天体光谱学-第五章恒星

2023/2/1天体光谱学1§5.1介绍本章主要讨论利用恒星光谱定恒星的化学组成等参量。除化学组成外，恒星的主要参量还有：恒星光度，恒星的质量，恒星半径，恒星自转速度，恒星磁场，恒星年龄（不能直接测）。有效温度可用来替代光度或半径：；表面引力替代质量或半径：。第五章恒星光谱2023/2/1天体光谱学2§5.1介绍质量和半径：双星系统运动轨道的测定及动力学分析→，食变→。但能精确测量或的恒星数目十分有限。光度：恒星的距离及流量测量，则：，但流量须对所有频率积分。不可避免地某些频率区域没有测量，需外推或插值。温度：假定黑体谱，则两波长处的流量比值或两波段流量差→色温度；一给定原子或离子不同激发势的谱线强度比或不同电离势的离子谱线强度比→激发和电离温度。若恒星连续谱为一黑体谱，则任何色温度将给出有效温度；若定义激发和电离温度的谱线来自连续谱形成区（LTE），则激发、电离温度与有效温度同。2023/2/1天体光谱学3维恩定律§5.1介绍2023/2/1天体光谱学4WavelengthEnergyfluxT1T2ForT1:bB(flux)>bV(flux)ForT2:bB(flux)<bV(flux)BfilterVfilter§5.1介绍2023/2/1天体光谱学5§5.1介绍2023/2/1天体光谱学6但由于连续吸收系数随波长的变化及在某些光谱区许多吸收线的堆积效应（紫外区），使得恒星光谱明显偏离黑体谱，所以色温度可能与有效温度十分不同；谱线一般形成于与连续谱不同的区域（除非非常弱的谱线），所以一般激发、电离温度也不同于有效温度。从恒星大气模型或经验关系（对少数测定的恒星），可得到色温度、激发温度或电离温度与有效温度的关系。冷星：从大气模型，在红外波段发射区温度与有效温度临近红外积分§5.1介绍2023/2/1天体光谱学7冷星（另一种方法）：在红外区，吸收系数随波长的变化非单调→寻找两波长：对给定的温度，具相同的吸收系数，即相同光深，相同深度。若连续谱形成于LTE区，则：恒星光谱型分类：哈佛分类（一维分类）有效温度定：不同光谱型中几种谱线的相对强度与有效温度有关。§5.1介绍2023/2/1天体光谱学8SpectraandSpectralClassificationofStarsInitially(1890s)starswereclassifiedaccordingtothestrengthoftheBalmerlines.

Atthistime,theenergy-levelstructureofatomswasnotknown.ThefirstpersonknowntoattempttoclassifyspectrawasFatherAngeloSecchiS.J.,around1860.HewasappointeddirectoroftheVaticanObservatoryin1849.Thespectrawerehanddrawnatthattime!Inthelate1890s,theemergingschemewasbasedonthestrengthofhydrogenBalmerlineswithclassesthatwereassignedaletterfromAtoO.§5.1介绍2023/2/1天体光谱学91900s:AteamofastronomersatHarvardCollegeObservatorystartedamonumentalprojecttoexaminestellarspectraanddevelopasystemofspectralclassificationinwhichallspectralfeatures(alllinesandtheirstrengths)areconsidered.Theyhaveusedphotographsofspectra.TheHarvardteam§5.1介绍2023/2/1天体光谱学10TheHarvardproject:financedbyHenryDraper,awealthyphysicianandamateurastronomer;in1872hewasthefirstpersontophotographstellarabsorptionspectra.-researchers:EdwardC.Pickering,WilliaminaFleming,AntoniaMauryandAnnieJumpCannon.-theeisthe“HenryDraperCatalogue”,publishedbetween1918and1924.Itlisted225,300stars.-theclassificationsequenceincludedfirst7categoriesnamedwithletters:O,B,A,F,G,K,M.Thesequenceissolelybasedontheprogressionoflinepatternsinthespectra(A.Maury).ManyoftheoriginalclassesfromAthroughOweredropped.-A.J.Cannonrefinedthesequenceintosmallerstepscalledspectraltypes.Forexample,classGincludes10subclasses,fromG0toG9.§5.1介绍2023/2/1天体光谱学11§5.1介绍2023/2/1天体光谱学12-In1920HarvardastronomerCeciliaPayne-GaposhkinandtheIndianphysicistMeghnadSahademonstratedthatthe

OBAFGKMisasequenceintemperaturewithOstarsbeingthehottestandMstarsthecoolest.Whyisitso?ConsidertheHydrogenatom:althoughthemostabundantelementintheuniverse,Balmer(n=2)linesdonotshowinthespectrumofeverystar.-Ifastarismuchhotterthan10,000K,thephotonshavesuchahighenergythattheyionizetheHatom.Withonlyoneelectrontornaway,Hcannotproduceabsorptionlines.-Ifastarismuchcoolerthan10,000K,almostallHatomsareinthelowestenergystate(n=1),thereforeweakornoBalmerlines.§5.1介绍2023/2/1天体光谱学13Everytypeofatomormoleculehasacharacteristictemperaturerangeinwhichitproducesprominentabsorptionlinesinthevisiblepartofthespectrum.§5.1介绍越早光谱型中出现同一元素电离或激发势越高的谱线，光谱型从早到晚，相应原子的电离（激发）势减小。2023/2/1天体光谱学14表面引力：的数值影响谱线形成区压强，即影响压强展宽的谱线轮廓和等值宽度，如线的轮廓。所以，压强展宽的强线线翼，可用来表征热星压强和表面引力。给定温度下，压强控制了电离，即不同电离级的线强比。一维分类法不能确切定恒星光谱型，如两个恒星光谱，若以光谱中有哪些谱线出现以及这些谱线的强度来判别，它们很相似，几乎可确定为一个光谱型。但其中一个光谱谱线很清晰（尖锐），另一个较模糊（较宽），无法以一维分类区分→二维分类（M-K分类），因谱线的形成不仅与有关，还与表面引力有关。，光度越大，谱线宽度约小。按光度分等级：Ⅰ(超巨星），Ⅱ（亮巨星），Ⅲ（正常巨星），Ⅳ（矮巨星）；Ⅴ（主序星），Ⅵ（矮星）§5.1介绍2023/2/1天体光谱学15TheH-RDiagram:Radii

-Somestarsareveryluminous,butcool:thereforetheyhavetohavelargeradii.Thesearethegiants(10-100R)andsupergiants(1000R);about1%ofthestars.-Somestarsareunderluminous(comparedtothemainsequence)butveryhot;thereforetheyhavetohavesmallradii.Thesearewhitedwarfs(0.01R,sizeoftheEarth);about9%ofthestars.§5.1介绍2023/2/1天体光谱学16StellarSpectraContainInformationAboutAStar’sSizeStarsofthesamesurfacetemperaturecanhaveverydifferentluminosities.Bycomparingthespectraofstarsofsamesurfacetemperaturebutofdifferentluminosities,onecansee: -agiantstarhasnarrowBalmerabsorptionlines -amain-sequencestarhasbroadBalmerabsorptionlinesSupergiantMain-sequenceB8

B8

§5.1介绍2023/2/1天体光谱学17StellarSpectraContainInformationAboutAStar’sSizeHydrogenlinesareaffectedbythepressureanddensityofthegasintheatmosphereofthestar.Thehigherthepressureandthedensity,themorefrequentlyatomscollideandinteractwithotheratomsandions.Thesecollisionsshifttheenergylevelsinthehydrogenatom,andthusbroadenthehydrogenspectrallines.Thedensityofastar’satmosphereisdeterminedbythestar’ssurfacegravity(g=GM/R2).Therefore,thelargerthesurfacegravity,thebroaderthespectrallines.Main-sequencestarshavelargersurfacegravitiesthangiants:thustheirHydrogenlinesarebroader.§5.1介绍2023/2/1天体光谱学18TheLuminosityClassIn1930,W.W.MorganandP.C.KeenanoftheYerkesObservatorydevelopedasystemofluminosityclassesbasedonsubtledifferencesinthespectrallines.TheluminosityclassaddedtotheOBAFGKMspectralclassificationformstheMorgan-Keenan(MK)spectralclassificationsystem.§5.1介绍TheMKSpectralSystemTheMKsystemhastwodimensions:oneforthesurfacetemperature(OBAFGKM)andtheotherforluminosity(Ia,Ib,II,III,IV,V).Examples:TheSunisaG2Vstar-TheAlbiriosystem(Cygni):K3IIandB8V2023/2/1天体光谱学19定表面引力：寻找在相近波长处、足够强（易于观测）、但又不是太强以致饱和的谱线线强比，强烈地依赖于电子压强（表面引力），对温度弱依赖。例：F-K光谱型（5000-7000K），随压强及表面引力的减小而增大，因压强越小，锶越易电离，中性铁越少。表面引力（压强）也会影响连续吸收系数和巴尔末跳变大小，所有这些也一定程度上依赖于温度，所以压强和温度须同时求解。§5.1介绍化学组成：从观测的恒星光谱所获得的量为某种元素原子数与氢原子数之比。丰度表示为相对于氢的粒子数丰度，因绝大多数恒星中氢占总原子数的90%。谱线强度（等值宽度）-相对于连续谱的强度（直接或间接与氢粒子数有关）。2023/2/1天体光谱学20在绝大多数恒星中发现：比He重的重元素间相对丰度十分类似。对不同恒星，这个相对丰度分布（如等等）有时称宇宙丰度分布。然而，比He重的所有重元素的总的丰度（金属丰度），在不同恒星间有相当变化，通常以太阳丰度示：所有这些观测丰度：指恒星大气表面丰度§5.1介绍恒星内部或恒星结构演化的研究中，常以质量丰度示2023/2/1天体光谱学21观测为恒星表面的化学组成，大多情况下为恒星形成时星际介质丰度，可给出恒星演化的初始丰度。随着恒星的演化，恒星内化学组成不均匀，核心和外壳的丰度为不同值。所以，主序星表面的化学丰度的研究→星际介质化学组成（恒星形成时）随时演化（星系化学演化）。对大多数恒星，只简单给出一个金属丰度，但有时需对某些恒星的化学组成作更精细的研究：研究宇宙化学丰度演化及其均匀性；等随时微小的变化。§5.1介绍2023/2/1天体光谱学22Thestellarabsorptionlinespectrumgivesthefollowinginformationforastar:surfacetemperature-strengthsofspecificspectrallinesluminosityclass(viasurfacegravity,andradius)-thebroadeningofspectrallineschemicalcomposition-thepresenceandquantitativeanalysisofthespectrallines§5.1介绍2023/2/1天体光谱学23连续吸收过程可分为三类：电子散射、b-f过程、f-f吸收§5.2恒星连续谱一、散射：与波长无关（低频，Thomson散射）

，氢几乎完全电离（90%原子为氢），每个氢原子贡献一个电子90%氢完全电离，10%氦中性。

，氢为中性，虽然重元素贡献了少量电子，但电子密度太低，电子散射不重要。冷星，如晚型G、K光谱型恒星大气中，中性原子较多，瑞利散射重要。中性氢原子瑞利散射截面：中性氦原子瑞利散射截面：中性氢分子瑞利散射截面：以米为单位2023/2/1天体光谱学24§5.2恒星连续谱二、光电吸收氢或类氢离子在处光电吸收系数：单位质量在能级n的粒子数

处主要贡献：最低2023/2/1天体光谱学25§5.2恒星连续谱在O型星中，氦电离为（类氢离子）。，光电吸收主导。（因，即使不考虑在此温度下氢大部分电离，也足以补偿氦丰度小）氢光电吸收：波长小于莱曼系限，从基态光致电离可能。由于绝大部分氢原子处于基态，所以由光电吸收主导。大部分恒星，从氢原子基态的光电吸收主导了吸收系数；，中性氦原子基态光电吸收有重要贡献。银道面上，，很难观测，由于星际气体中中性氢的吸收。Lyman系限两边：吸收系数跳变→连续谱跳变，Lyman跳变Balmer系限两边：吸收系数跳变→连续谱跳变，Balmer跳变Paschen系限两边：吸收系数跳变→连续谱跳变，Paschen跳变2023/2/1天体光谱学26§5.2恒星连续谱

光电吸收主导了可见波段氢或类氢：，。由Boltzmann公式：质量密度导致丰度远小于氢的其它重元素基态光电吸收在某些波段可与氢竞争。若氢光电吸收主导，在电离边两侧连续谱流量的变化中将有反映。如Balmer系限长波边，从光电吸收不可能，导致吸收系数跳变，使得大气更透明，观测流量来自更深（热）层，所以流量比短波边更大。→流量跳变（Balmer跳变）；类似，Lyman跳变，Paschen跳变（通常小）。2023/2/1天体光谱学27§5.2恒星连续谱Balmer系限两侧吸收系数之比：Balmer跳变：2023/2/1天体光谱学28§5.2恒星连续谱一般在温度比太阳高的恒星大气中，不存在。与太阳同光谱型（G型）或更冷的K、M型大气中，变得重要，成为大气连续吸收的主要组成部分。所以若氢的光电吸收为连续吸收的主要源泉，则Balmer跳变随温度的减小而增大。然而，在较冷的恒星里，可见波段起主要作用的为的束缚-自由吸收。负氢离子是由一个中性氢原子和一个与它连在一起的电子组成的体系，由于氢原子的电子不能完全屏蔽原子核的电场而造成。在晚型星大气中，氢原子很多，并且电子密度也相当大（金属为电子的主要贡献者），易形成负氢离子。负氢离子只有一个束缚态，结合能很低，所以不可能在高温下存在。2023/2/1天体光谱学29§5.2恒星连续谱其它一些丰度较小的元素在某些波段范围内，这些元素基态的光电吸收可与氢激发态的光电吸收比较。氢外最丰富的元素:

氢丰度典型地，Balmer跳变在达极大（A0型星）。吸收系数正比于电子密度，矮星比超巨星具有较高的表面引力，大，所以吸收系数大。所以超巨星的Balmer跳变峰值比主序星（或矮星）更低。所以可见波段以吸收为主，Balmer跳变比假定所有吸收由中性氢所致的要小（T↓，Balmer跳变↑，实际上，随T↓，的重要性↑，Balmer跳变↓）2023/2/1天体光谱学30§5.2恒星连续谱同时，这些元素具较低激发态，碰撞→在适当温度下低激发态上具有相当布居。如：MgI：第一激发态：2.5eV,电离边：251.7nm,冷星总吸收系数计算→吸收系数不连续性。对较热星，在某些表面引力和温度范围内，各种轻元素如CⅢ，CⅣ，NⅢ，NⅣ，OⅢ，OⅣ，OⅤ，NeⅣ，NeⅤ（吸收边：46-10nm)光电吸收重要；OⅥ（9nm)对O型超巨星起重要作用。对较冷星，在这些电离边和Lyman系限之间，这些元素的吸收起重要作用（紫外）,2023/2/1天体光谱学31§5.2恒星连续谱三、自由-自由吸收在长波端，自由-自由吸收系数，且自由-自由吸收无截止频率，所以长波端自由-自由吸收主导。,氢电离

的自由-自由吸收为主要贡献者，因氢丰度大。而类氢离子的自由-自由吸收系数。恒星内部，大部分原子完全电离，如氧，，尽管氧丰度仅为氢的约千分之一，氧对自由-自由吸收有重要贡献。然而，即使在很热的恒星里，仅小，只有氦对自由-自由吸收有相当贡献。冷星：自由-自由吸收（和作用）主导；极冷星：自由-自由吸收最重要。对冷于7000K的恒星，负氢离子的光电吸收主导绝大部分可见光谱区的连续吸收（截止：1650nm)2023/2/1天体光谱学32§5.2恒星连续谱负氢离子的自由-自由吸收截面和束缚-自由吸收截面对，负氢离子的吸收系数（正比于电子压强），不考虑诱导辐射修正。2023/2/1天体光谱学33§5.3恒星谱线越高量子数，能级越近，氢或类氢能级结构:最短波长跃迁：Lyman系列→基态，所以能被几乎所有氢原子吸收。↑，跃迁几率和振子强度↓，Lyα最强。基态和第一激发态的允许跃迁：共振跃迁其它原子或离子的能级结构比氢原子复杂得多，但最强的谱线经常为共振线，所以较强谱线，通常在较短波。一、原子谱线2023/2/1天体光谱学34§5.3恒星谱线电离势、激发势：核有效电荷数，所以较高阶电离离子，其电离势、激发势和能级间隔较大→强线，在较短波出现；同壳层其它电子对核不完全屏蔽→↑，如惰性气体。在讨论这些时，我们忽略电子间相互作用→能级精细结构（LS、jj耦合），如金属Fe、Ni、Co、Ti、V、Mg等，能级结构十分复杂，简单描述不可能。恒星大气光谱中，在很宽波长范围内，有许多相当强度的谱线。在一特定恒星光谱里所观测到的谱线依赖于温度、压强（较弱依赖），对丰度依赖弱得多，也依赖于观测波段。大部分观测在可见波段：3000-7000Å。最丰富的元素：H、He、O、C、Ne、N都有较大的电离势，它们的共振线：紫外（对它们的离子，更是）2023/2/1天体光谱学35Hydrogenenergylevelsshowingfinestructurel=0l=1l=2SPDn=3n=2n=1HLyFinestructureconst.:

=e2/hc=1/137Finestructure:

E/E~4~5x10-5eVSpin/orbit(l*s)1s2S1/22s2S1/23s2S1/23p2Po3/23p2Po1/23d2D5/23d2D3/22p2Po3/22p2Po1/22s+1J=L+SHyperfinestructure:

E~6x10-6eVSelectionRules:

l=0,+/-1

j=0,+/-1even<=>odd

L=[l(l+1)]1/2h/2S=[s(s+1)]1/2h/2J=[J(J+1)]1/2h/2

2023/2/1天体光谱学36§5.3恒星谱线对太阳温度大气，He、Ne在可见波段观测不到，只有C、O、N的一些禁线和高激发谱线2023/2/1天体光谱学37§5.3恒星谱线氢：第一激发态→Balmer线（Hα656.5；Hβ486.1；Hγ434nm,…）可见波段，强度↓。氢的丰度很大，即使在冷星中，激发态原子数少，也会有相当强的H线。随着T增大，Balmer线强度增大；在达极大，而后随着温度的增大而衰减，因H开始电离。NLTE效应：即使在最热的恒星中，比预期强（因T朝外减小）氦：第二丰富，两个价电子，能级分两套：单层（）；三层结构（）。最低激发态：，亚稳态（，电子组态没变）；两套能级间的跃迁：禁戒（弱），各自内部跃迁，两套光谱2023/2/1天体光谱学38§5.3恒星谱线高激发能：He谱线能观测到；，He开始电离（类氢），毕克林线系。HeⅡ落在可见波段。2023/2/1天体光谱学39§5.3恒星谱线在可见波段，随T↑，H谱线强度增大，至，开始衰减；出现HeⅠ谱线，T↑，被HeⅡ替代，在O、B光谱型恒星，HeⅡ主导，也有些C、N、O、Si、Ne离子谱线。SiⅡ、SiⅢ、SiⅣ，随温度增大，电离度增大。在紫外，这些离子的某些共振线很强，如CⅣ共振线（154.8nm)（O型），SiⅣ共振线139.3nm（O型），CⅡ共振线133.5nm（B型）。2023/2/1天体光谱学40§5.3恒星谱线B型星：温度轻离子线强/HeI较冷B型星：SiII412.9nm;MgII448.1nm(T↑，进一步电离，强度↓）；较热B型星：SiIV,CIII,T↑、强度↑;B、A型：L↑，H线↓（压强展宽↓），H线，光度指示在B型星中，还有许多其它线强比可作指示器：以H谱线主导的恒星光谱中，光谱型亚类：CaII/H，遂T↑，Ca二次电离↑。O型星：温度分类（O3-O9）基于线强比

光度分类：SiⅣ线强（矮星→超巨型）,SiⅣ：共振线139.4,140.3nm(紫外）；408.9,411.6nm。随光度的增大而变强。O型星受星风影响强烈，偏离LTE。星风产生许多线，呈发射线。2023/2/1天体光谱学41§5.3恒星谱线光谱型从早到晚，激发不同电离能级所需能量减小，如SiIV，SiIII，SiII，SiI依次在O9，B1，A0和G5光谱型中具最大强度。2023/2/1天体光谱学42§5.3恒星谱线太阳类型恒星（G型），除氢线外，在可见波段还有强的Na、Mg、Ca谱线，及许多强铁线。亚类判据：G0：G8：这些元素，Na丰度最小（相对氢，），但Na共振线（D线）：589.2，588.9nm在可见波段。Na电离能：5.14eV，太阳温度下，相当部分电离。T↑，Na双线↓；电离Na，满壳层结构，能级间隔大，在可见波段无谱线。2023/2/1天体光谱学43§5.3恒星谱线Ca与Na丰度几乎相同，Ca：6.11eV，太阳温度下仍有部分电离。中性Ca共振线：422.6nm；共振线：393.3nm（K线），396.9nm(H线）都落在可见波段。太阳温度下，随T↓，Ca↑。A型：CaIIMg：丰度比Na、Ca大一个量级，与Ca能级结构十分类似。Mg（7.64eV)能级间隔稍大。MgI共振线285.2nm,处UV；MgII的H线279.5nm、K线280.2nm也处于紫外。但Mg第一激发态MgI仅在基态上（457.1nm,禁戒，）。但三重线在太阳类型光谱中显著。MgII448.1nm(4f→3d)来自激发态，比CaII线出于更高温度下（F型星）。2023/2/1天体光谱学44§5.3恒星谱线SpectralclasscharacteristicOBAFGKMR,NSWeakH;ionizedHeandsomemetalsearlytypeStrongerH;neutralHe;ionizedmetalsHlinesdominant;singlyionizedmetalsHweaker;neutral&singleionizedmetalsHweaker;singlyionizedCadominant;neutrametalsNeutralmetals;molecularlinesTiO&molecularlinesdominant;neutralmetalsCH,CN;andneutralmetallinesZrO;neutralmetallineslatetypeOBAFGKM(RNS)OhBeAFineGirlKissMe(RightnowSmack)2023/2/1天体光谱学45§5.3恒星谱线恒星光谱：从不同化学组成和物理性质（温度、密度等）恒星大气里产生，由原子的不同电离状态决定，通常，电离状态强依赖于温度，对压强弱依赖。Saha方程定。2023/2/1天体光谱学46§5.3恒星谱线太阳大气中H的电离度：<7000K,mostlyneutral>11000K,mostlyionized7500-11000KA型星氢线最强2023/2/1天体光谱学47§5.3恒星谱线太阳中CaII线：从Saha方程，太阳大气中氢绝大部分为中性。从玻尔兹曼公式：即几乎很少氢能产生巴尔末吸收线。对Ca：即几乎所有Ca为单电离。由玻尔兹曼公式：即几乎所有处基态2023/2/1天体光谱学48§5.3恒星谱线所以，太阳中的CaII线比氢线强，因激发与电离依赖于温度。

4000ÅBreak397.0nmCaII线和氢线在冷星里非常强。在其短波边，有强的CaIIK线和其它许多铁线及其他谱线。在低色散G、K光谱型的恒星光谱里，显示~4000Å左右的不连续性。<4000Å，明显低连续谱，实际上有许多吸收线叠加而成。估算星系红移（Break波长）：暗椭圆星系（光谱冷星主导）。2023/2/1天体光谱学49§5.3恒星谱线二、分子谱线玻恩-奥本海默近似冷星呈现明显分子光谱带的吸收。把被分子吸收的光或由分子发射出来的光进行分光所得到的光谱。分子光谱与分子的运动和分子内部的运动密切相关。分子光谱→分子的转动，分子中原子的振动，分子中电子的跃迁。分子的运动转动，平动分子内部运动原子核运动：振动电子运动电子跃迁分子状态→转动态、振动态、电子状态分子能量→2023/2/1天体光谱学50§5.3恒星谱线设电子和原子核为质点，分子的薛定谔方程为：忽略电子的自旋相互作用，则多原子分子的非相对论哈密顿算符为：式中α和β是核的标记，和是电子标记；是第α个原子核质量；为电子质量；和分别是电子和核的坐标；和是核α和β的原子序数；和分别是核与核之间、核与电子之间和电子与电子之间的距离。式中是分子的总波函数，是分子运动总能量；第一、第二项是各电子和核的动能算符，第三、第五项是所有核之间和电子之间的排斥能，第四项是电子与核之间的吸引能。2023/2/1天体光谱学51§5.3恒星谱线所以一般情况下分子的是很复杂的。为了简化求解的本征值和本征函数，考虑到电子的质量比原子核质量小几千倍，所以分子体系中电子的运动速度比原子核的运动速度快得多，使得当原子核作任何微小运动时，电子都能迅速地建立起适应于核位置变化后的新的平衡。玻恩和奥本海默近似：把电子运动与核运动分开，即假定在讨论电子运动时，近似认为电子是在不运动的原子核力场中运动；而在讨论核运动时，由于电子运动得很快，核之间的相互作用可用一个与电子坐标无关的等效势来表示。所以总波函数可分为与电子运动相关的部分和与核运动相关的部分相乘：

在参量上依赖核坐标，但独立于核的量子状态，仅决定于电子状态；描述在电子的势场中核的振动和转动。2023/2/1天体光谱学52§5.3恒星谱线对电子运动来说，可以把核看作不动，因而可略去中核的动能项，相应的电子运动薛定谔方程为：

即电子的哈密顿算符，是中第一、四、五项之和，是核排斥能，是中第三项，因而是在给定电子状态下包括了核排斥能的电子本征能量，通常称为固定核时的分子能量。

是纯电子能量。对于确定分子的每个构型，核之间距离近于固定，核排斥能是常数，它只使能量本征值减少一个常数而不改变电子波函数。当核运动时，核构型改变，电子的波函数和能量均要变化。因此可用为参数求解（5.3.4）方程而得到和。这一方程是研究分子电子激发态的基础。2023/2/1天体光谱学53§5.3恒星谱线核运动方程：把（5.3.2）和（5.3.3）代入（5.3.1）式，运用（5.3.4）式，并考虑到含有坐标，不能从中提出，它们遵从：所以在玻恩-奥本海默近似下、不考虑电子自旋相互作用的分子的薛定谔方程为：在玻恩-奥本海默近似下，是核坐标的慢变化函数，它对的微分值很小，可略去。2023/2/1天体光谱学54§5.3恒星谱线玻恩-奥本海默近似的可靠性：因对电子坐标变化的敏感性和对核坐标变化的敏感性差不多，应与同量级，所以前面忽略的项：在数量级上相当于略掉如下能量：，为单个电子和核的动量。这相当于要求它的值远小于核动能。因为：显然在一定的原子坐标下，电子运动方程（5.3.4)式中电子体系本征能量恰是原子核运动方程（5.3.6）式中原子核运动的等效势函数，称分子势能函数。本征能量是分子的总能量，包括电子运动能量和核运动动能，动能和库仑势能全在里面。（5.3.6）是研究分子振动能和转动能的基础。2023/2/1天体光谱学55§5.3恒星谱线所以玻恩-奥本海默近似成立的条件为：以双原子分子估算：分子中电子动量大致以氢原子轨道上电子动量表征，即。由分子的振动可知，原子核通过平衡位置时，动量为二原子核折合质量，为力常数，双原子分子的典型值，代入其它常数，则：一般分子都满足这个条件，玻恩-奥本海默近似是一种好的近似。只有对很轻的分子，偏离大些，如氢分子。2023/2/1天体光谱学56§5.3恒星谱线双原子分子的转动和振动光谱对双原子分子，核的运动方程：前两项为分子两个核a和b的动能。这是个两体问题，通过坐标变换，在质心系中双原子分子的核运动在质心系化为在分子势能作用下的质量为的质心平动和质量为的单粒子内部运动，即转动和振动。若取分子质心为坐标原点，坐标轴随分子平动，只影响总能量，不影响转动和振动波函数，故平动可不考虑，所以：刚性分子的转动能级和纯转动谱线2023/2/1天体光谱学57§5.3恒星谱线其中是除平动以外的核运动波函数，是除平动动能以外的分子能量，包括振动能量、转动能量、核排斥能和电子运动能，即。由于只依赖于核间距，在球坐标下，是个中心力场问题，可分离变量，令：式中是球谐函数，只与分子的转动角度θ和有关，是径向函数，只与核间距有关。像氢原子一样，可得到：2023/2/1天体光谱学58§5.3恒星谱线

是分子转动角动量算符，是的函数。假定分子的核振动只发生在它的平衡位置附近很小的区域，则：方程中第二项用常数代替，分离变量得：2023/2/1天体光谱学59§5.3恒星谱线由此得到两个方程：转动方程：振动方程：转动方程的求解与氢原子的情况相同，由于:所以转动能量为：2023/2/1天体光谱学60§5.3恒星谱线式中，为转动量子数，，转动惯量和转动常数为：波函数为球谐函数，与氢原子相同。能级对磁量子数是简并的，，简并度为。由此得到转动能级。邻近能级间隔:不是等间隔，是的2、4、6、8、…倍。2023/2/1天体光谱学61§5.3恒星谱线像原子一样，能级之间的电偶极跃迁（即发射和吸收光子）服从角动量的选择定则：

相应于吸收过程，相应于发射过程，不存在，这是由于宇称守恒要求而被排除。所以，只有相邻能级之间能够发生电偶极跃迁。各转动谱线的能量是不相同的，但各转动谱线的能量间隔是相同的，均为。以上是假定核间距不变的情况下导出（刚性振子模型）

简谐振子的振动能级和振动转动谱线当假定核的振动发生在它的平衡位置附近很小的区域时，可把势能函数在附近展开成泰勒级数2023/2/1天体光谱学62§5.3恒星谱线由于在处有极小值，。所以。对小振动，为小量，略去三次方以上项，有：因为简谐振动的物体所受的力与它的位移成正比它的势能：，为抛物线，描述一维线性振动运动，它的平衡振动频率由此可见，(5.3.14)式表示的势能是抛物线形。实际的分子势能只在附近与相符。在一侧，由于核排斥能迅速增大，曲线比抛物线陡。在一侧，由于核排斥能减小得快，曲线比抛物线要平缓。2023/2/1天体光谱学63§5.3恒星谱线将（5.3.14）代入（5.3.8）式，得到一维线性谐振子方程量子力学可严格求出此线性谐振子方程的解振动量子数。分子除平动能以外的能量为：转动能级和振动能级从势能曲线的底部往上排列。项是包括核排除能在内的处的电子能量，取决于所处电子态。对给定电子态为常数，。相邻能级等间隔。2023/2/1天体光谱学64§5.3恒星谱线振动能级之间的电偶极辐射服从选择定则：括号内表示跃迁概率很小。对同一电子态，给出纯转动光谱，给出振动-转动光谱。的是吸收光谱，写为。为负号的是发射光谱。相应于的称为P支，它的波数为:

为下转动能级的量子数。

不能发生，是条缺线，称为基线。相应于纯振动跃迁不能发生。在振动转动跃迁中，转动量子数的选择定则仍成立。相应于的称为R支，它的波数为：2023/2/1天体光谱学65§5.3恒星谱线

非谐性、非刚性和振动-转动相互作用前面讨论的振动转动能级的处理不够严格，主要使用了三种近似：玻恩-奥本海默近似：假定电子运动时核不动，总波函数是电子与核的乘积，电子波函数对核坐标微分为零，因此把电子运动与核运动分开处理；核运动方程（5.3.5）式中与角动量有关的项中核距离近似为常数，即忽略了展开式中的一次方以上项，把转动运动与振动运动分开处理；（5.3.13）式中的分子势能用抛物线近似处理，略去的三次方以上项，得到谐振子解。第二、三条近似实际上均是假设了分子在核之间做小振动，这只在电子能量基态和低振动激发态的情况下才较好分子的振动转动能级结构。2023/2/1天体光谱学66§5.3恒星谱线用定态微扰方法对上述近似下得到的能量进行修正，可以得到上述的一次微扰和二次微扰修正。微扰项取展开式中的三次项和四次项与展开式中的一次项和二次项，总能量为：式中2023/2/1天体光谱学67§5.3恒星谱线前三项分别为分子解离能、线性振动能和刚性转动能；第四项代表振动能级的非谐性效应，与展开项中的三次项和四次项有关，是势能偏离谐振子的结果。称非谐性常数，大多数分子为正值，降低振动能级。它的影响随增大而迅速增大，使振动能级间距逐渐减小，能级越来越密。在以上振动能级超过了离解能，进入连续区2023/2/1天体光谱学68§5.3恒星谱线第五项代表振动和转动相互作用，称为振动转动耦合常数。由于振动能量比转动能量大得多，这一项实际代表振动运动对转动能级的影响，可合并到第三项，把改为。由于为负，通常为正，使转动能量减少。第六项代表离心畸变，称离心畸变常数，代表转动能级的非刚性效应。当转动量子数增大，由于分子是非刚性的，离心力使增大，有效转动惯量增大，转动能量降低。一般较低的J能级，这个效应很小。只有很大J能级才有显著影响。第七项是常数，由势能非谐性引起，很小。一般可不考虑，归到零点能中去。修正后转动能级与振动能级波数为：2023/2/1天体光谱学69§5.3恒星谱线电子态波数2023/2/1天体光谱学70§5.3恒星谱线双原子分子的电子态结构电子轨道分子除了有原子核的转动运动和振动运动形成的能级外，还有电子运动形成的电子能级。如在原子中一样，分子中的电子也有各种轨道运动和自旋轨道相互作用，形成不同的能量状态。分子比原子复杂。双原子分子有两个力心，核的电场失去了球队称性，为非中心力作用。价电子的轨道角动量算符不再与电子运动哈密顿算符对易，不再是守恒量，不是好量子数。但核电场在通过两原子核的连轴方向（即z方向）上是对称的。电子在轴对称的电场作用下运动，虽然不再是守恒量，但在对称轴上的分量是守恒量。不同于磁场中的情况，在电场对称轴相反方向的两个态有相同的能量，是二重简并。2023/2/1天体光谱学71§5.3恒星谱线单电子的轨道角动量量子数，磁量子数，通常引入一个新的量子数来表示单个电子的状态:称的电子状态分别为，类似原子中的。处于这些态的电子分别称为σ电子、π电子、…等。在分子物理中，不用描述电子状态，而用在z轴方向分量来描述。如果有多个电子，在薛定谔方程中电子和电子的排斥势能项中包含形式的算符，即使使用了玻恩-奥本海默近似分离了电子与核的运动，也难以分离变量，无法严格求解多电子体系的电子运动的薛定谔方程。使用独立电子近似：分子中的每一个电子看成是在其它电子和核所形成的平均场中独立地运动。则单电子的哈密顿算符及波函数就只与一个电子的坐标有关，2023/2/1天体光谱学72§5.3恒星谱线则将多电子问题近似成处理单电子问题，单电子的波函数称为轨道，独立电子近似又称轨道近似，满足单电子薛定谔方程Λ是好量子数。分子的电子态按分为分子态。在分子中，点子态还与电子波函数的对称性有关。两种对称操作（固定于分子的坐标系xyz中进行）：

变换：相对于分子中心作反演，从点反演到点，即：。据独立电子近似，分子中的各个电子在对称轴方向上的轨道角动量合成的沿分子轴方向的总轨道角动量是守恒量，2023/2/1天体光谱学73§5.3恒星谱线

变换后，波函数为对称的态为（偶），反对称的为（奇）。因而有。只有同核双原子分子才存在这种空间反演对称，异核分子没有。

操作过对称轴的平面做镜面反映，从反映到，。变换后波函数不变的为+，变号的为。由于只有电子态的态能量不同，加以标记区分；态的能量相同，是二重简并态，不再区分。若考虑电子态与转动态的相互作用，这种简并解除，的电子态分裂为两个能级，分别为态。2023/2/1天体光谱学74§5.3恒星谱线分子轨道：电子在分子中位置的描述，用单电子定态波函数来体现（不包含自旋波函数）。双原子分子的单个电子的轨道角动量在分子对称轴方向上的分量是守恒的，大小，一定的对应一定的电子能量定态。用量子数标记分子的单电子轨道，把分别记轨道。但仅有一个量子数不能完全给出分子的能量状态，常与组成发疟子的原子轨道相联系，特别是那些内壳层电子轨道。但组成分子的原子的量子数已不是好量子数，但在两种极端情况下，可用近似描述。

联合原子近似：两原子靠得很近，。如成为，成为。单电子的分子轨道用标记。的分子只有的轨道。的分子有。的分子有轨道：。2023/2/1天体光谱学75§5.3恒星谱线对多电子双原子分子，据独立电子近似，电子逐个填入上述轨道，形成分子的电子组态。电子填充次序类似原子情况，要考虑轨道的能量由低到高填入，还有遵循泡利原理，即同一轨道中不能有两个原子的四个量子数相同。

分离原子近似：两原子远离，核间距，近似成两个原子。如CO成为C和O。这时单电子的分子轨道近似用两分离原子具有的量子数和与分子的量子数标记。如：若同核分子，A=B，则不必再标A和B了，但轨道波函数有中心反演对称性和之分，如。2023/2/1天体光谱学76§5.3恒星谱线

电子谱项由分子轨道理论得到分子轨道，然后电子填充这些轨道而形成分子的电子组态，最后由角动量矢量耦合模型合成分子的总角动量，从而得到分子光谱项。除轨道角动量外，还需考虑自旋角动量。在多电子分子的情况下，由于电子的轨道运动和自旋运动之间的相互作用一般比较小，可把轨道运动和自旋运动分离开来。求总轨道角动量和总自旋角动量，进而得总角动量。由独立电子近似，总自旋角动量是分子中各电子的自旋角动量的矢量叠加的结果由于电子自旋角动量与电子轨道角动量产生的磁场耦合作用，使电子自旋角动量在分子对称轴方向产生分量大小，记为，有个，即自旋多重性是。2023/2/1天体光谱学77§5.3恒星谱线

与不同，可取正值和负值。在不考虑电子运动和分子的核运动耦合的情况下，由于自旋-轨道耦合，分子轴方向电子的总角动量：于电子自旋联系的自旋磁矩，受绕轴轨道运动所产生的磁场的作用所引起的附加能量：对一个值，自旋对分子轴的取向有个，能级分层，裂开的能级是等间距的。（类似原子的精细结构）2023/2/1天体光谱学78§5.3恒星谱线这里总角动量去绝对值，类似于轨道角动量，在电场中沿对称轴正反两方向上的两个态能量相同，是两重简并态，但在磁场中回退简并，所以写电子态时不用绝对值，电子态：。如，的分子谱项，四重态，电子态为。双原子分子电子态跃迁选择定则：2023/2/1天体光谱学79§5.3恒星谱线分子光谱转动能级间隔：→cm、mm波辐射（微波、远红外）；振动能级间隔：→红外（）；电子能级间隔：→，紫外、可见波段振动转动谱带结构：2023/2/1天体光谱学80§5.3恒星谱线记（1，0）谱带R（13）：初级近似下，转动能量，随J的增大，给出一系列等频率间隔的谱线。然而，转动能高阶表达中含第二项：。这会导致随着J的增大，能级间隔减小。最终对大J，反转，即随J增大，↓。谱带头：反转J处（一些谱线重叠）2023/2/1天体光谱学81§5.3恒星谱线转动跃迁：非谐振子模型，势能曲线不选，而用经验公式Morse函数：Χ为非谐性常数。选律：偶极矩变化的振动，。

室温下大多数分子处于的能级，因而其振动光谱对应于从到的跃迁。2023/2/1天体光谱学82§5.3恒星谱线2023/2/1天体光谱学83§5.3恒星谱线电子跃迁：分子的电子能级若有改变，所发生的光谱一般落在可见或紫外区。一对电子能级之间的跃迁包含不同振动能级的跃迁，从而产生很多光谱带，形成光谱带系。因上、下能级振动、转动状态属于不同电子态，可能出现（Q分支)。MoleculeHydrogen2023/2/1天体光谱学84§5.3恒星谱线2023/2/1天体光谱学85§5.3恒星谱线2023/2/1天体光谱学86§5.3恒星谱线CarbonMonoxide2023/2/1天体光谱学87§5.3恒星谱线AllMolecules2023/2/1天体光谱学88§5.3恒星谱线AllMolecules2023/2/1天体光谱学89§5.3恒星谱线恒星大气中分子的丰度：由组成分子元素丰度及分子的离解方程确定（类似Saha方程）。对XY分子，离解能D，离解方程：其中，u为配分函数，约合质量。对三原子分子，类似：这些方程需对大气里比较显著的所有分子同时求解，而方程中自由原子丰度又受到有多少由这种原子组成的分子的影响。但：具最大离解能（最稳定分子），趋向于有最大数目。2023/2/1天体光谱学90§5.3恒星谱线在冷大气里，几乎所有C、O原子，组成CO

若O丰度大于C，多余O原子→较不稳定如OH、TiO或其它金属氧化物；若C丰度大于O，多余C原子→、CN、CH等碳化物。NH、CH相当不稳定，所以在较冷恒星里，大部分氢以氢分子出现，还有些其它氢化物，在很低温下，如出现。

电子跃迁在UV，对大部分恒星，探测不到；同类，无振动转动跃迁，所以虽相当丰富，但通常在恒星光谱里探测不到。N丰度小于C，因此虽有许多N以形式出现，但仍有相当部分以CN出现。2023/2/1天体光谱学91§5.3恒星谱线振动-转动跃迁弱于电子跃迁，但CO较大丰度：CO主要光谱带（~5μm)、第一级光谱带（~2.3μm)在冷星里都较强（低分辨率）；对高分辨率：第二级光谱带（~1.5μm)可探测到。TiO、VO、CN、具强电子跃迁（可见波段）冷星（<3500K）：O丰富星，可见光谱以TiO、VO主导；C丰富星，以、CN主导。2023/2/1天体光谱学92一些恒星显示发射线或吸收线的线心呈发射性质，原因：太阳，及所有恒星，有较外层大气（色球），在光球的顶点，T极小，往外色球中T↑，色球密度低，所以只有强线线心源于色球，若强线形成于LTE→色球中具较大源函数→较大出射量→线心谱线轮廓反转→强吸收线线心的发射性质；表面源函数<BB值（NLTE效应）→强线非常靠近线心部分停止反映色球温度增大→线心部分发射性质，极线心吸收。这种类型轮廓在CaIIH、K线中探测到，然而，强Balmer吸收线，显示简单的轮廓，原因在于：Ca线，碰撞主导，遵从局地温度；Balmer线，光致电离主导，与局地温度无关。§5.3恒星谱线2023/2/1天体光谱学93§5.4恒星丰度——生长曲线方法为了确定恒星大气中的激发温度、湍流速度、电子和气体压强、表面引力以及元素的丰度，可以把谱线强度和宽度的观测值与理论值作比较。S-S模型及M-E模型，对弱线，谱线等值宽度：其中，：每个氢原子对应的连续吸收截面；：可能的最大谱线深度，依赖于大气的结构，特别是朝外温度的变化；：单位质量能吸收谱线波长处的原子数；：振子强度；：相对丰度。

：在简单的模型中，强线的中心深度可由经验定，但一般强线不是形成于LTE区，所以最好从大气模型估算。2023/2/1天体光谱学94§5.4恒星丰度——生长曲线方法

：若给定大气层内连续谱形成区的温度和压强，又LTE成立，则可估算给定波长范围的。对一条真正“弱”的谱线（线心光深远小于1），对太阳光谱，要求其等值宽度小于2nm，所以要精确测其等值宽度要求高谱分辨率和信噪比；对某些元素，这些弱谱线不出现于可见光谱中（特别对那些较简单结构的元素，谱线相对较少）；恒星光谱中包含许多弱线，波长临近，相互混合，难以区分。由Boltzmann和Saha公式，可得，则由观测弱线等值宽度，可得到所关注的元素的丰度。直接由等值宽度测元素丰度的主要困难：2023/2/1天体光谱学95§5.4恒星丰度——生长曲线方法

所以经常要用的谱线，并非上式中严格“弱线”。随着的增大，强度线性增大；当（或）时，偏离线性10%，饱和效应开始起作用；当线心光深远大于1，线心饱和，等值宽度，随变化缓慢；对更大，线翼开始饱和，导致强度继续增大，开始贡献等值宽度的一个主要成分，（阻尼区）。若Γ已知，则从这样一条强线强度→丰度（LTE）。Γ：自然展宽，仅依赖于跃迁几率；但许多情况下，Γ由压强展宽主导，虽压强可估算，但要预测Γ的相互作用常数，既不能从理论、也不能从观测精确给出。

2023/2/1天体光谱学96连续不透明度如果假定谱线形成发生于LTE区的等温层中，则S-S和M-E近似模型都得到了下述近似关系式：第r次电离级、第s能态的原子数由Saha方程给出：§5.4恒星丰度——生长曲线方法2023/2/1天体光谱学97§5.4恒星丰度——生长曲线方法1.824673其中，为第r电离级的原子总数，为s能级的统计权重，为配分函数，为第s能级的激发电势。

的改变与的改变等效；

对一给定恒星，相同种类的谱线（具相同的C，如多重线）的生长曲线的横坐标可替换为；一条谱线的生长曲线可“归算”，为其他谱线的相同种类的谱线所用。2023/2/1天体光谱学98§5.4恒星丰度——生长曲线方法Traditionally,curvesofgrowtharedescribedinthreesectionsThelinearpart:ThewidthissetbythethermalwidthEqwisproportionaltoabundanceThe“flat”part:ThecentraldepthapproachesitsmaximumvalueLinestrengthgrowsasymptoticallytowardsaconstantvalueThe“damping”part:LinewidthandstrengthdependsonthedampingconstantThelineopacityinthewingsissi