线性规划模型与标准化

第一章、线性规划及单纯形法线性规划（LinearProgramming，LP）是运筹学的一个重要分支。一、问题提出什么是线性规划模型？线性规划模型的特点是什么？如何建立线性规划模型？标准化的提出及实现定义：对于求取一组变量xj(j=1,2,......,n)，使之既满足线性约束条件，又使具有线性表达式的目标函数取得极大值或极小值的一类最优化问题称为线性规划问题，简称线性规划（LP）。线性规划模型的特点：

用一组未知变量表示所求的方案，这组未知变量称为决策变量；存在一定的限制条件，且为线性表达式,称之为约束方程；有一个目标要求（最大化或最小化），目标表示为未知变量的线性表达式，称之为目标函数；线性规划数学模型的三要素：目标函数MaxF或MinF约束条件s.t.(subjectto)满足于决策变量用符号来表示可控制的因素例1

胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。桌子售价50元/个，椅子销售价格30元/个，生产桌子和椅子要求需要木工和油漆工两种工种。生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时。生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。该厂每个月可用木工工时为120小时，油漆工工时为50小时。问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？线性规划模型

maxS=50x1+30x2s.t.4x1+3x21202x1+x250x1,x20线性规划数学模型三要素：

决策变量、约束条件、目标函数例2

营养配餐问题假定一个成年人每天需要从食物中获得3000千卡的热量、55克蛋白质和800毫克的钙。如果市场上只有四种食品可供选择，它们每千克所含的热量和营养成分和市场价格见下表。问如何选择才能在满足营养的前提下使购买食品的费用最小？各种食物的营养成分表解：设x1为每天猪肉的购入量，x2为鸡蛋的购入量，x3为大米的购入量，x4为白菜的购入量，则配餐问题的线性规划模型为：

minS=14x1+6x2+3x3+2x4s.t.1000x1+800x2+900x3+200x4300050x1+60x2+20x3+10x455400x1+200x2+300x3+500x4800x1，x2，

x3，x40LP数学模型：+++=…)(2211nnxcxcxcZMinMax或≥=+++≥=+++≥=++0,,,),(),(),(..2122112222212111212111nmnmnmmnnnnxxxbxaxaxabxaxaxabxaxaxats……………+……≤≤≤≥无限制二、线性规划模型的标准化：将一般形式→标准型线性规划的标准形式有如下四个特点：目标最大化；约束为等式；决策变量均非负；右端项非负。

问题：如何将一般形式的线性规划模型化为标准型，使其满足以下四个特点？目标最大化；约束为等式；决策变量均非负；右端项非负。

（1）目标函数为最小化：令Z'=-Z，则maxZ'=-CX。（2）约束方程为不等式：不等号左端加（减）松弛变量（剩余变量）。（3）决策变量xi小于零：令xi'=-xi

，替换原变量；决策变量xi无约束：令xi=xi‘-xi’‘，替换原变量。（4）右端常数项小于零；两边同乘-1。例3

将下列问题化成标准型:MinS=-x1+2x2-3x3s.t.x1+x2+x37x1-x2+x32-3x1+x2+2x3=-5x1,x2

0,x3

无非负限制

MaxS’=x1-2x2+3x3x1+x2+x3+x4=7

x1-x2+x3–x5=2

3x1-x2-2x3=5令x3=x3’-x3’’MaxS

=x1-2x2+3x3-3x3+0·x4+0·x5s.t.x1+x2+x3-x3+x4=7x1-x2+x3-x3-x5=2

3x1-x2-2x3

+2x3

=5x1,x2,

x3，x3,x4，x50标准型为：

练习：课后习题标准型的几种形式：（1）展开式+++=…2211nnxcxcxcMax=+++=+++=++0,,,..2122112222212111212111nmnmnmmnnnnxxxbxaxaxabxaxaxabxaxaxats……………+……≥（2）紧缩形式=≥===∑==njxmibxatsxcZMaxjnjijijnjjj,2,10,2,1..11∑……（3）矩阵形式其中:),,(21ncccC…=T=),,(21nxxxX…Tmbbbb),,,(21…==mnmmnnaaaaaaaaaA…………………2122221112