分方程（2）求解为求解方程，先看一下它的渐近解，即当ξ→±∞时波函数ψ的行为。在此情况下，λ<<ξ2，于是方程变为：其解为：ψ∞=exp[±ξ2/2]欲验证解的正确性，可将其代回方程，波函数有限性条件：当ξ→±∞时，应有c2=0，因整个波函数尚未归一化，所以c1可以令其等于1。最后渐近波函数为：ξ2>>±163其中H(ξ)必须满足波函数的单值、有限、连续的标准条件。即：①当ξ有限时，H(ξ)有限；②当ξ→∞时，H(ξ)的行为要保证ψ(ξ)→0。将ψ(ξ)表达式代入方程得关于待求函数H(ξ)所满足的方程：2.H(ξ)满足的方程64以级数形式来求解。为此令：用k代替k’65由上式可以看出：

b0决定所有角标k为偶数的系数；

b1决定所有角标k为奇数的系数。因为方程是二阶微分方程，应有两个线性独立解。可分别令：b0≠0,b1=0.→Heven(ξ);b1≠0,b0=0.→Hodd(ξ).即：bk+2(k+2)(k+1)-bk2k+bk(λ-1)=0从而导出系数bk的递推公式：该式对任意ξ都成立，故ξ同次幂前的系数均应为零，只含偶次幂项只含奇次幂项则通解可记为：

H=coHodd+ceHeven

ψ=(coHodd+ceHevene)exp[-ξ2/2]66（3）应用标准条件(I)ξ=0exp[-ξ2/2]|ξ=0=1Heven(ξ)|ξ=0=b0

Hodd(ξ)|ξ=0=0皆有限(II)ξ→±∞需要考虑无穷级数H(ξ)的收敛性为此考察相邻两项之比：考察幂级数exp[ξ2}的展开式的收敛性比较二级数可知：当ξ→±∞时，H(ξ)的渐近行为与exp[ξ2]相同。单值性和连续性二条件自然满足，只剩下第三个有限性条件需要进行讨论。因为H(ξ)是一个幂级数，故应考虑他的收敛性。考虑一些特殊点，即势场有跳跃的地方以及x=0,x→±∞或ξ=0,ξ→±∞。67所以总波函数有如下发散行为：为了满足波函数有限性要求，幂级数H(ξ)

必须从某一项截断变成一个多项式。换言之，要求H(ξ)

从某一项（比如第

n

项）起以后各项的系数均为零，即bn≠0,bn+2=0.代入递推关系)得：结论基于波函数在无穷远处的有限性条件导致了能量必须取分立值。68（4）厄密多项式附加有限性条件得到了H(ξ)的一个多项式，该多项式称为厄密多项式，记为Hn(ξ)，于是总波函数可表示为：由上式可以看出，Hn(ξ)的最高次幂是n其系数是2n。归一化系数Hn(ξ)也可写成封闭形式：λ=2n+169厄密多项式和谐振子波函数的递推关系：从上式出发，可导出厄密多项式的递推关系：应用实例例：已知H0=1,H1=2ξ，则根据上述递推关系得出：H2=2ξH1-2nH0

=4ξ2-2下面给出前几个厄密多项式具体表达式：H0=1H2=4ξ2-2H4=16ξ4-48ξ2+12H1=2ξH3=8ξ3-12ξH5=32ξ5-160ξ3+120ξ基于厄密多项式的递推关系可以导出谐振子波函数Ψ(x)的递推关系：70（5）求归一化系数

(分步积分)该式第一项是一个多项式与exp[-ξ2]的乘积，当代入上下限ξ=±∞后，该项为零。继续分步积分到底因为Hn的最高次项ξn的系数是2n，所以dnHn/dξn=2nn!。于是归一化系数则谐振子波函数为：(I)作变量代换，因为ξ=αx，所以dξ=αdx；(II)应用Hn(ξ)的封闭形式。71（6）讨论3.对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所以能级是非简并的。值得注意的是，基态能量E0={1/2}ħω≠0，称为零点能。这与无穷深势阱中的粒子的基态能量不为零是相似的，是微观粒子波粒二相性的表现，能量为零的“静止的”波是没有意义的，零点能是量子效应。1.上式表明，Hn(ξ)的最高次项是(2ξ)n。所以： 当n=偶，则厄密多项式只含ξ的偶次项；当n=奇，则厄密多项式只含ξ的奇次项。2.ψn具有n宇称上式描写的谐振子波函数所包含的exp[-ξ2/2]是ξ的偶函数，所以ψn的宇称由厄密多项式Hn(ξ)

决定为

n宇称。72n=0n=1n=24.波函数然而，量子情况与此不同对于基态，其几率密度是：ω0(ξ)=|ψ0(ξ)|2= =N02exp[-ξ2]分析上式可知：一方面表明在ξ=0处找到粒子的几率最大；另一方面，在|ξ|≧1处，即在阱外找到粒子的几率不为零，与经典情况完全不同。以基态为例，在经典情形下，粒子将被限制在|αx|<1范围中运动。这是因为振子在这一点(|αx|=1)处，其势能V(x)=(1/2)μω2x2={1/2}ħω=E0，即势能等于总能量，动能为零，粒子被限制在阱内。-3-2-10123E0E1E273分析波函数可知量子力学的谐振子波函数ψn有n个节点，在节点处找到粒子的几率为零。而经典力学的谐振子在[-a,a]区间每一点上都能找到粒子，没有节点。-101ω0(ξ)ωn(ξ)n=2n=1n=0-11-22-44|10|2

5.几率分布前几个波函数的表达式：………75解：Schrodinger方程：求能量本征值和本征函数。例1.荷电q的谐振子，受到沿x向外电场的作用，其势场为：（1）解题思路

势V(x)是在谐振子势上叠加上-qx项，该项是x的一次项，而振子势是二次项。如果我们能把这样的势场重新整理成坐标变量平方形式，就有可能利用已知的线性谐振子的结果。

76（2）改写V(x)77（3）Hamilton量进行坐标变换：则Hamilton量变为：78（4）Schrodinger方程该式是一新坐标下一维线性谐振子Schrodinger方程，于是可以利用已有结果得：新坐标下Schrodinger方程改写为：本征能量本征函数例7.7求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。解：得:由

ω1(x)的表达式可知，x=0,∞时，ω1(x)=0。显然不是最大几率的位置。可见

是所求几率最大的位置。例7.8在时间t=0时，一维线性谐振子处于用下列归一化的波函数所描写的状态：其中

为第n个时间无关的本征函数。（1）求C

的值；（2）该振子能量的可能值、几率及平均能量

。（3）写出t>0时的波函数。解：(1)（2）（3）氢原子的量子力学处理方法1、氢原子的薛定谔方程势能此势能与时间无关，电子处于定态。应用定态薛定谔方程：7.5氢原子的量子理论氢原子中电子满足的薛定谔方程是：在球坐标下：目的是：对于任意给定的E值，找出满足标准条件的上述方程的解，在求解过程中自然地得到一些量子化条件。球坐标下的氢原子的定态薛定谔方程：束缚态令：代入方程，分离变量方程成立条件是两边同为一常数，得：⑴将⑵式在分离变量，令常数为⑵⑶⑷氢原子的定态方程变成了三个分离变量方程即每个方程只含有一个变量，求解过程很复杂。在求解的过程中，有波函数标准条件的要求，可以得到一些量子化条件氢原子的波函数为：2．量子化条件1）能量量子化

求解R(r)时，为了使波函数满足标准条件，则电子（或说是整个原子）束缚态的能量只能是分立的。

n称为主量子数。能级间隔随n增大而很快地减小，最低的能级（n＝1）称为基态。n＝2的能级称为第一激发态。2）角动量量子化

即原子中电子绕原子核旋转的角动量也是量子化的。

称为角量子数或副量子数。对应同一个n值，有不同的取值，但可取n个值；所以能量相同的电子的角动量可不同。如氢原子的n＝4能级量子态:角量子数:求解时得到量子数与有关，它体现电子轨道角动量的大小3）角动量分量量子化

角动量沿空间某一方向，如沿Z轴正向的分量也是量子化

称为磁量子数，对一定的

，可取个值。此角动量量子化表示了氢原子中电子的角动量特性。

当存在外磁场时，即原子是放在外磁场中时，一般地把Z轴选择为外磁场的方向，所以称为磁量子数。求解得角动量在空间可能有5个取向当n、l、m三个量子数一定，能量E、角动量L和角动量在外磁场方向的分量Lz都具有确定的值，此时氢原子的状态可用波函数表示。其中：为径向函数；为球谐函数例：l=2时0Z，B波函数（空间）的解为：其中：这里：3、讨论：简并度：同一个能级所对应的状态（波函数）称为能级的简并度。氢原子，能级仅与n

有关，简并度：（)知道了波函数，可以讨论氢原子内电子在空间个点的几率分布。当氢原子处于态时，电子在点周围的体积元的几率是就得到在半径到

的球壳内找到电子的几率将上式对和积分（球谐函数是归一化函数）或者说电子径向概率分布r～r+dr如图表示可以看出在波尔轨道出电子出现的几率最大zw10zOw00zw1±1或者说电子角向概率分布(,)方向立体角d⑵如图1：S-电子，l=0,m=0与无关，球对称P

电子，l=1,m=1,-1

关于原子中各个电子的运动状态，量子力学给出的一般结论是：电子运动状态由四个量子数决定；总结1）主量子数