最新中考数学经典压轴题专题

..专题1：抛物线中的等腰三角形基本题型：已知,抛物线,点在抛物线上〔或坐标轴上,或抛物线的对称轴上,若为等腰三角形,求点坐标。分两大类进行讨论：〔1为底时〔即：点在的垂直平分线上。利用中点公式求出的中点；利用两点的斜率公式求出,因为两直线垂直斜率乘积为,进而求出的垂直平分线的斜率；利用中点与斜率求出的垂直平分线的解析式；将的垂直平分线的解析式与抛物线〔或坐标轴,或抛物线的对称轴的解析式联立即可求出点坐标。〔2为腰时,分两类讨论：①以为顶角时〔即：点在以为圆心以为半径的圆上。②以为顶角时〔即：点在以为圆心以为半径的圆上。利用圆的一般方程列出<或>的方程,与抛物线〔或坐标轴,或抛物线的对称轴的解析式联立即可求出点坐标。专题2：抛物线中的直角三角形基本题型：已知,抛物线,点在抛物线上〔或坐标轴上,或抛物线的对称轴上,若为直角三角形,求点坐标。分两大类进行讨论：〔1为斜边时〔即：点在以为直径的圆周上。利用中点公式求出的中点；利用圆的一般方程列出的方程,与抛物线〔或坐标轴,或抛物线的对称轴的解析式联立即可求出点坐标。〔2为直角边时,分两类讨论：①以为直角时〔即：②以为直角时〔即：利用两点的斜率公式求出,因为两直线垂直斜率乘积为,进而求出〔或的斜率；进而求出〔或的解析式；将〔或的解析式与抛物线〔或坐标轴,或抛物线的对称轴的解析式联立即可求出点坐标。所需知识点：两点之间距离公式：已知两点,则由勾股定理可得：。圆的方程：点在⊙M上,⊙M中的圆心M为,半径为R。则,得到方程☆：。∴P在☆的图象上,即☆为⊙M的方程。中点公式：已知两点,则线段PQ的中点M为。任意两点的斜率公式：已知两点,则直线PQ的斜率：。中考压轴题专题3：抛物线中的四边形基本题型：一、已知,抛物线,点在抛物线上〔或坐标轴上,或抛物线的对称轴上,若四边形为平行四边形,求点坐标。分两大类进行讨论：〔1为边时〔2为对角线时二、已知,抛物线,点在抛物线上〔或坐标轴上,或抛物线的对称轴上,若四边形为距形,求点坐标。在四边形为平行四边形的基础上,运用以下两种方法进行讨论：〔1邻边互相垂直〔2对角线相等三、已知,抛物线,点在抛物线上〔或坐标轴上,或抛物线的对称轴上,若四边形为菱形,求点坐标。在四边形为平行四边形的基础上,运用以下两种方法进行讨论：〔1邻边相等〔2对角线互相垂直四、已知,抛物线,点在抛物线上〔或坐标轴上,或抛物线的对称轴上,若四边形为正方形,求点坐标。在四边形为矩形的基础上,运用以下两种方法进行讨论：〔1邻边相等〔2对角线互相垂直在四边形为菱形的基础上,运用以下两种方法进行讨论：〔1邻边互相垂直〔2对角线相等五、已知,抛物线,点在抛物线上〔或坐标轴上,或抛物线的对称轴上,若四边形为梯形,求点坐标。分三大类进行讨论：〔1为底时〔2为腰时〔3为对角线时典型例题：典型例题：例1〔08XX中考题、如图9,在平面直角坐标系中,二次函数的图象的顶点为D点,与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为〔3,0,OB＝OC,tan∠ACO＝．〔1求这个二次函数的表达式．〔2经过C、D两点的直线,与x轴交于点E,在该抛物线上是否存在这样的点F,使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在,请求出点F的坐标；若不存在,请说明理由．〔3若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点,且以MN为直径的圆与x轴相切,求该圆半径的长度．〔4如图10,若点G〔2,y是该抛物线上一点,点P是直线AG下方的抛物线上一动点,当点P运动到什么位置时,△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.例2〔20XXXX市如图,抛物线与轴交于两点,与轴交于C点,且经过点,对称轴是直线,顶点是．求抛物线对应的函数表达式；经过两点作直线与轴交于点,在抛物线上是否存在这样的点,使以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在,请求出点的坐标；若不存在,请说明理由；设直线与y轴的交点是,在线段上任取一点〔不与重合,经过三点的圆交直线于点,试判断的形状,并说明理由；OBxyAMC1〔第26题图当OBxyAMC1〔第26题图例3.〔2009•XX如图,抛物线经过A〔4,0,B〔1,0,C〔0,-2三点．〔1求出抛物线的解析式；〔2P是抛物线上一动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在,请求出符合条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由；〔3在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得△DCA的面积最大,求出点D的坐标．思路点拨1．已知抛物线与x轴的两个交点,用待定系数法求解析式时,设交点式比较简便．2．数形结合,用解析式表示图象上点的坐标,用点的坐标表示线段的长．3．按照两条直角边对应成比例,分两种情况列方程．4．把△DCA可以分割为共底的两个三角形,高的和等于OA．满分解答〔1因为抛物线与x轴交于A<4,0>、B〔1,0>两点,设抛物线的解析式为,代入点C的坐标〔0,－2,解得．所以抛物线的解析式为．〔2设点P的坐标为．①如图2,当点P在x轴上方时,1＜x＜4,,．如果,那么．解得不合题意．如果,那么．解得．此时点P的坐标为〔2,1．②如图3,当点P在点A的右侧时,x＞4,,．解方程,得．此时点P的坐标为．解方程,得不合题意．③如图4,当点P在点B的左侧时,x＜1,,．解方程,得．此时点P的坐标为．解方程,得．此时点P与点O重合,不合题意．综上所述,符合条件的点P的坐标为〔2,1或或．图2图3图4〔3如图5,过点D作x轴的垂线交AC于E．直线AC的解析式为．设点D的横坐标为m,那么点D的坐标为,点E的坐标为．所以．因此．当时,△DCA的面积最大,此时点D的坐标为〔2,1．图5图6例4.如图1,已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点〔点A在点B左侧,与y轴交于点C<0,－3>,对称轴是直线x＝1,直线BC与抛物线的对称轴交于点D．〔1求抛物线的函数表达式；〔2求直线BC的函数表达式；〔3点E为y轴上一动点,CE的垂直平分线交CE于点F,交抛物线于P、Q两点,且点P在第三象限．①当线段时,求tan∠CED的值；②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时,请直接写出点P的坐标．温馨提示：考生可以根据第〔3问的题意,在图中补出图形,以便作答．思路点拨1．第〔1、〔2题用待定系数法求解析式,它们的结果直接影响后续的解题．2．第〔3题的关键是求点E的坐标,反复用到数形结合,注意y轴负半轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系．3．根据C、D的坐标,可以知道直角三角形CDE是等腰直角三角形,这样写点E的坐标就简单了．满分解答〔1设抛物线的函数表达式为,代入点C<0,－3>,得．所以抛物线的函数表达式为．〔2由,知A<－1,0>,B<3,0>．设直线BC的函数表达式为,代入点B<3,0>和点C<0,－3>,得解得,．所以直线BC的函数表达式为．〔3①因为AB＝4,所以．因为P、Q关于直线x＝1对称,所以点P的横坐标为．于是得到点P的坐标为,点F的坐标为．所以,．进而得到,点E的坐标为．直线BC:与抛物线的对称轴x＝1的交点D的坐标为〔1,－2．过点D作DH⊥y轴,垂足为H．在Rt△EDH中,DH＝1,,所以tan∠CED．②,．图2图3图4考点伸展第〔3题②求点P的坐标的步骤是：如图3,图4,先分两种情况求出等腰直角三角形CDE的顶点E的坐标,再求出CE的中点F的坐标,把点F的纵坐标代入抛物线的解析式,解得的x的较小的一个值就是点P的横坐标．例5.〔2010•XX在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A〔-4,0,B〔0,-4,C〔2,0三点．〔1求抛物线的解析式；〔2若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S、求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值．若点P是抛物线上的动点点Q是直线y=-x上的动点,判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标．解：〔1设抛物线的解析式为y=a〔x+4〔x-2,②如图2,当BO为对角线时,知A与P应该重合,OP=4．四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=4,Q横坐标为4,代入y=-x得出Q为〔4,-4．故满足题意的Q点的坐标有四个,分别是〔-4,4,〔4,-4,例6.〔2013•眉山如图,在平面直角坐标系中,点A、B在x轴上,点C、D在y轴上,且OB=OC=3,OA=OD=1,抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0经过A、B、C三点,直线AD与抛物线交于另一点M．〔1求这条抛物线的解析式；〔2P为抛物线上一动点,E为直线AD上一动点,是否存在点P,使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在,请求出所有点P的坐标；若不存在,请说明理由．．∴抛物线的解析式为：y=x2+2x-3．〔2存在．△APE为等腰直角三角形,有三种可能的情形：①以点A为直角顶点．如解答图,过点A作直线AD的垂线,与抛物线交于点P,与y轴交于点F．∵OA=OD=1,则△AOD为等腰直角三角形,∵PA⊥AD,则△OAF为等腰直角三角形,∴OF=1,F〔0,-1．设直线PA的解析式为y=kx+b,将点A〔1,0,F〔0,-1的坐标代入得：解得k=1,b=-1,∴y=x-1．将y=x-1代入抛物线解析式y=x2+2x-3得,x2+2x-3=x-1,整理得：x2+x-2=0,解得x=-2或x=1,当x=-2时,y=x-1=-3,∴P〔-2,-3；②以点P为直角顶点．此时∠PAE=45°,因此点P只能在x轴上或过点A与y轴平行的直线上．过点A与y轴平行的直线,只有点A一个交点,故此种情形不存在；因此点P只能在x轴上,而抛物线与x轴交点只有点A、点B,故点P与点B重合．∴P〔-3,0；③以点E为直角顶点．此时∠EAP=45°,由②可知,此时点P只能与点B重合,点E位于直线AD与对称轴的交点上,即P〔-3,0；综上所述,存在点P,使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形．点P的坐标为〔-2,-3或〔-3,0．例7.〔2010•XX将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点C、A分别在x、y轴的正半轴上,一条抛物线经过点A、C及点B〔-3,0．〔1求该抛物线的解析式；〔2若点P是线段BC上一动点,过点P作AB的平行线交AC于点E,连接AP,当△APE的面积最大时,求点P的坐标；〔3在第一象限内的该抛物线上是否存在点G,使△AGC的面积与〔2中△APE的最大面积相等？若存在,请求出点G的坐标；若不存在,请说明理由．解：〔1如图,∵抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0的图象经过点A〔0,6,∴c=6．〔1分∵抛物线的图象又经过点〔-3,0和〔6,0,例8〔2012•从化市一模如图〔1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-3a经过A〔-1,0、B〔0,3两点,与x轴交于另一点C,顶点为D．〔1求该抛物线的解析式及点C、D的坐标；〔2经过点B、D两点的直线与x轴交于点E,若点F是抛物线上一点,以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形,求点F的坐标；〔3如图〔2P〔2,3是抛物线上的点,Q是直线AP上方的抛物线上一动点,求△APQ的最大面积和此时Q点的坐标．y=-x2+2x+3=-〔x-12+4∴D〔1,4例9.〔XX省XX市如图,二次函数的图象经过点D<0,>,且顶点C的横坐标为4,该图象在x轴上截得的线段AB的长为6．〔1求该二次函数的解析式；〔2在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA＋PD最小,求出点P的坐标；〔3在抛物线上是否存在点Q,使△QAB与△ABC相似？如果存在,求出点Q的坐标；如果不存在,请说明理由．CDOBCDOBAyx〔2∵点A、B关于直线x=4对称

∴PA=PB

∴PA+PD=PB+PD≥DB

∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值

∴DB与对称轴的交点即为所求点P

设直线x=4与x轴交于点M

∵PM∥OD,∴∠BPM=∠BDO,又∵∠PBM=∠DBO∴△BPM∽△BDO例10．〔XX省内江市如图所示,已知点A<－1,0>,B<0,3>,C<0,t>,且t＞0,tan∠BAC＝3,抛物线经过A、B、C三点,点P<2,m>是抛物线与直线l：y＝k<x＋1>的一个交点．〔1求抛物线的解析式；〔2对于动点Q<1,n>,求PQ＋QB的最小值；〔3若动点M在直线l上方的抛物线上运动,求△AMP的边AP上的高h的最大值．〔3过点P作PN⊥x轴于点N,过点M作MK⊥x轴于点K,设点M的坐标为〔x,-x2+2x+3,例11.〔XX省XX市已知：Rt△ABC的斜边长为5,斜边上的高为2,将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中,使其斜边AB与x轴重合〔其中OA＜OB,直角顶点C落在y轴正半轴上〔如图1．〔1求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式．〔2如图2,点D的坐标为〔2,0,点P〔m,n是该抛物线上的一个动点〔其中m＞0,n＞0,连接DP交BC于点E．①当△BDE是等腰三角形时,直接写出此时点E的坐标．O图3CO图3CABABxyOPD〔1〔注：只回答有最大面积,而没有说明理由的,不给分；点P的坐标,或最大面积计算错误的,扣〔1分；其他解法只要合理,酌情给分．例12.〔20XXXX省XX市已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A〔-1,0、B〔0,3两点,其顶点为D.求该抛物线的解析式；若该抛物线与x轴的另一个交点为E.求四边形ABDE的面积；△AOB与△BDE是否相似？如果相似,请予以证明；如果不相似,请说明理由.〔注：抛物线y=ax2+bx+c<a≠0>的顶点坐标为满分解答：1.解：〔1由已知得：解得c=3,b=2∴抛物线的线的解析式为<2>由顶点坐标公式得顶点坐标为〔1,4所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称,所以E<3,0>设对称轴与x轴的交点为F所以四边形ABDE的面积====9〔3相似.如图,BD=BE=DE=所以,即：,所以是直角三角形所以,且,所以.例13.<20XXXX省十二市>如图16,在平面直角坐标系中,直线与轴交于点,与轴交于点,抛物线经过三点．〔1求过三点抛物线的解析式并求出顶点的坐标；〔2在抛物线上是否存在点,使为直角三角形,若存在,直接写出点坐标；若不存在,请说明理由；〔3试探究在直线上是否存在一点,使得的周长最小,若存在,求出点的坐标；若不存在,请说明理由．AAOxyBFC图16解：〔1直线与轴交于点,与轴交于点．, 1分点都在抛物线上,抛物线的解析式为 3分顶点 4分〔2存在 5分 7分 9分〔3存在 10分理由：解法一：延长到点,使,连接交直线于点,则点就是所求的点． 11分过点作于点．AOxyBFAOxyBFC图9HBM在中,,,,在中,,,, 12分设直线的解析式为解得 13分解得在直线上存在点,使得的周长最小,此时． 14分例14.<20XXXX省XX市>已知：如图14,抛物线与轴交于点,点,与直线相交于点,点,直线与轴交于点．〔1写出直线的解析式．〔2求的面积．〔3若点在线段上以每秒1个单位长度的速度从向运动〔不与重合,同时,点在射线上以每秒2个单