统计4.2-区间估计

概率统计基础（Ⅱ）2009年4月山西大学数学科学学院1第四章参数估计§4.3区间估计2山西大学数学科学学院第四章参数估计§4.3.1置信区间与置信度§4.3.2单正态总体均值的区间估计及置信区间§4.3.3单正态总体方差的区间估计及置信区间§4.3.4大样本置信区间§4.3.5两正态总体均值差的置信区间§4.3.6两正态总体方差比的置信区间如果是未知参数的一个点估计，那么一旦获得样本的观测值，估计值就能给人们一个明确的数量概念，非常直观。但其缺陷是不能给出估计的精确度和误差的范围。为了弥补这一不足，人们提出了另一种估计方法——区间估计。区间估计要求根据样本给出未知参数的一个范围，并保证参数的真值以指定的较大的概率属于这个范围。点估计的特点山西大学数学科学学院3第四章参数估计§4.3.1置信区间与置信水平山西大学数学科学学院4第四章参数估计设总体X含有一个待定的未知参数.如果我们从样本x1,x2,

xn

出发,找出两个统计量1=1(x1,x2,

xn)与2=2(x1,x2,

xn),(1<

2),使得区间[1,2]以1-(0<<1)的概率包含这个待估参数,即那么称随机区间[1,2]是的一个置信度为1-的置信区间.置信度也称作置信水平.说明：第四章参数估计5山西大学数学科学学院总体的参数虽然未知，但它是某个常数，而样本是随机抽取的，每次取得的样本值x1,x2,

xn也不尽相同，由此确定的区间[1,2]是随机的，每个这样的区间可能包含也可能不包含的真值。置信度1-是给出区间[1,2]包含真值的可靠程度，而表示区间[1,2]不包含真值的可能性大小。例如,=0.05,则置信度为0.95，这时重复抽样100次，则在得到的100个区间中包含真值的有95个左右，不包含真值的仅有5个左右。通常在生产和科研中往往取95%的置信度，也取99%或90%的置信度。一般来说，在样本容量一定的情况下，置信度越高，置信区间就越长，换句话说，希望置信区间的可靠性越大，估计的范围也就越大，反之亦然。例：第四章参数估计6山西大学数学科学学院设总体X~N(

2)

2已知

未知

(X1

Xn)为来自X的样本试求的1置信区间

枢轴量求未知参数的置信区间的一般步骤第四章参数估计7山西大学数学科学学院以下讨论单个正态总体的两个参数的区间估计§4.3.2单正态总体均值的区间估计第四章参数估计8山西大学数学科学学院(1)方差

2已知的情形根据上例在

2已知的条件下

的1置信区间为

（1）例：第四章参数估计9山西大学数学科学学院已知幼儿的身高在正常情况下服从正态分布.现从某一幼儿园5岁到6岁的幼儿中随机地抽查了9人,其高度分别为115,120,131,115,109,115,115,105,110cm。假设5至6岁幼儿身高总体的标准差=7,在置信度为95%的条件下,试求出总体均值的置信区间.解:已知0=7,n=9,=0.05.由样本算得由正态分布数值表知由(1)式知,在置信度为95%下的置信区间为

§4.3.2单正态总体均值的区间估计第四章参数估计10山西大学数学科学学院(2)方差

2未知的情形在

2未知的情况下

的1置信区间为

（2）当总体方差未知时，我们需要用样本方差来代替，根据下式即得。

从刚生产出的一大堆钢珠中随机抽取10个,测量它们的直径(单位:mm),并求得其样本均值样本方差s2=0.252.试求置信度为95%的的置信区间.(假设钢珠直径XN(,2))解已知n=10,=0.05,由t分布数值表知t(9,0.05)=2.262.由(2)式知,在置信度为95%下的置信区间为：

山西大学数学科学学院11第四章参数估计例

§4.3.3单正态总体方差的区间估计第四章参数估计12山西大学数学科学学院在未知时

2的1置信区间为

（3）标准差的1置信区间为

试求上例中2的置信区间,置信度为95%.解已知n=10,=0.05,由2分布数值表知

2(9,0.975)=2.70,2(9,0.025)=19.0,由(3)式知,2

在置信度为95%的置信区间为：山西大学数学科学学院13第四章参数估计例

§4.3.4大样本置信区间第四章参数估计14山西大学数学科学学院在样本容量充分大时，可以用渐进分布来构造近似的置信区间。以下是关于比例p的置信区间。设X1

Xn为来自两点分布b(1,p)的样本试求p的1置信区间。由中心极限定理知同前方法，解方程得p的置信区间为：省略无穷小量§4.3.5两正态总体均值差的置信区间第四章参数估计15山西大学数学科学学院(1)方差已知时§4.3.5两正态总体均值差的置信区间第四章参数估计16山西大学数学科学学院(2)方差未知时§4.3.5两正态总体均值差的置信区间第四章参数估计17山西大学数学科学学院(3)方差已知时§4.3.5两正态总体均值差的置信区间第四章参数估计18山西大学数学科学学院(4)当m和n都很大时的近似置信区间§4.3.5两正态总体均值差的置信区间第四章参数估计19山西大学数学科学学院(4)一般情形下的近似置信区间§4.3.6两正态总体方差比的置信区间第四章参数估计20山西大学数学科学学院参数估计图表（小结）21山西大学数学科学学院第四章参数估计