指数函数性质的有关应用

指数函数性质的有关应用汝南高中：张红卫2/1/2023指数函数比较大小

例1、比较下列各题中两个值的大小：底数相同:根据单调性∵函数在R上是增函数，而指数2.5<3．（1）＜解：∴<（2）∵函数在R上是减函数，而指数-0.1>-0.2解：∴＜练习比较两个数的大小

（1）2.012.8

2.013.5

(2)

0.79－0.1

0.790.1

<>钥匙底数相同，指数不同。做题方法：利用指数函数的单调性来判断.（数形结合）。解：根据指数函数的性质，得：且从而有例2，比较两个数的大小指数不同，底数也不同:与1比较练习比较两个数的大小>钥匙指数不同，底数也不同。做题方法：引入中间量法（常用0或1）。底数不同,指数相同:比商法例3.比较下列两个值的大小

54.7，

44.7练习比较两个数的大小

36.2________26.2>钥匙指数相同，底数不同。做题方法：利用比商法来判断1、底数相同，指数不同。做题方法：利用指数函数的单调性来判断.（数形结合）。3、指数相同，底数不同。做题方法：利用比商法来判断.

2、指数不同，底数也不同。做题方法：引入中间量法（常用0或1）。比较指数大小的方法心中无图，一塌糊涂；心中有图，胸有成竹。指数式不等式解法指数式不等式解法-----范例1指数式不等式的解法-----类型1指数式不等式的解法-----范例2分解因式，得∵∴∴指数式不等式的解法----类型2指数函数求值域求下列函数的值域:分析:(1).(2)可由函数图象分析得出,(3)分情况讨论。xoy210.25(2)xoy214(1)⑴f(x)=(2)x(0≤x≤2)⑵f(x)=(1/2)x(0≤x≤2)⑶f(x)=ax(0<a,a≠1,0≤x≤2)a>1xyy0<a<1x总结:指数函数求值域（1）图象法（2）函数的单调性o2o2解:(一)由函数图象得出.

(二)利用函数单调性.①若a>1,则f(x)在[0,2]为增函数函数值域为[1,a2]②若0<a<1,则f(x)在[0,2]为减函数值域为[a2,1]与指数函数有关的定义域、值域问题

求下列函数的定义域与值域：

(1)y＝；(2)y＝由题目可获取以下主要信息：①所给函数与指数函数有关；②定义域是使函数式有意义的自变量的取值集合，③值域是函数值的集合，依据定义域和函数的单调性求解.[题后感悟]对于y＝af(x)这类函数，(1)定义域是指只要使f(x)有意义的x的取值范围(2)值域问题，应分以下两步求解：①由定义域求出u＝f(x)的值域；②利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值域．求下列函数的值域解答本题可以看成关于2x的一个二次函数，故可令t＝2x，利用换元法求值域.[解题过程]

函数定义域为R.令2x＝t(t>0)，则y＝4x＋2x＋1＋1＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2.∵t>0，∴t＋1>1，∴(t＋1)2>1，∴y>1，∴值域为{y|y>1，y∈R}．[题后感悟]如何求形如y＝b(ax)2＋c·ax＋d的值域？①换元，令t＝ax；②求t的范围，t∈D；③求二次函数y＝bt＋ct＋d，t∈D的值域．例2.求下列函数的值域含有指数函数的复合函数的单调性复合函数y＝af(x)单调性的确定：当a>1时，单调区间与f(x)的单调区间_____；

当0<a<1时，f(x)的单调增区间是y的单调_____

___．f(x)的单调减区间是y的单调_______．相同