线性系统的稳定性分析

§3-5线性系统的稳定性分析一、稳定性的基本概念

二、线性系统稳定的充分必要条件三、劳思-赫尔维茨稳定判据（1877、1895）四、劳思稳定判据的特殊情况五、劳思稳定判据的应用（1）稳定是控制系统能够正常运行的首要条件。

一、稳定性的基本概念

（2）自动控制理论的基本任务(之一)分析系统的稳定性问题；提出保证系统稳定的措施。对系统进行各类品质指标的分析必须在系统稳定的前提下进行。例稳定的摆不稳定的摆(a)稳定(b)临界稳定(c)不稳定稳定性的定义控制系统在外部扰动消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。注意：控制系统自身的固有特性，取决于系统本身的结构和参数，与输入无关。不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能够恢复到原有的平衡状态。(a)大范围稳定大范围稳定:(b)小范围稳定否则系统就是小范围稳定的。注意：对于线性系统，小范围稳定大范围稳定。(a)不稳定临界稳定：若系统在扰动消失后，输出与原始的平衡状态间存在恒定的偏差或输出维持等幅振荡，则系统处于临界稳定状态。注意：经典控制论中，临界稳定也视为不稳定。运动稳定性（线性系统）对于线性系统只有大范围稳定的问题对于线性系统而言，平衡状态稳定性和运动稳定性是等价的线性系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零，则称系统渐进稳定，简称稳定。如动态过程随时间的推移而发散，称为不稳定。系统方程在不受任何外界输入的条件下，系统方程的解在时间趋于无穷时的渐进行为。线性控制系统的稳定性

稳定的条件：假设系统在初始条件为零时，受到单位脉冲信号δ(t)的作用，此时系统的输出增量（偏差）为单位脉冲响应，这相当于系统在扰动作用下，输出信号偏离平衡点的问题，显然，当t→∞时，若：即输出增量收敛于原平衡点，则线性系统是（渐近）稳定。二、线性系统稳定的充分必要条件理想脉冲函数作用下

R(s)=1。对于稳定系统,t

时,输出量

c(t)=0。由上式知：如果pi和i均为负值,

当t时,c(t)0。自动控制系统稳定的充分必要条件：系统特征方程的根全部具有负实部，即:闭环系统的极点全部在S平面左半部。注意：稳定性与零点无关S平面系统特征方程例结果：共轭复根，具有负实部，系统稳定。三、劳思-赫尔维茨稳定判据（1877、1895）（1）该判据出现的历史条件（2）劳思-赫尔维茨稳定判据的历史条件和现状在十九世纪后叶，由于无法解析求解高阶多项式的根由于计算工具所限，数值求解也较难把‘求根的具体值’问题放松为‘判断根是否小于零’问题。理论上还有一定的地位在研究相对稳定性和保证系统稳定的参数取值范围发挥作用由于数值求根已经非常方便，该判据在直接判断系统稳定性上的作用几乎消退。赫尔维茨(Hurwitz)判据控制系统稳定的充分必要条件是：当a0>0时，各阶赫尔维茨行列式1、2、…、n均大于零。一阶系统二阶系统a0>0时,a1>0(全部系数数同号)a0>0时,a1>0,a2>0(全部系数数同号)a0>0时a0>0时三阶系统a0>0时,a1>0,a2>0,a3>0(全部系数同号)a0>0时a1a2>a0a3四阶系统a0>0时,a1>0,a2>0,a3>0,a4>0

(全部系数数同号)a0>0时一阶系统a1>0(全部系数数同号)a1>0,a2>0(全部系数数同号)a1>0,a2>0,a3>0(全部系数数同号)a1a2>a0a3a1>0,a2>0,a3>0,a4>0(全部系数数同号)归纳：a0>0时二阶系统三阶系统四阶系统例a1>0,a2>0,a3>0,a4>0K值的稳定范围各项系数均为正数a0>0时,单位反馈系统,已知系统开环传递函数如下：判断上述系统开环增益K的稳定域，并说明开环积分环节数目对系统稳定性的影响。系统1的闭环特征方程为：系统3的闭环特征方程为：系统2的闭环特征方程为：K的稳定域为：K的稳定域为：结论：增加系统开环积分环节的数目对系统稳定性不利。由于特征方程缺项，不存在K的稳定域。劳斯阵列性质：第一列符号改变次数==系统特征方程含有正实部根的个数。特征方程：劳斯阵列：劳斯(routh)判据如果符号相同系统具有正实部特征根的个数等于零系统稳定；如果符号不同符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数系统不稳定。控制系统稳定的充分必要条件：劳思阵列第一列元素不改变符号。“第一列中各数”注：通常a0>0，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯阵列表中第一列的各数均大于零。特殊情况1：某行的第一列出现0特殊情况2：某一行元素均为0四、劳思稳定判据的特殊情况特殊情况1：某行的第一列出现0特殊情况：第一列出现0。解决方法：用因子(s＋a)乘以原特征方程。系统不稳定，且有两个正实部根。特殊情况2：某一行元素均为0特殊情况：某一行元素均为0解决方法：全0行的上一行元素构成辅助方程，求导后方程系数构成一个辅助方程。各项系数均为正数求导得:例如，一个控制系统的特征方程为

列劳斯表显然这个系统处于临界(不)稳定状态。

劳斯阵列出现全零行:大小相等符号相反的实根共轭虚根对称于实轴的两对共轭复根系统在s平面有对称分布的根五、劳思稳定判据的应用2、实际系统希望S左半平面上的根距离虚轴有一定的距离。此法可以估计一个稳定系统的各根中最靠近右侧的根距离虚轴有多远，从而了解系统稳定的“程度”。1、稳定判据能回答特征方程式的根在S平面上的分布情况，而不能确定根的具体数据。解决的办法为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂线右侧。代入原方程式中，得到以

设用劳斯判据检验下列特征方程是否有根在S的右半平面上，并检验有几个根在垂线的右方。

例3-8解：列劳斯表

第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。令代入特征方程：式中有负号，显然有根在的右方。列劳斯表第一列的系数符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直直线的右方。图3-21单位反馈控制系统方块图时，闭环系统的稳定条件是什么？

已知一单位反馈控制系统如图3-21所示，试回答

例3-9时，闭环系统是否稳定？

排劳斯表

第一列均为正值，S全部位于左半平面，故

解：

系统稳定特征方程为时，闭环系统的开环传递函数

闭环特征方程为

列劳斯表未完待续

利用劳斯稳定判据可确定系统一个或两个可调参数对系统稳定性的影响。

欲使系统稳定第一列的系数必须全为正值

§3-6线性系统的稳态误差计算

减小稳态误差是控制系统设计的主要目标之一概述稳态误差是衡量系统控制准确度的度量本书讨论所谓原理性稳态误差，他取决于系统的结构，传递函数和输入函数的形式。一、误差与稳态误差1、

在系统输入端定义的误差：E(s)=R(s)-H(s)C(s)2、

在系统输出端定义的误差：该误差物理存在，激励G(s)的信号该误差在系统中并不存在，而是人们对误差的期望3、

误差的组成：随时间衰减为零的“自由误差分量输入引起的强迫分量，即稳态误差分量稳态误差如系统稳定，且存在，那么下式成立系统稳定是前提，稳态误差和系统本身性质、输入信号有关即稳态误差是有限值，或无穷分量例3-11

二、系统类型式中，K为开环增益；τi和Tj为时间常数；当输入信号形式一定时，系统是否存在稳态误差就取决于开环传递函数所描述的系统结构。开环传递函数ν为开环系统在s平面坐标原点上的极点重数。ν=0，称为0型系统；ν=1，称为Ⅰ型系统；ν=2，称为Ⅱ型系统……。优点：可以根据已知的输入信号形式，迅速判断系统是否存在原理性稳态误差及其大小。

令由于s→0时，G0(s)H0(s)→1因此，有则表明影响稳态误差的诸因素是：系统型别、开环增益、输入信号的形式和幅值。三、阶跃输入作用下的稳态误差与静态位置误差系数习惯上常把系统在阶跃输入作用下的稳态误差称为静差。0型系统称为有（静）差系统或令阶无差度系统，Ⅰ型系统称为一阶无差度系统，Ⅱ型系统称为二阶无差度系统，…四、斜坡输入作用下的稳态误差与静态速度误差系数（图3-32Ⅰ型单位反馈系统的速度误差）

稳态误差：表明：0型系统在稳态时不能跟踪斜坡输入；Ⅰ型单位反馈系统，稳态输出速度恰好与输入速度相同，但存在一个稳态位置误差；Ⅱ型及Ⅱ型以上的系统，稳态时能准确跟踪斜坡输入信号，不存在位置误差。五、

加速度输入作用下的稳态误差与静态加速度误差系数图3-33Ⅱ型单位反馈系统（的加速度误差）表明：0型及Ⅰ型单位反馈系统在稳态时都不能跟踪加速度输入；Ⅱ型单位反馈系统，稳态输出的加速度与输入加速度函数相同，但存在一定的稳态位置误差；Ⅲ型及Ⅲ型以上的系统，只要系统稳定，其稳态输出能准确跟踪加速度输入信号，不存在位置误差。说明：（1）静态误差系数仅仅是对于单位反馈控制系统而言。（2）如果系统承受的输入信号是多种典型函数的组合，可用叠加原理。

例3-13

r(t)=1(t),t,t2/2时，

ess=0,1,∞

六、

动态误差系数（广义误差系数）将误差传递函数Φe(s)在s=0的邻域内展开成泰勒级数，得于是误差信号可以表示为该误差级数收敛于s=0的邻域，相当于在时间域内t→∞时成立。取拉氏反变换，得：说明：（1）习惯上称C0为动态位置误差系数，称C1为动态速度误差系数，称C2为动态加速度误差系数。（2）“动态”的含义是指这种方法可以完整地描述系统稳态误差ess(t)随时间变化的规律，而不是指误差信号中的瞬态分量ets(t)随时间变化的情况。（3）公式中的输入信号及其各阶导数中不包含r(t)中随时间增长而趋近于零的分量。

确定动态误差系数的简便方法——长除法（见例3-14）在特定系统中动态误差系数与静态误差系数之间的关系：

0型系统：C0=1/（1+Kp）

Ⅰ型系统：C1=1/Kv

Ⅱ型系统：C2=1/Ka七、扰动作用下的稳态误差（1）对扰动作用下的稳态误差的要求理想情况下，希望扰动对系统输出不产生影响根据叠加定理，以下推导在输入为零的假设下进行（2）扰动作用下，稳态误差的表述把扰动作用下的理想输出定义为零，于是输出端误差为根据叠加定理，以下推导在输入为零的假设下进行（3）扰动作用下，稳态误差的求解3.6.3扰动作用下的稳态误差负载力矩的变化、放大器的零点漂移、电网电压波动和环境温度的变化等，这些都会引起稳态误差。扰动不可避免它的大小反映了系统抗干扰能力的强弱。

扰动稳态误差控制对象

控制器下面分析扰动对输出的影响输出对扰动的传递函数

(3-71)

由扰动产生的输出

(3-72)

图3-23控制系统系统的理想输出为零

扰动产生的输出端误差信号

(3-73)

(3-74)

终值定理

若令图3-23中的

(3-75)

开环传递函数为

(3-76)

(3-77)

下面讨论时系统的扰动稳态误差。0型系统1当扰动为一阶跃信号，即

(3-78)

I型系统2

对参考输入，都是I型系统，产生的稳态误差也完全相同

抗扰动的能力是完全不同

阶跃信号

A斜坡信号

阶跃信号

斜坡信号B扰动稳态误差只与作用点前的结构和参数有关。如中的时，相应系统的阶跃扰动稳态误差为零；斜坡稳态误差只与中的增益成反比。至于扰动作用点后的，其增益的大小和是否有积分环节，它们均对减小或消除扰动引起的结论稳态误差没有什么作用。

3II型系统

三种可能的组合

结论第一种组合的系统具有II型系统的功能，即对于阶跃和斜坡扰动引起的稳态误差均为零

第二种组合的系统具有I型系统的功能，即由阶跃扰动引起的稳态误差为零，斜坡产生的稳态误差为。

系统的第三种组合具有0型系统的功能，其阶跃扰动产生的稳态误差为，斜坡扰动引起的误差为。

3.6.4减小或消除稳态误差的措施

提高系统的开环增益和增加系统的类型是减小和消除系统稳态误差的有效方法顺馈控制作用，能实现既减小系统的稳定误差，又能保证系统稳定性不变的目的其他条件不变时影响系统的动态性能

稳定性对扰动进行补偿？？图3-27与图3-26对应的信号流图梅逊公式

分析

引入前馈后，系统的闭环特征多项式没有发生任何变化，即不会影响系统的稳定性

由于分母的s阶次一般比分子的s阶次高，故式(3-80)的条件在工程实践中只能近似地得到满足。

为了补偿扰动对系统输出的影响

(3-79)

(3-80)

对扰动进行全补偿的条件

2.按输入进行补偿图3-28按输入补偿的复合控制系统？？

(3-81)

(3-82)

输入信号的误差全补偿条件

(3-83)

(3-85)

(3-84)

系统的输出量在任何时刻都可以完全无误差地复现输入量，具有理想的时间响应特性

前馈补偿装置系统中增加了一个输入信号

完全消除误差的物理意义

其产生的误差信号与原输入信号产生的误差信号相比，大小相等而方向相反

由于的频段内实现近似全补偿，以使的形式简单并易于实现。一般具有比较复杂的形式，故全补偿条件(3-84)的物理实现相当困难。在工程实践中，大多采用满足跟踪精度要求的部分补偿条件，或者在对系统性能起主要影响小结时域分析是通过直接